《行列式的计算方法》PPT课件.ppt

第五节 行列式的计算方法,1. 利用行列式的性质化行列式为上（下）三角行列式,2. 行列式按行（或列）展开，将行列式降阶,3. 利用Laplace定理将行列式降阶,4. 箭式行列式的求法,C1C2（1/a1）,C1C3（1/a2）,C1Cn（1/an）,例1,5. 形如,的行列式的计算,原式,+,+,+,+,+,+, D + x (A11+A21+An1) + x (A12+A22+An2),+ x (A1n+A2n+Ann),+ ,例2. 计算行列式,解： 原式,+ 2,一般的，对于,A11= A12 = A1(n-1)= 0, 除了i+ j = n+1，其它的Aij= 0,对于行列式,除了i = j ,其它的Aij= 0,回到例2. 原式,+ 2, 2A2(n-1),2,= 2(-1)n+1,a2(n-1),例3. 求n阶行列式,的值,解： 原式,+ A11+ A22+ +Ann,= a1a2an,+ a2a3an,+ a1a3a4an + +,a1a2an-1,6. 升级法,例4,例5. 求行列式,的值,解：原式,（a1, a2,an 都不为0）,例6. 求行列式,的值,解：, A1(n+1) + xA2(n+1) + x2A3(n+1) +xn-1An(n+1) +xnA(n+1)(n+1),An(n+1) = (-1)n+(n+1)Dn,= - Dn,等式两端xn-1的系数相等，可得,7. 递推公式法,例7. 求行列式,的值,解：原式,9Dn-1-20Dn-2,Dn = 9Dn-1-20Dn-2 (1),Dn- 4Dn-1 = 5Dn-1-20Dn-1 (2),= 5(Dn-1 4Dn-2),= 52(Dn-2 4Dn-3),=5n-3(D3- 4D2),所以有 Dn 4Dn-1 = 5n (2),(3),(3),5(2) 4(3): Dn5n+1 4n+1,对于一般情况，若n阶行列式Dn满足Dn= aDn-1- bDn-2,设 a = p + q, b = pq,则有 Dn pDn-1 = qDn-1 bDn-2 = q(Dn-1 pDn-2),= q2(Dn-2 pDn-3),= = qn-m(Dm- pDm-1),Dn- qDn-1= pDn-1 bDn-2 = p(Dn-1 qDn-2),= p2(Dn-2- qDn-3),= = pn-m(Dm - qDm-1),其中Dm和Dm-1可以求出,（1）,（2）,(2)p (1)q: (p-q)Dn= pn-m+1(Dm- pDm-1) qn-m+1(Dm-qDm-1),进而求得Dn,例8. 求解n阶行列式,解：原式,原式,左(x y)Dn-1,= y(x-z)n-1,Dn（x-y)Dn-1+y(x-z)n-1 (1),原式,Dn（x-z) Dn-1+ z(x-y)n-1 (2),(1)(x-z)-(2)(x-y): (y-z)Dn = y(x-z)n-z(x-y)n,小结,1. 利用行列式的性质化行列式为上（下）三角行列式,2. 行列式按行（或列）展开，将行列式降阶,3. 利用Laplace定理将行列式降阶,4. 箭式行列式的求法,5.