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第三章 周期信号的傅里叶级数分析,2. LTI系统对复指数信号的响应,两个性质： 1由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信导； 2LTI系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统对任意输人信号的响应有一个很方便的表示式。,现考虑一个单位冲激响应为h(t)的连续时间LTI系统。对任意输入x(t)，可由卷积积分来确定输出，若 ，则有,系统对 的响应就为：,这样一个事实，即：一个LIT系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化： 连续时间： 这且H(s)是个复振幅因子，一般来说是复变量s的函数。一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数(可能是复数)乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。,更为一般的信号,根据叠加性质,若一个连续时间LTI系统的输入表示成复指数的线性组合，即,那么输出就一定是,例3.1 考虑输入x(t)都输出y(t)是一个延时为3的LTI系统，即,若该系统的输入是复指数信号 求其特征值。,由已知有： 有关的特征值是：,根据已知，该系统的单位冲激响应是,所以,3. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 31 成谐波关系的复指数信号的线性组合,如果一个信号是周期的，那么对t，存在某个正值T，有,x(t)的基波周期就是满足上式的最小非零正值T，而 成为基波频率。,与上式有关的成谐波关系的复指数信号集就是,k=0,+-1,+-2,一个由成谐波关系的复指数线性组合形成的信号,一次谐波分量 、二次谐波分量 。,例 3.2 有一周期信号，其基波频率为 ，形式如下：,求其各次谐波分量,其中,转例3.16,再利用欧拉公式可写成,上式其实就是实周期信号傅里叶级数的另一种表现形式。,32 连续时间周期信号傅里叶级数表示式的确定,需要一种办法来确定这些系数,利用正弦、余弦周期函数的积分特性，有,x(t) 的频谱系数,综合公式：,分析公式：,(3.38),(3.39),就是x(t) 中的直流或常数分量,在个周期内的平均值,例3.3 考虑信号,其基波频率为 ，确定该信号的傅里叶级数系数。,解：方法1：是利用(339)式求解；,方法2：这样简单的情况下，只要将 直接展开成复指数的线性组合，就能凭直观确定傅里叶级数的系数，即表示成,与(3.38)式进行比较可得,例3.3 令,求该信号的傅里叶级数系数,解：将上式直接展开成复指数形式有,将相应项进行归并可得,由此可得该信号的傅里叶级数系数为,用条线图表示出了傅里叶级数系数的幅度和相位,例3.5 一周期性方波，在一个周期内定义如下：,该信号的基波周期是T，基波频率就为 。现在来确定的傅里叶级数系数。,首先对k0有,它代表信号的平均值 。,其次对k不等于0有：,返回例3.6,对于 固定和几个不同的 T 值时，周期性方波傅里叶级数系数 的图,4. 傅里叶级数的收敛,狄里赫利条件 ： 条件1： 在任何周期内， 必须绝对可积，即 ，与前面讲的平方可积条件相同，这一条件保证了每一个系数 是有限值。 条件2： 在任意有限区间内， 具有有限个起伏变化；也就是说，在任何单个周期内，该信号的最大值和最小值数目有限。 条件3：在 的任何有限区间内，只有有限个不连续点，且在这些不连续点上，函数是有限值。,例35 下列信号是否满足狄里赫利条件：,吉布斯现象,5. 连续时间傅里叶级数性质,性质1： 线性 性质2： 时移性质 性质3： 时间反转 性质4： 时域尺度变换,是一周期信号，周期为T，基波频率,博里叶级数系数记作,性质1： 线性,若 、 为两个周期信号，周期为T，它们的傅里叶级数系数分别为和，即,性质2：时移性质,当给个周期信号x(t)以某个时移时，该信号的周期T保持不变，所得到的信号 的傅里叶级数系数 可以表示为,令,这个性质说明：当一个周期信号在时间上移位时，它的傅里叶级数系数的模保持不变。即,若,那么,性质3： 时间反转,当一个周期信号 经过时间反转后，其周期T仍然保持不变，为了确定 的傅里叶级数系数,作变量代换 k = - m,那么，我们得到如下结论：,时间反转性质的一种结果是：若 为偶函数，即 ，则其博里叶级数系数也为偶，即,若 为奇函数，即 ，则其傅里叶级数系数也为奇，即,性质4： 时域尺度变换,要强调的是，虽然博里叶系数没有改变，但由于基波频率变化了，博里叶级数表示却改变了。,性质5： 共轭及共轭对称性,对于 为实函数,若信号为实且为偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实且为偶函数；,.若信号为实且为奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚数且为奇函数。,例3.6 有一信号 ，基波周期是4，如图所示。求其傅里叶级数的系数。,解：方法1：用分析公式(3.39)式直接求解。,方法2 ：利用 与例3.5中对称周期方波的关系来求。,1/2,链接例3.5,利用了傅里叶级数的时移性质，傅里叶级数的的线性性质 .,例3.7 考虑一周期为T4的三角波信号 ，其基波频率 ，如图所示。求该信号的傅里叶级数的系数。,根据傅里叶级数的微分性质 ，e0的物理含义。,6. 傅里叶级数与LTI系统,称该系统的系统函数,当,称该系统的频率响应,这就是说，LTI系统的作用就是通过乘以相应频率点上的频率响应值来逐个地改变输入信号的每一个傅里叶系数。,例3.16 假设