[理学]实变函数论课件.ppt

第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,目的：了解Lebesgue积分的科学意义，熟练掌握Lebesgue积分的定义及其基本性质。 重点与难点：Lebesgue积分的引入及其性质。,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,基本内容： 一Lebesgue积分的定义 问题1：分析Riemann积分的缺陷，我们应如何定义可测函数的积分？,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,到目前为此，一切准备工作就绪，我们可以来定义Lebesgue积分了。定义Lebesgue积分的方法有多种，其一是利用简单函数来定义，根据上一章，对E上任一非负可测函数f，可以找到一列单调递增的简单函数 ，使得 ，而对每个简单函数 ，若,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,则可自然定义 的积分为： 若此和式极限存在，则可定义该极限为f的积分，最后再过渡到一般的可测函数。 第二种方法是如引言所说，找一串,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,序列 ，使记 ，讨论和式极 限是否存在。 还有一种办法，就是对E作任意划分： 记 ， 然后象Riemann积分那样作对应于该划分的小,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,和数 与大和数 ，讨论相对于划分的加细，其大和数与小和数的极限是否相等。 本章将采用第二种做法。 定义1 设 是测度有限的可测集，f是定义在E上的有界可测函数，即存在,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,，使 若D： 是 的任一分点组，则记 对任意 ,作和式,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,称S(D)为f对应分点组D的一个“和数”。如果存在常数A，使得对任意 总有 当任意分点组D满足 时 换言之， 则称f在E上是Lebesgue可积的，并称A为f在E上的,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,Lebesgue积分，记作 有时为简便起见，也记 ，若 ，则记 当 是Riemann可 积函数时，其Riemann积分仍沿用数学分 析中的写法，记作 ，后面将会看,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,到，当 Riemann可积时，必有 ，由此可见Lebesgue积分确是Riemann积分的推广。 对 的任意分点组D： 可作两个特殊的和数为：,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,称 ， 分别为f 对应分点组D的“大和数”与“小和数”。显然对于f 的任一和数 ，有 由此可见，极限 存在当且仅当,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,都存在且相等。 正如Riemann积分一样，人们可能会问，什么样的可测函数是Lebesgue可积的呢？下面的定理说明：任一有界可测函数都是Lebesgue可积的。,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,（2） 有界可测函数的积分 *定理1 设 是测度有限的可测集，f是E上的有界可测函数，则f在E上Lebesgue可积。 证明：记S是相对于所有分点组D的“小和”的上确界， 是相对于所有分点组的“大,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,和”的下确界，即 。 往证 。 首先证明 ，设 是两个任意的分点组，则,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,将D与D合并起来构成一个新的分点组，记 为 可以看成分点组D中又加进了一些 分点，称为D的一个“加细”，假设对任意 与 之间加入了某些分点 即 于是,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,类似地， 于是 这说明，相对于任一分点组D的加细 ，,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,“大和”不增，“小和”不减，且 中任一 数不超过 中任一数，从而 。 再证 。设D为任意的分点组，则由 于 故,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,令 时，则 进而 。 最后，令 ，往证 注意到 ， ，故,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,由此可见 所以 ，即f有E上Lebesgue可 积。证毕。 （3） 例 例 设,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,在0,1上Lebesgue可积，且 事实上,对于任一分点组,若 则 ，且对任意 ，有 ，而 对其它的分点 总有 所以,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,令 立得 不难看出， 在0，1上不是riemann 可积的。所以，Lebesgue可积函数类比 Riemann可积函数类要广。,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,二Lebesgue积分的性质 问题2：回忆Riemann积分的性质，由此猜测Lebesgue积分应具有什么性质？,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,*定理2 设 都是E上的 有界可测函数，则 （i）对任意 证明：从积分定义立知（i）是显然的。,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,（ii）若E1，Em是E的可测子集， 则,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,证明：只需就m=2情形证之，一般情形 完全类似可证.设 是任意正数, D： 是任一分点组，使 得 ,记 ,则 令,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,则 分别构成E1与E2的一个划分，从而,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,由的任意性知 反之，由于,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,且 由 的任意性得,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,综上(ii)得证。 证明：设 ，对任意 ，分别取 中分点组D： 使得 令,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,则 是互不相交的有限个可测集，且 ，于是由（ii）知,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,所以 再由 的任意性得 另一方面，由Lebesgue积分定义及 互 不相交易知,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,故 再由,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,得 仍由 的任意性得,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,所以 证毕。,第16讲 Lebesgue积分的定义与性质,(iv)当 时， 证明 令 ，则 由L-积分