2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程练习.docx

2.4.1 抛物线及其标准方程A基础达标1经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为()Ay2x或x28y By2x或y28xCy28x Dx28y解析：选A因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下当开口向右时，设抛物线方程为y22p1x(p10)，则(2)28p1，所以p1，所以抛物线方程为y2x当开口向下时，设抛物线方程为x22p2y(p20)，则424p2，p24，所以抛物线方程为x28y2已知P(8，a)在抛物线y24px(p0)上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A2 B4C8 D16解析：选B由题意可知准线方程为xp，所以8p10，所以p2所以焦点到准线的距离为2p43动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x20的距离大1，则动点的轨迹是()A椭圆 B双曲线C双曲线的一支 D抛物线解析：选D依题意可知动点P(x，y)在直线右侧，设P到直线x20的距离为d，则|PF|d1，所以动点P到F(3，0)的距离与到x30的距离相等，其轨迹为抛物线，故选D4已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A B1C D解析：选C过A，B分别作y轴的垂线，根据抛物线的定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为(|AF|BF|)5在同一坐标系中，方程a2x2b2y21与axby20(ab0)的曲线大致是()解析：选Da2x2b2y21其标准方程为1，因为ab0，所以0)的准线相切，则p_解析：由题意知圆的标准方程为(x3)2y216，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x，由题意知34，所以p2答案：28在抛物线y212x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是_解析：由方程y212x，知焦点F(3，0)，准线l：x3设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|3x又|PF|9，所以3x9，x6，代入y212x，得y6所以所求点的坐标为(6，6)，(6，6)答案：(6，6)，(6，6)9根据下列条件求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5解：(1)由双曲线方程得1，其左顶点为(3，0)因此抛物线的焦点为(3，0)设其标准方程为y22px(p0)，则3所以p6因此抛物线的标准方程为y212x(2)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，A(x0，3)，依题意得解得p1，或p9当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，A(x0，3)，依题意得解得p1或p9综上所述，所求抛物线的标准方程为y22x或y218x10某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高5 m时，桥洞水面宽为8 m，每年汛期，船工都要考虑拱桥的通行问题一只宽4 m，高2 m的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为 m，要使该船能够顺利通过拱桥，试问水面距离拱顶的高度至少为几米？解：以抛物线形拱桥的拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系设当水面涨到与抛物线拱顶相距h m时，船恰好能通过设抛物线方程为x22py(p0)，因为A(4，5)在抛物线上，所以422p(5)，得p，故x2y当船恰好能通过时，设船宽等于BB，则点B的横坐标为2，代入x2y，得点B的纵坐标 y，所以h|y|2，因此，水面距离拱顶至少2 m，船才能顺利通过此桥B能力提升11已知O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P(xP，yP)为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2C2 D4解析：选C由题意知抛物线的焦点为F(，0)，准线为x设点P在抛物线准线上的投影为点M由抛物线的定义知| PF|PM|，又|PF|4，所以xP3，代入抛物线方程求得|yP|2，所以SPOF|OF|yP|212抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_解析：如图，在正三角形ABF中，DFp，BDp，所以B点坐标为又点B在双曲线上，故1，解得p6答案：613设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)若点P到直线x1的距离为d，A(1，1)，求|PA|d的最小值；(2)若B(3，2)，求|PB|PF|的最小值解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x1由抛物线的定义，知|PF|d，于是问题转化为求|PA|PF|的最小值如图(1)所示，连接AF，交抛物线于点P，则|PA|d的最小值为(2)把点B的横坐标代入y24x中，得y2，因为22，所以点B在抛物线内部自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图(2)所示)由抛物线的定义，知|P1Q|P1F|，则|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314即|PB|PF|的最小值为414(选做题)如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的