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2.4.1 抛物线的标准方程基础达标1已知抛物线的准线方程是x7,则抛物线的标准方程是_解析:由题意,设抛物线的标准方程为y22px(p0),准线方程是x,则7,解得p14,故所求抛物线的标准方程为y228x.答案:y228x2已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切,则p的值为_解析:抛物线的准线为x,将圆的方程化简得到(x3)2y216,准线与圆相切,则1p2.答案:23以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_解析:双曲线的方程为1,右顶点为(4,0)设抛物线的标准方程为y22px(p0),则4,即p8,抛物线的标准方程为y216x.故填y216x.答案:y216x4抛物线x24ay(a0)的准线方程为_解析:抛物线的焦点在y轴上,准线方程为y,即ya.答案:ya5过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点若AF3,则BF_.解析:抛物线y24x的准线为x1,焦点为F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2)由抛物线的定义可知AFx113,所以x12,所以y12,由抛物线关于x轴对称,假设A(2,2)由A,F,B三点共线可知直线AB的方程为y02(x1),代入抛物线方程消去y得2x25x20,求得x2或,所以x2,故BF.答案:6已知F是拋物线y2x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,AFBF3,则线段AB的中点到y轴的距离为_解析:过A,B分别作准线l的垂线AD,BC,垂足分别为D,C,M是线段AB的中点,MN垂直准线l于N,由于MN是梯形ABCD的中位线所以MN.由抛物线的定义知ADBCAFBF3,所以MN,又由于准线l的方程为x,所以线段AB中点到y轴的距离为,故填.答案:7平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程解:设P(x,y),则有|x|1,两边平方并化简得y22x2|x|.y2故点P的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为,求p与m的值解:(1)抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,抛物线的方程为标准方程又点P(4,2)在第一象限,抛物线的方程设为y22px,x22py(p0)当抛物线为y22px时,则有222p4,故2p1,y2x;当抛物线为x22py时,则有422p2,故2p8,x28y.综上,所求的抛物线的方程为y2x或x28y.(2)由抛物线方程得其准线方程y,根据抛物线定义,点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离,即4,解得p;抛物线方程为:x2y,将A(m,4)代入抛物线方程,解得m2.能力提升1在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y24x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为_解析:直线l的方程为y(x1),即xy1,代入抛物线方程得y2y40,解得yA2(yB0,b0)的一个焦点,并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为,求抛物线与双曲线的方程解:由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,p2c.设抛物线方程为y24cx,抛物线过点,64c.c1,故抛物线方程为y24x.又双曲线1过点,1.又a2b2c21,1.a2或a29(舍去)b2,故双曲线方程为:4x21.4设抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点(1)若BFD90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值解:(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,BD2p,圆F的半径FAp.由抛物线定义可知A到l的距离dFAp.因为ABD的面积为4,所以BDd4,即2pp4,解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1),圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A、B、F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB90.由抛物线定义知ADFAAB,所以ABD30,m的斜率为或.当m的斜率为时,由已知可设n:yxb,代入x22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点,故p
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