2016_2017学年高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标学案北师大版必修4.docx

4平面向量的坐标1掌握平面向量的正交分解及其坐标表示(重点)2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算(重点)3理解用坐标表示的平面向量共线的条件(重点)基础初探教材整理1平面向量的坐标表示阅读教材P88P89“4.2”以上部分，完成下列问题如图241所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得axiyj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)图241判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)在平面直角坐标系中，两相等向量的终点坐标一样()【解析】(1)错误无论向量在何位置其坐标不变(2)错误向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标(3)错误两相等向量的坐标相等，与它们的终点无关【答案】(1)(2)(3)教材整理2平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示阅读教材P89P91“练习”以上部分，完成下列问题1平面向量的坐标运算(1)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么：ab(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)；ab(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)；a(x1，y1)(x1，y1)(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0,0)，则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标2向量平行的坐标表示(1)设a，b是非零向量，且a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则存在实数，使ab，用坐标表示为x1y2x2y10.若y10且y20，则上式可变形为.(2)文字语言描述向量平行的坐标表示定理若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例定理若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y1.()(2)向量a(1,2)与b(3，6)共线且同向()(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab，则.()【解析】(1)正确ab，则ab可得x1y2x2y1.(2)错误a3b，a与b共线且反向(3)错误若y10，y20时表达式无意义【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型平面向量的坐标表示已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，的坐标【精彩点拨】表示出各点的坐标用终点坐标减去始点坐标得相应向量的坐标【自主解答】如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60，2sin 60)，C(1，)，D，(2,0)，(1，)，(12，0)(1，)，.1向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标2求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义进行计算再练一题1已知点O是ABC内一点，AOB150，BOC90，设a，b，c，且|a|2，|b|1，|c|3，求向量，.【解】如图所示，以点O为原点，所在射线为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系|1，AOB150，B(cos 30，sin 30)，即B.|3，C(3sin 30，3cos 30)，即C.又A(2,0)，(2,0)，.向量坐标的线性运算已知点A(1,2)，B(2,8)及，.求点C，D和的坐标. 【导学号：66470051】【精彩点拨】先求出的坐标，然后求，的坐标，最后求出，及的坐标【自主解答】A(1,2)，B(2,8)，(2,8)(1,2)(3,6)，(1,2)，(1,2)，则(1,2)(1,2)(0,4)，(1,2)(1,2)(2,0)，C，D的坐标分别为(0,4)和(2,0)因此(2，4)1向量的坐标形式的线性运算，主要是利用加、减、数乘运算法则进行2若已知线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用再练一题2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1) 求3ab3c的坐标；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标【解】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9,2)(0,20)(9，18)探究共研型向量平行的坐标表示探究1设a(x1，y1)，b(x2，y2)，若向量a，b共线(其中b0)，则这两个向量的坐标满足什么关系？反之成立吗？【提示】这两个向量的坐标应满足x1y2x2y10，反之成立即abx1y2x2y10.探究2如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？【提示】当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？【精彩点拨】由a，b的坐标求kab，a3b坐标由向量共线的条件列方程组求k的值判断方向【自主解答】法一：kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，得解得k.即当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，0，kab与a3b反向法二：由法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.此时kabab(a3b)当k时，kab与a3b平行，并且反向解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解再练一题3已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值【解】(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)A，B，C三点共线，R，即2a3b(amb)，解得m.构建体系1下列各组向量共线的是()Aa1(2,3)，b1(4,6)Ba2(2,3)，b2(3,2)Ca3(1,2)，b3(7,14)Da4(3,2)，b4(6,4)【解析】因为b3(7,14)7(1,2)7a3，所以a3与b3共线【答案】C2已知a(3,5)，b(3,2)，则ab()A(8，1)B(0,7)C(7,0) D(1,8)【解析】ab(3,5)(3,2)(33,52)(0,7)【答案】B3已知A(4,1)，B，C，若A，B，C共线，则x_. 【导学号：66470052】【解析】因为，所以(x4)，解得x1.【答案】14已知点A(