动物群落稳定发展的数学模型.doc

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At first, article according to three problems of the communitys development use differential model、superior model and regression model respectively to build up each mathematical model, then it make use of the EXCEL、LINGO and MATLAB to solve the model, getting the animals age structure distributes、getting the quantity of pantheress animals which need to inject to make the animals community maintenance at 11000 or so, getting the regression model ofand: . At last, make use of the EXCEL and MATLAB carrying on stability examination, and prove the model is stable. Key word: Animals community; Stable development; Age structure; Target function; Regression analysis目 录1引言12 变量及符号说明13 模型假设24 问题一34.1 问题一的分析及模型建立34.2 模型求解45 问题二85.1 问题二的分析及模型建立8 5.2 模型求解 106 问题三10 6.1 问题三的分析及模型建立10 6.2 模型求解117 模型的稳定性分析12 7.1 问题一的稳定性分析12 7.2 问题二的稳定性分析13 7.3 问题三的稳定性分析138 模型的改进方向149 结论14致谢15参考文献15附录16动物群落稳定发展的数学模型1引 言某自然保护区内居住着大约11000头某种动物.管理者希望有一个健康稳定的环境以便维持这11000头动物的稳定发展.有关部门逐年统计了该动物的数量，发现在过去的20年中，整个动物群落经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头左右，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的.近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移这些动物也比较困难，因此，要控制现在的数量就使用了一种避孕注射法.用这种方法注射一次可以使得一头成熟的雌性动物在两年内不会受孕.目前该自然保护区中已经很少发生移入和移出动物的情况.该动物的性别比也非常接近1：1，且采取了措施维持这个性别比。新出生的幼仔的性别比也在1：1左右.而双胞胎的机会接近于1.35%。该动物在11岁和13岁之间将第一次怀孕，平均每3.5年产下一个幼仔直到60岁左右为止.每次怀孕期为22个月.注射避孕药会使雌性动物每月发情，但不会怀孕.该动物通常在3.5年中仅仅求偶一次，所以这种注射不会引起其它附加的反应.新生的幼仔中大约有70%到80%可以活到1岁.但是其后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率在各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右.在这个公园里不可以狩猎，偷猎也微乎其微。该自然保护区有一个近两年内从这个地区运出的该动物的大致年龄和性别的统计数据表，但是没有其他任何可用的数据.根据以上背景，我们所要讨论的问题是：1探讨年龄在2岁到60岁之间该动物的合理存活率模型，推测这个动物群落当年的年龄结构. 2估计每年有多少雌性动物要注射避孕药，可以使该动物群维持在11000头左右.这里不免有些不确定性，也要估计这种不确定性的影响. 3如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止，那时重新壮大该动物群落的能力如何？2 变量及符号说明 表示第年该动物的数量； 表示第年初第岁该动物的数量； 表示第年末第岁该动物的数量； 分别表示新生幼仔、一岁以后各年龄段该动物的存活率及双胞胎出生的几率： 表示第年初该动物得数量，则； 表示第年末该动物的数量，则； 分别表示雌性动物、注射过避孕药但在两年内不再注射避孕药的雌性动物、注射过避孕药但在两年内重复注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率； 分别表示1360岁雌性个体、159岁个体、60岁该动物个体的数量； 分别表示1360雌性动物没有注射避孕药、注射避孕药但在两年内不重复注射及注射过避孕药但在两年内重复注射的数量； 表示表示每年出生幼仔的数量与该年个体死亡的数量的差值.3 模型假设 假设同一年中各个年龄段个体数量的比例是稳定的,为； 该动物群落的死亡是自然发生的，不考虑其它因素的影响； 设新生幼仔的存活率为0.75，以后各年龄段的存活率为0.95，超过60岁的动物则视为自动死亡； 在整个过程中不考虑个体之间的差异； 该动物群落中雌雄的性别比例为1：1； 该动物从13岁开始怀孕，经过两年后生幼仔； 假设该动物群落在近几年的总数都保持在11000头左右.4 问题一4.1 模型的分析及建立要研究动物群落的稳定发展，首先要知道该动物群落在近几年的年龄结构，记第年自然保护区内该动物的数量为，第年初及第年末该动物的数量为和，则当年从保护区内运走的该动物数量为，考虑当年该动物的增量，显然有：；此外，在由年初向年末的过渡中，在年末每个年龄段的动物数量等于年初存活下来的该动物的数量，即：（年末新生幼仔的数量等于年初新生幼仔在当年存活的数量，其中表示新生幼子的存活率），（年末第个年龄段的动物数量等于年初第个年龄段该动物存活的数量，其中表示第个年龄段该动物的存活率）；在由当年向下一年过渡中，下一年第个年龄段的该动物数量等于当年第个年龄段该动物的数量，即：.根据微分方程模型，该动物的动态发展过程符合下述模型：模型一：4.2 模型求解根据题目原始数据中近两年从自然保护区运走的该动物数量以及模型假设和模型假设，用Excel软件调试求解（其中第各年龄段的动物数量），使当年该动物的数量维持在11000头左右，从而可得出该动物群落近三年的年龄结构，如下表所示:表1 该动物群落近三年年龄结构Table1 The animal communitys age structure of three years岁数 q1q1yzq1yq2q2yzq2y当年无运走当年0789078980208027907441591059160106015925582561056157020550562530353235295412152053350345054501513135005064775479747248712475480453645520435462134494564307432942343822416433408841015395416144024113879389938039540355390367103692234737514361370348113503347356263303513301233223309338133253333131331553103211430731629714299132863042727730028215284212632883285285267162690269273142592702531725522233259122472562401824214228246202262432281922952242332520823021620217132042211720421820521206101962091419520719422195019519810188196184231851317218801881861742417530145178217617616525166141521693166167156261571214516041561581482714901491524148150140281412012114431411421332913361271362134134126301263123129312612711931119511412213109120113321138105115169911410733107129510913961081013410110911031093102953595392971087969036907839212809185378514718716718680388010708212708176397616607710677672407221517312617268416813556919506864426410546513526460436012486124376057445765157174057544554351541638545146516455125265148474893948123648454845133245450454249421032422319423950393363934539375137631371324373552352114351619353353331518331023333154314273117143129552913162913162927562710172713142725572532-72512132523582314923320232159210212122-121196019019190191918116836221106111870856110141172211020 780711793704779738273024882755246427262583注： 表示前年的年龄分布情况； 表示前年的运走情况； 表示前年的剩余动物年龄分布情况； 表示当年该动物的总数； 表示当年生幼子的雌性动物的数量； 表示能生幼子的雌性动物的数量； 上表中每年运走的该动物数量来自于自然学报； 对上表中数据进行抽样（按年龄进行等距抽样,并利用Excel软件对上述抽样数据用图形表示，便可直观掌握该动物群落年龄结构分布情况： 表2 抽样数据表Table 2 Sampling data watch年龄q1yq2y当年0789802790643544945612309325333182282262432414517617630123126127368380914254526448320455427143160191919图1 由上图可以看出，这三组数据所得出的曲线轨迹基本相同，其各个年龄段的分布情况也基本相同，由此可以直观的看出该动物年龄结构分布在每年基本上是稳定的.每年所生幼仔的数量减去生幼仔的雌性个体的数量所得值便为双胞胎的数量,双胞胎的数量比上生幼仔的雌性个体的数量便为双胞胎出生的几率,其理论值为;由表一中的数据可得:前一年双胞胎出生的几率为 前两年双胞胎出生的几率为前两年双胞胎出生的几率为由此可见，上述数据基本接近双胞胎出生几率,说明模型一得出的数据是合理的. 5问题二 5.1模型的分析及建立 ：随着社会对动物的保护越来越重视,用扑杀动物的方法来维持动物群落的稳定发展已成为历史;又由于动物的转移会耗费巨大的人力财力和物力,所以为了提高经济效益,用转移的方法来维持该动物群落的稳定发展也不可取.因此，若不对该动物群落采取其它人工手段，动物数量就会大幅度的膨胀，从而就会破坏该动物群落的稳定发展.为了维持该动物群落的稳定发展，就采用一种避孕注射法，使该动物群落的数量维持在11000头左右.我们的目的是估计每年需要为多少头雌性动物折射避孕药.为了分析方便，我们先从最理想的情况入手，采用渐进分析法,最后得到所要的结果；先假设当年该动物群落是稳定的，其各年龄段的数量在模型一中已求得.因此要使该动物群落稳定发展，只需相邻两年的动物增量（即）趋于0，从而把问题的稳定性问题转化为求最优解的问题： 先不考虑注射过避孕药的雌性动物在两年内重复注射避孕药和双胞胎的情况，则当年动物的增量，其中表示新生幼子的数量，死亡动物的总数为，按照假设，所有能生幼子的雌性动物可以分为两类：第一类，未注射避孕药的雌性动物；第二类，注射避孕药的雌性动物.所以能生幼子的雌性动物总数，而当年的新生幼子数量应等于注射过避孕药的雌性动物与未注射过避孕药的雌性动物所生幼子的总和，即，从而可建立如下模型：其中将已知数据待入得： 在上面的情况下我们加入两年内重复注射过避孕药和双胞胎这两个种不确定因素的影响.其分析情况同模型二，只是在这种情况下，能生幼子的雌性动物分三类，除上述两类外，还有在两年内重复注射避孕药的雌性动物，此时能生幼子的雌性动物总数，当年的幼子数量应等与上述三种雌性动物所生幼子的总和加上双胞胎的数量，即，从而建立如下模型：模型三：其中将已知数据待入得：5.2模型求解对于模型二，用Lingo软件进行求解（程序见附录1），得到如下结果：即在不考虑雌行动物重复注射避孕药和双胞胎的情况下，每年须为529头雌行动物注射避孕药，才能使该动物群落的总数维持在11000头左右.对于模型三，同样用Lingo软件求解（程序见附录2），得如下结果：，与模型二相比，说明新生幼子的数量比较稳定而每年注射避孕药的雌性动物的数量减少到356头，其中有125头该雌性动物是在注射一年后又被重复注射，而由说明该动物群落是稳定的.由此可知，每年注射356头该雌性动物时，就能把该动物群落的数量控制在11000头左右.6问题三6.1模型的分析及建立用注射避孕法可以使得该动物群落的数量减少，使其数量控制在一定范围内，但是，我们并不知道用这种人工手段后，对于一次突发事件（如疾病）后要增加其数量时，该种群的复壮能力如何.因此，我们建立数学模型，分析研究其复壮能力.我们假设由于某种原因，使得该动物减少至M头，此时不得不停止注射避孕的方法.为此我们建立如下模型：（分析过程同模型一）模型四：6.2模型求解：对取不同的值，利用MATLAB语言进行求解，并利用EXCEL软件对和进行回归分析则可以得到以下结果:表2 该动物现有数量与恢复时间关系表Table 2 The relation of existing quantity and the instauration timeM10000900080007000600050004000t3368111415 图2表3 回归模型表Table 3 The watch regression model公式结果=LINEST(B1:H1,B2:H2,)-432.252,10705.88回归方程由图二和表三可知M和t服从一定的线性关系，根据EXCEL算出的数据可知:；即： ；所以对的变化率为 ；可见对的变化率是很小的，即该动物群落恢复所用时间对来说是相对稳定的，由可以看出，改动物群落每减少433头，恢复时间就增加一年，可见其恢复能力也是很强的.7模型的稳定性分析7.1问题一的稳定性分析 我们利用Excel软件对模型一求解，求得了该动物群落近三年各个年龄段的数量分布,并对所得到的数据进行（按年龄）等距抽样，然后利用Excel软件对抽样所得到的数据用做图法进行对比分析，从图可看出各年该动物各个年龄段的数量是围绕一定的轨迹进行分布的. 用Excel软件中的统计函数CORREL(其值返回两组变量的相关系数)对抽样数据进行相关分析，所得结果如下表：表4 相关性检验表Table 4 The relativity examination watchABC1q1yq2y当年2789802790343544945643093253335228226243614517617671231261278838091954526410320451127143112191919 公式相关系数=CORREL（A2：A12，B2：B12）R=0.99821771=CORREL（A2：A12，C2：C12）R=0.99908668=CORREL（B2：B12，C2：C12）R=0.99870924由上表中所计算得的结果可得，近三年中每两年该动物在各年龄段上的数量的相关系数R都接近1，其各年的该动物的总数基本上都在11000左右.从上面分析所得出的结果可以看出，模型一是稳定的.7.2问题二的稳定性分析我们用等价转化法，把求注射避孕药雌性个体的数量问题转化为（新生的幼仔数量自然死亡的数量）=0数学问题，从而把该动物群落的稳定性问题转化为目标函数为的单目标函数的极小化问题：。利用MATLAB对模型进行求解，所得出的数据可使动物群落的总数量维持在11000头左右，由此可见，模型二和模型三也是稳定的，其结果也是最优的.7.3问题三的稳定性分析我们用MATLAB语言的编程求得了（动物群落现有头数）与该动物群落从恢复到11000头左右所需时间，然后用Excel软件中的LINEST函数得到了 和之间的关系，在此我们用MATLAB对模型进行残差分析则得到如下的残差分析图： 图3从图三可以看出,所有数据的残差离零都比较近，并且残差的置信区间均包括零点,这说明回归模型是正确的.由以上分析可知与的关系是比较稳定的 .8模型的改进方向由生活常识可知，对于该动物群落超过60岁后的死亡情况应基本上服从正态分布.故如果在各模型中加如这一因素，结果会更符合实际.9结论文章利用微分模型，优化模型，回归模型间分别针对原问题的三个问题建立各自的数学模型，通过对各个模型进行求解，得到了如下结果：求得了该动物群落近三年年龄结构分布，得到该动物群落是相对稳定的；得到了维持该动物稳定发展所要注射避孕药的雌性动物的数量为365头；得到该动物群落的恢复能力是很强的，每年可使该动物群落恢复432头；致辞本文是在胡华老师的精心指导及同学的帮助下完成的. 从论文的选题、写作、修改、直至最后定稿，无不倾注着老师大量的心血. 老师严谨求实的治学态度、诲人不倦的师长风范,兢兢业业的工作作风，使我受益匪浅. 在此衷心感谢胡华老师的指导、关怀与帮助. 也衷心感谢帮助过我的每位老师和同学.参考文献1 谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件M.北京：清华大学出版社，20052 张宏伟.LINDO8.0及在环境系统优化中的应用M.天津：天津大学出，20053 朱德通.最优化模型与实验M.上海：同济大学出版社，20034 赵静，但琦.数学建模与实验M.北京：高等教育出版社，20035 吴建国.数学建模案例精编M.北京：中国水利水电出版社，20056 唐焕文.数学建模引论M.北京：高等教育出版社，20017 苏金明，张莲花，刘波.MATLAB工具箱应用M.北京:电子工业出版社，20048 韩中庚.数学建模方法及其应用M.北京：高等教育出版社，20059 将启源，谢金星，叶俊.数学建模M.北京：高等教育出版社，200310 邵大宏.LINGO和EXCEL在数学建模中的应用M.北京，科学教育出版社，2007附录附录1：min=0.75*x0-530;0.2587*y1+0.1818*y2-x0=0;Y1+y2=2853;0.75*x0-530=-20;GIN(x0);GIN(y1);Gin(y2);结果如下：Global optimal solution found at iteration: 0Objective value: -17.75000Variable Value Reduced CostX0 683.0000 0.7500000Y1 2054.000 0.0000000Y2 529.0000 0.0000000Row Slack or Surplus Dual Price1 -17.75000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 27.75000 0.0000005 2.250000 0.000000附录2：min=0.75*x0-530;0.2896*y1+0.1843*y2+0.1559*y3-x0=0;y1+y2+y3=2583;y3=0;0.75*x0-530=0;GIN(x0);GIN(y1);Gin(y2);Gin(y3;结果如下Global optimal solution found at iteration: 2Objective value