[理学]西南交通大学概率教案11考研必备.ppt

4.1 数学期望,一、数学期望的概念 二、随机变量的函数的数学期望 三、数学期望的性质,一、数学期望的概念,1、离散型随机变量的数学期望,引例1 分赌本问题(产生背景),A, B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定先胜三局者为胜, 取得全部200元。由于出现意外情况, 在A胜2局B胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?,A 胜 2 局 B 胜 1 局,前三局:,后二局:,A A,A B,B A,B B,A 胜,B 胜,分析,假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:,A A,A B,B A,B B,A胜B负,A胜B负,A胜B负,B胜A负,B胜A负,A胜B负,B胜A负,B胜A负,因此, A 能“期望”得到的数目应为,而B 能“期望”得到的数目, 则为,故有, 在赌技相同的情况下,A, B 最终获胜的,可能性大小之比为,即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的,因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,等于,X 的可能值与其概率之积的累加.,即为,若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.,则X 所取可能值为:,其概率分别为:,设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下,引例2 射击问题,试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?,解,平均射中环数,设射手命中的环数为随机变量 Y .,平均射中环数,“平均射中环数”的稳定值,“平均射中环数”等于,射中环数的可能值与其概率之积的累加,定义1.1 设离散型随机变量X的分布律为 为X的数学期望，亦称为概率均值，简称均值或期望。,分赌本问题,A期望所得的赌金即为 X 的数学期望,射击问题,“平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望,关于定义的几点说明,(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同。,(1) E(X)是一个实数, 而非变量, 它是一种加权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 故也称均值。,(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量 X 取可能值的平均值, 它不应随可能值的排列次序而改变。,随机变量 X 的算术平均值为,假设,它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值。,当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等。,例1.1 甲乙两射手打靶，击中的环数分别为X、Y，其分布律为 试评定他们的成绩好坏。,例1.2 某公共汽车站每天8:009:00, 9:0010:00都有一辆客车到站, 可到站时间随机, 且两次到站时间相互独立, 其规律为:,(1)一旅客8:00到站, 求其候车时间的数学期望。 (2)一旅客8:20到站, 求其候车时间的数学期望。,解：设旅客的候车时间为X分钟,(1) X的分布律为:,(2) X的分布律为:,故, 候车时间的数学期望为,故, 候车时间的数学期望为,2、连续型随机变量的数学期望,定义1.2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 若积分 为X的数学期望, 简称期望或均值。,例1.3 设连续型随机变量X的概率密度为 试求E(X)。,例1.4 设连续型随机变量X的概率密度为 试求E(X)。,(1)若将5个电子装置串联组成整机，求整机寿命N的期望。 (2)若将5个电子装置并联组成整机，求整机寿命M的期望。,例1.5 有5个相互独立工作的电子装置, 其寿命Xk (k=1, 2, 3, 4, 5)服从同一指数分布, 其概率密度为,(1) N=min(X1, X2,X5)的分布函数为,(2) M=max(X1, X2,X5)的分布函数为,二、随机变量函数的数学期望,1、离散型随机变量的函数的期望,例1.6 设X的分布律如下表，试求Y=X21的期望。,解：法一：先求Y=X21的分布律为,2、连续型随机变量的函数的期望,例1.7 设风速V在(0,)上服从均匀分布, 又设飞机机翼所受的正压力为W=kV2 (k0常数), 试求W的数学期望。,例1.8 游客乘电梯从底层到电视塔观光, 电梯于每个整点的第5分钟, 25分钟, 55分钟从底层起行, 假设一游客是在早上8点第X分钟到达底层电梯处, 且X在0,60上服从均匀分布, 试求该游客等候时间的数学期望。,解：已知XU0,60，其概率密度为,再设Y=游客等候电梯的时间(分钟)，则有,例1.9 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在2000,4000(单位：吨)上服从均匀分布，若每售出一吨，可获利3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？,所以，组织3500吨货源时，平均收益最大。,解：应组织a吨货源，则收益为,3、多维随机变量的函数的期望,注1：上二式中的级数与积分均要求绝对收敛。,注2：对二维以上的函数的期望公式与之类似。,(2) 设(X,Y)的概率密度为f(x,y), 则函数Z=g(X,Y)的数学期望为,例1.10 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,例1.11 设点(X,Y)在正方形D=(x,y)|0x1,0y1上随机取值，试求E(X2+Y2)。,解: 依题意, (X,Y)服从D上的均匀分布, D的面积为1, 则其联合概率密度为,三、数学期望的性质,1、(线性法则) 设X为随机变量, 其期望为E(X), 对任意常数a, b, 有 E(aX+b)=aE(X)+b,例1.12 设X的分布函数为,特别地, 当a=0时, E(b)=b, 即常数的期望为其本身;,当b=0时, E(aX)=aE(X)。,2、(加法法则) 设X,Y为随机变量，同为离散型或连续型，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y),例1.13 将n个球随机地放入M个盒子中，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望。,3、(乘法法则) 设X,Y为同类型随机变量，且相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y),推广：若X1,X2,Xn是相互独立的随机变量，则 E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn),例1.14 设一电