高中数学 第二章 数列 2_3 等差数列的前n项和（二）课件 新人教a版必修5

第二章 数 列,2.3 等差数列的前n项和 (二),1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质. 2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,2.等差数列前n项和的最值,知识梳理 自主学习,知识点一 等差数列前n项和及其最值,答案,最大,答案,最小,最小,最大,知识点二 数列中an与Sn的关系 对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为,答案,S1,SnSn1,思考 若Snn2n，则an_. 解析 n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n， 当n1时，a1S1121221， an2n.,解析答案,2n,知识点三 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而实现求和. 常见的拆项方法：,答案,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 已知Sn求an 例1 已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2n23n，试判断数列an是不是等差数列.,解析答案,反思与感悟,解 Sn2n23n，当n2时， anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1. 当n1时，a1S15411. n1时，适合an4n1. 数列的通项公式是an4n1. 故数列an是等差数列.,当n1适合于an时，则a1可以统一到an(n2，nN*)的形式中.若n1不适合an，则通项公式应写成分段函数形式. (2)等差数列an中，若d0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若SnAn2Bn，那么数列an一定是等差数列.,反思与感悟,跟踪训练1 本例中，若Sn2n23n1，试判断该数列是不是等差数列.,解析答案,解 Sn2n23n1.n2时， anSnSn12n23n12(n1)23(n1)14n1. 当n1时，a1S16411.,故数列an不是等差数列.,题型二 等差数列前n项和的最值问题 例2 在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值.,解析答案,反思与感悟,解 方法一 S9S17，a125，,解得d2.,解析答案,反思与感悟,(n13)2169. 当n13时，Sn有最大值169.,方法二 同法一，求出公差d2. an25(n1)(2)2n27. a1250，,又nN*，当n13时，Sn有最大值169.,解析答案,反思与感悟,方法三 S9S17， a10a11a170. 由等差数列的性质得a13a140. a10，d0，a140. 当n13时，Sn有最大值169. 方法四 设SnAn2Bn. S9S17，,反思与感悟,当n13时，Sn取得最大值169.,(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形： 若a10，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. (2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法： 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用,反思与感悟,运用二次函数求最值的方法，注意解自然数.,解析答案,跟踪训练2 已知等差数列an中，a19，a4a70. (1)求数列an的通项公式；,解 由a19，a4a70， 得a13da16d0，解得d2， ana1(n1)d112n.,解析答案,(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？,解 方法一 a19，d2，,当n5时，Sn取得最大值. 方法二 由(1)知a19，d20，an是递减数列.,nN*，n5时，an0，n6时，an0. 当n5时，Sn取得最大值.,解析答案,反思与感悟,当n2时，anSnSn1,解析答案,反思与感悟,3n104. n1也适合上式， 数列an的通项公式为an3n104(nN*). 由an3n1040，得n34.7. 即当n34时，an0；当n35时，an0.,(1)当n34时， Tn|a1|a2|an|a1a2an,(2)当n35时， Tn|a1|a2|a34|a35|an| (a1a2a34)(a35a36an) 2(a1a2a34)(a1a2an) 2S34Sn,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,等差数列的各项取绝对值后组成数列|an|.若原等差数列an中既有正项，也有负项，那么|an|不再是等差数列，求和关键是找到数列an的正负项分界点处的n值，再分段求和.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 已知等差数列an中，若S216，S424，求数列|an|的前n项和Tn.,解 设等差数列an的首项为a1，公差为d，,所以等差数列an的通项公式为an112n (nN*). 当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.,解析答案,当n6时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn 2(52105)(n210n)n210n50，,解析答案,题型四 裂项相消法求和,反思与感悟,解 等差数列an的首项a13，公差d2，,反思与感悟,裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前n项和.,反思与感悟,解析答案,解析答案,已知Sn求an忽略n1的情况,易错点,例5 已知数列an的前n项和为Snn21，则数列an的通项公式为an_.,误区警示,返回,错解 anSnSn1(n21)(n1)212n1. 答案 2n1 错因分析 运用anSnSn1求通项公式时，要求n2，只有验证n1满足通项公式后，才能用一个式子来表示，否则必须分段表示. 正解 当n2时，anSnSn1 (n21)(n1)212n1. 当n1时，a1S11210，不符合上式，,误区警示,误区警示,根据前n项和Snan2bnc判断an是不是等差数列时，只有当c0时是等差数列，否则不是.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.已知数列an的前n项和Snn2，则an等于( ) A.n B.n2 C.2n1 D.2n1,解析 当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1， 又因a11符合an2n1，所以，an2n1(nN*).,D,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6S7S5，有下列四个命题：d0；S120；数列Sn中的最大项为S11，其中正确命题的序号是( ) A. B. C. D.,解析答案,1,2,3,4,5,解析 由|a5|a9|且d0得a50，a90，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故S6S7且最小.,1,2,3,4,5,3.已知等差数列an中，|a5|a9|，公差d0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_.,6或7,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,n99.,99,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知数列an的前n项和Sn32n，求an.,解 (1)当n1时，a1S1325. (2)当n2时，Sn132n1， 又Sn32n，anSnSn12n2n12n1(n2). 又当n1时，a121115，,课堂小结,1.因为anSnSn1在n2时才有意义，所以由Sn求通项公式anf(n)时，要分n1和n2两种情况分别计算，然后验证两种情