2019安徽教师招聘考试-等差数列的性质总结

师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402 1第 1 页 共 3 页 等差数列的性质总结等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：daa nn 1 （d为常数） （2n） ； 2等差数列通项公式：2等差数列通项公式： * 11 (1)() n aanddnad nN，首项: 1 a，公差:d，末项: n a 推广：推广：dmnaa mn )( 从而 mn aa d mn ； 3等差中项3等差中项 （1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即： 2 ba A 或baA2 （2）等差中项：数列 n a是等差数列)2(2 11 - naaa nnn21 2 nnn aaa 4 4等差数列的前 n 项和公式：等差数列的前 n 项和公式： 1 () 2 n n n aa S 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n 2 AnBn （其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数特别地，当项数为奇数21n时， 1n a 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项 121 211 21 21 2 n nn naa Sna （项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5 5等差数列的判定方法等差数列的判定方法 （1） 定义法：若daa nn 1 或daa nn 1 (常数 Nn) n a是等差数列 （2） 等差中项：数列 n a是等差数列)2(2 11 - naaa nnn21 2 nnn aaa 数列 n a是等差数列bknan（其中bk,是常数）。 （4）数列 n a是等差数列 2 n SAnBn,（其中A、B是常数）。 6 6等差数列的证明方法等差数列的证明方法 定义法：若daa nn 1 或daa nn 1 (常数 Nn) n a是等差数列 7.提醒7.提醒： （1）（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到 5 个元素： 1 a、d、n、 n a及 n S，其中 1 a、d称作为基本元 素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。 （2）设项技巧： 一般可设通项 （2）设项技巧： 一般可设通项 1 (1) n aand 奇数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad ad（公差为d） ； 偶数个数成等差，可设为，3 ,3ad ad ad ad,（注意；公差为 2注意；公差为 2d） 8等差数列的性质：8等差数列的性质： （1）当公差0d 时， 等差数列的通项公式 11 (1) n aanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d； 前n和 2 11 (1) () 222 n n ndd Snadnan 是关于n的二次函数且常数项为 0. （2）若公差0d ，则为递增等差数列，若公差0d ，则为递减等差数列，若公差0d ，则为常数列。 （3）当mnpq时,则有 qpnm aaaa，特别地，当2mnp时，则有2 mnp aaa. 注： 12132nnn aaaaaa ， 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402 2第 2 页 共 3 页 （4）若 n a、 n b为等差数列，则 12nnn abab，都为等差数列 (5) 若 n a是等差数列，则 232 , nnnnn SSSSS，也成等差数列 （6）数列 n a为等差数列,每隔 k(k * N)项取出一项( 23 , mm kmkmk aaaa )仍为等差数列 （7）设数列 n a是等差数列，d 为公差， 奇 S是奇数项的和， 偶 S是偶数项项的和， n S是前 n 项的和 1.当项数为偶数n2时， 121 13521 2 n nn n aa Saaaana 奇 22 24621 2 n nn n aa Saaaana 偶 11 = nnnn SSnanan aand 偶奇 11 nn nn Snaa Snaa 奇 偶 2、当项数为奇数12 n时，则 21 (21)(1) 1 n SSSnaSnaS n SSaSnaSn n+1n+1奇偶奇 奇 n+1n+1奇偶偶 偶 （其中an+1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） （8） n a、 n b的前n和分别为 n A、 n B，且( ) n n A f n B ， 则 21 21 (21) (21) (21) nnn nnn anaA fn bnbB . （9）等差数列 n a的前 n 项和 m Sn，前 m 项和 n Sm，则前 m+n 项和 m n Smn (10)求 n S的最值 法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 * nN。 法二： （1） “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 即当，00 1 da由 0 0 1n n a a 可得 n S达到最大值最大值时的n值 （2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。 即 当，00 1 da由 0 0 1n n a a 可得 n S达到最小值最小值时的n值 或求 n a中正负分界项 法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最 近的整数时， n S取最大值（或最小值） 。若Sp=Sq则其对称轴为 2 pq n 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402 3第 3 页 共 3 页 注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法： 基本量法：即运用条件转化