高中数学 第二章 数列 2_3_2 等比数列的前n项和（二）课件 新人教b版必修5

第二章,数列,学习目标 1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关问题.,2.3 等比数列 2.3.2 等比数列的前n项和(二),1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 上一节我们学习了等比数列的前n项和的公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？,预习导引 1.等比数列的前n项和的变式 当q1时，Sn .,na1,(2)当公比q1时，等比数列的前n项和公式是Sn ，它可以变形为Sn ，设A ，上式可写成 Sn .由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q1时，因为a10，所以Snna1的相应函数是正比例函数(常数项为0的一次函数).,AqnA,2.等比数列前n项和的性质 (1)连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)，仍构成等比数列(注意：q1或m为奇数). (2)SmnSmqmSn(q为数列an的公比). (3)若an是项数为偶数、公比为q的等比数列，则 .,q,要点一 等比数列前n项和Sn的函数特征 例1 设f(n)2242723n1 (nN)，则f(n)等于( ) A. (8n1) B. (8n11) C. (8n21) D. (8n31) 解析 f(n)2242723n1,B,规律方法 数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数.所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法.,跟踪演练1 若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_. 解析 显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn 3nt，t .,要点二 等比数列前n项和性质的应用 例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证： Sn(S2nS3n). 证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，,方法二 根据等比数列性质，有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn， 规律方法 运用等比数列的前n项和公式要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.,跟踪演练2 在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n. 解 因为S2n2Sn，所以q1，,要点三 等差、等比数列前n项和的综合问题 例3 已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2(nN)，在数列bn中，b11，点P(bn，bn1)在直线xy20上. (1)求数列an，bn的通项公式；,解 由Sn2an2，得Sn12an12(n2)，两式相减得an2an2an1，即an2an1(n2)， 又a12a12，a12， an是以2为首项，以2为公比的等比数列，an2n. 点P(bn，bn1)在直线xy20上， bnbn120，即bn1bn2， bn是等差数列，b11，bn2n1.,(2)记Tna1b1a2b2anbn，求Tn. 解 Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n， 2Tn122323524(2n3)2n(2n1)2n1， 得： Tn122(22232n)(2n1)2n1 242n8(2n1)2n1 (32n)2n16，,Tn(2n3)2n16. 规律方法 等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错.,跟踪演练3 在等比数列an中，an0 (nN)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的一个等比中项为2. (1)求数列an的通项公式；,又an0，a3a55.又a3与a5的一个等比中项为2， a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51.,解 bnlog2an5n，bn1bn1， bn是以b14为首项，1为公差的等差数列， bnn5.,1.在等比数列中，已知a1a2a36，a2a3a43，则a3a4a5a6a7等于( ),1,2,3,4,答案 A,1,2,3,4,2.已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零且a1的常数)，则数列an( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列，或者是等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列,2,3,4,1,解析 当n2时，anSnSn1(a1)an1； 当n1时，a1a1，an(a1)an1，nN. 答案 B,2,3,4,1,3.一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( ) A.180 B.108 C.75 D.63 解析 由题意得S7，S14S7，S21S14组成等比数列48,12,3，即S21S143，S2163.,1,2,3,4,D,4.在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn3nk，则实数k_. 解析 当n1时，a1S13k， 当n2时，anSnSn1(3nk)(3n1k) 3n3n123n1. 由题意知an为等比数列，所以a13k2，k1.,1,2,3,4,1,课堂小结 1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lg an构成等差数列. 2