2019高考数学二轮复习专题20直线与抛物线的综合练习理.docx

20直线与抛物线的综合1.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1+x2=43,则弦AB的长为().A.4B.163C.103D.83解析抛物线的焦点弦公式为|AB|=x1+x2+p,由抛物线方程可得p=2,则弦AB的长为x1+x2+p=43+2=103,故选C.答案C2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,若直线AF的斜率k=-3,则线段PF的长为().A.4B.5C.6D.7解析因为抛物线的方程为y2=6x,所以焦点为F32,0,准线方程为x=-32.因为直线AF的斜率k=-3,所以直线AF的方程为y=-3x-32.当x=-32时,y=33,即A-32,33.因为PAl,A为垂足,所以点P的纵坐标为33,代入抛物线方程,得点P的坐标为92,33,所以|PF|=|PA|=92-32=6,故选C.答案C3.已知抛物线C:y2=x,过点P(a,0)的直线与C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OAOB0,则实数a的取值范围是().A.(-,0)B.(0,1)C.(1,+)D.1解析设直线方程为x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+a代入抛物线方程得y2-my-a=0,所以y1y2=-a,x1x2=(y1y2)2=a2.由OAOB=x1x2+y1y2=a2-a0)上一点,由定义易得|PF|=x0+p2;若过焦点的弦AB的端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=16,且|AF|BF|,则|AF|=.解析由题意可设过抛物线y2=8x的焦点F的直线方程为y=k(x-2).联立y2=8x,y=k(x-2),得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k2+8k2.|AB|=16,x1+2+x2+2=16,即4k2+8k2=12.k2=1,则x2-12x+4=0,x=642.|AF|0.设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4t.MDME=(x1-4,y1-4)(x2-4,y2-4)=(x1-4)(x2-4)+(y1-4)(y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=(y1y2)216-4y124+y224+16+y1y2-4(y1+y2)+16=t2-16m2-12t+32-16m=0,即t2-12t+32=16m2+16m,得(t-6)2=4(2m+1)2,t-6=2(2m+1),即t=4m+8或t=-4m+4.把t=4m+8代入式检验,满足0,把t=-4m+4代入式检验,得m2(不合题意).直线DE的方程为x=my+4m+8=m(y+4)+8.直线DE过定点(8,-4).根据直线与圆锥曲线的位置关系中弦的中点、平面向量、线段的平行与垂直、距离等概念,可建立关于变量的方程来求解.过点(2,1)的直线交抛物线y2=52x于A,B两点(异于坐标原点O),若|OA+OB|=|OA-OB|,则该直线的方程为().A.x+y-3=0B.2x+y-5=0C.2x-y+5=0D.x-2y=0解析设直线AB的方程为x-2=m(y-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立y2=52x,x-2=m(y-1),得2y2-5my+5m-10=0.则=5(5m2-8m+16)0.(*)又y1+y2=5m2,y1y2=5m-102,x1x2=(my1-m+2)(my2-m+2)=m2y1y2+m(2-m)(y1+y2)+(2-m)2=m25m-102+m(2-m)5m2+(2-m)2=(2-m)2.|OA+OB|=|OA-OB|,OAOB,OAOB=x1x2+y1y2=0, (2-m)2+5m-102=0,m=2或m=-12,满足(*),但是当m=2,直线方程为x-2y=0时,与抛物线的一个交点为原点,不满足OAOB,应该舍去.该直线的方程为x-2=-12(y-1),即2x+y-5=0.故选B.答案B能力3会用方程恒成立的思想解曲线过定点问题【例3】已知椭圆C:x2a2+y2=1(a1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.(1)求椭圆C的方程;(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且APAQ=0,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.解析(1)由题意知,圆M的圆心为(3,1),半径r=3,A(0,1),F(c,0),直线AF的方程为xc+y=1,即x+cy-c=0.由直线AF与圆M相切,得|3+c-c|c2+1=3,解得c2=2,a2=c2+1=3,故椭圆C的方程为x23+y2=1.(2)由APAQ=0知APAQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,故可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-1kx+1.联立方程组y=kx+1,x23+y2=1,整理得(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-6k1+3k2,故点P的坐标为-6k1+3k2,1-3k21+3k2,同理可得,点Q的坐标为6kk2+3,k2-3k2+3.所以直线l的斜率为k2-3k2+3-1-3k21+3k26kk2+3-6k1+3k2=k2-14k,所以直线l的方程为y=k2-14kx-6kk2+3+k2-3k2+3,即y=k2-14kx-12.所以直线l过定点0,-12.证明直线过定点,一般有两种方法:(1)特殊探求,一般证明,即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况,找出定点的位置,然后证明该定点在该直线或该曲线上(将定点的坐标代入直线或曲线的方程后等式恒成立).(2)分离参数法,一般可以根据需要选定参数R,结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式f1(x,y)2+f2(x,y)+f3(x,y)=0(一般地,fi(x,y)(i=1,2,3)为关于x,y的二元一次关系式),由上述原理可得方程组f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,f3(x,y)=0,从而求得该定点.已知抛物线C:x2=2py(p0)过点(2,1),直线l过点P(0,-1)与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A,连接AB.(1)求抛物线C的标准方程.(2)直线AB是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.解析(1)将点(2,1)代入抛物线的方程x2=2py中,得p=2.所以抛物线C的标准方程为x2=4y.(2)设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),则A(-x1,y1).由y=kx-1,x2=4y,得x2-4kx+4=0.则=16k2-160,x1+x2=4k,x1x2=4,所以kAB=y2-y1x2-(-x1)=x224-x124x2+x1=x2-x14.所以直线AB的方程为y-x224=x2-x14(x-x2),所以y=x2-x14(x-x2)+x224=x2-x14x+1,当x=0时,y=1,所以直线AB过定点(0,1).能力4会建立目标函数,并转化为函数的值域或最值等问题求解【例4】已知ABC的直角顶点A在y轴上,点B(1,0),D为斜边BC的中点,且AD平行于x轴.(1)求点C的轨迹方程.(2)设点C的轨迹为曲线,直线BC与的另一个交点为E.以CE为直径的圆交y轴于M,N两点,记此圆的圆心为P,MPN=,求的最大值.解析(1)设点C的坐标为(x,y),则BC的中点D的坐标为x+12,y2,点A的坐标为0,y2.所以AB=1,-y2,AC=x,y2.由ABAC,得ABAC=x-y24=0,即y2=4x,经检验,当C点运动至原点时,A与C重合,不合题意,舍去.所以点C的轨迹方程为y2=4x(x0).(2)依题意,可知直线CE不与x轴重合,设直线CE的方程为x=my+1,点C,E的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),圆心P的坐标为(x0,y0).由y2=4x,x=my+1可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x0=x1+x22=2m2+1,所以圆P的半径r=12|CE|=12(x1+x2+2)=12(4m2+4)=2m2+2.过圆心P作PQMN于点Q,则MPQ=2.在RtPQM中,cos2=|PQ|r=x0r=2m2+12m2+2=1-12m2+2,当m2=0,即CE垂直于 x轴时,cos2取得最小值12,2取得最大值3,所以的最大值为23.1.抛物线中的最值问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法求解;二是数形结合法,利用抛物线的图象和几何性质来进行求解.2.抛物线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用抛物线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数并求该函数的值域,从而确定参数的取值范围.已知抛物线M:y2=4x,圆N:(x-1)2+y2=r2(r0).过点(1,0)的直线l交圆N于C,D两点,交抛物线M于A,B两点,且满足|AC|=|BD|的直线l恰好有三条,则r的取值范围为().A.0,32B.(1,2C.(2,+)D.32,+解析由题意可知,当直线斜率不存在时,|AC|=|BD|成立;当直线斜率存在时,此时存在两条直线满足|AC|=|BD|.设直线l:x=my+1(m0),由y2=4x,x=my+1,可得y2-4my-4=0.由x=my+1,(x-1)2+y2=r2,可得y2=r2m2+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由|AC|=|BD|,得y1-y3=y2-y4,则y1-y2=y3-y4,所以4m2+1=2rm2+1,故r=2(m2+1)2,故选C.答案C一、选择题1.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1y2x1x2的值一定等于().A.-4B.4C.p2D.-p2解析若焦点弦ABx轴,则x1=x2=p2,不妨设y10,y20,y1=p,y2=-p.x1x2=p24,y1y2=-p2,故y1y2x1x2=-4.若焦点弦AB不垂直于x轴,可设直线AB的方程为y=kx-p2,联立y2=2px,y=kx-p2,得k2x2-(k2p+2p)x+p2k24=0,则x1x2=p24.又y12=2px1,y22=2px2,y12y22=4p2x1x2=p4,又y1y20)的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于点M,N,与y轴交于点(0,3),与准线l交于点P,点M在线段PF上,若|PM|=2|MF|,则|MN|=().A.94B.254C.83D.163解析由题意可得Mp6,233,则2pp6=43,所以p=2,所以直线MN的方程为y=-3(x-1).由y2=4x,y=-3(x-1),得M13,233,N(3,-23),故|MN|=163,故选D.答案D4.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(5,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=3,则SBCFSACF=().A.34B.45C.56D.67解析画出抛物线y2=4x的图象如图所示.由抛物线方程y2=4x,得焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.过点A,B作准线的垂线,垂足分别为E,N.设直线AC的方程为y=k(x-5),由y2=4x,y=k(x-5)消去y,得k2x2-(25k2+4)x+5k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=5.由条件知|BF|=|BN|=1+x2=3,x2=2,x1=52,|AE|=x1+1=72.在CBN中,BNAE,SBCFSACF=|BC|AC|=|BN|AE|=67.故选D.答案D5.斜率为k的直线过抛物线y2=2px(p0)的焦点F,交抛物线于A,B两点,点P(x0,y0)为AB的中点,作OQAB,垂足为Q,则下列结论中不正确的是().A.ky0为定值B.OAOB为定值C.点P的轨迹为圆的一部分D.点Q的轨迹为圆的一部分解析由题意知,抛物线的焦点为Fp2,0,所以直线l的方程为y=kx-p2(k0).由y2=2px,y=kx-p2消去y,整理得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=k2p+2pk2,x1x2=p24,所以y1+y2=2pk,y1y2=-p2,y0=y1+y22=pk.选项A中,ky0=p,为定值.故A正确.选项B中,OAOB=x1x2+y1y2=p24-p2=-3p24,为定值,故B正确.选项C中,由x0=k2p+2p2k2,y0=pk消去k,得x0=p2+y02p,所以点的轨迹不是圆的一部分,故C不正确.选项D中,由于OQAB,直线AB过定点Fp2,0,所以点Q在以OF为直径的圆上,故D正确.故选C.答案C6.已知抛物线C:y2=4x,过焦点F且斜率为3的直线与C相交于P,Q两点,且P,Q两点在准线上的投影分别为M,N,则SMFN=().A.83B.833C.163D.1633解析由题意可得直线PQ的方程为y=3(x-1),与抛物线y2=4x联立可得3x2-10x+3=0.设点P在第一象限,所以P(3,23),Q13,-233,则MN=23+233=833.在MFN 中,MN边上的高h=2,则SMNF=122833=833, 故选B.答案B7.过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=10,则原点到直线l的距离为().A.255B.355C.455D.435解析由题意知,抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),当直线l的斜率不存在时,|AB|=2p=8,不合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),由y=k(x-2),y2=8x得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1+x2=4k2+8k2.根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=4k2+8k2+4=10,解得k=2,当k=2时,直线l的方程为2x-y-4=0,所以原点到直线l的距离d=422+1=455,当k=-2时,直线l的方程为2x+y-4=0,所以原点到直线l的距离d=422+1=455,综上所述,原点到直线l的距离为455,故选C.答案C8.若过抛物线x2=4y焦点的直线与抛物线交于A,B两点(不重合),则OAOB (O为坐标原点)的值是().A.34B.-34C.3D.-3解析由题意知,抛物线的焦点为F(0,1).设直线AB的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y,y=kx+1,得x2-4kx-4=0,所以x1x2=-4,y1y2=(x1x2)216=1,故OAOB=x1x2+y1y2=-4+1=-3,故选D.答案D9.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为的直线l,l与抛物线及其准线从上到下依次交于A,B,C点,令|AF|BF|=1,|AC|CF|=2,则当=3时,1+2的值为().A.3B.4C.5D.6解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+2=4sin260=163.x1+x2=103,又x1x2=p24=1,x1=3,x2=13,|AF|BF|=1=3+11+13=3,同理可得|AC|CF|=2=3-(-1)1-(-1)=2,1+2=5,故选C.答案C10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1两点,以A1,B1为直径的圆C过点M(-2,3),则圆C的方程为().A.(x+1)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=17C.(x+1)2+(y-1)2=5D.(x+1)2+(y+2)2=26解析抛物线的准线方程为x=-1,焦点为F(1,0).当直线AB的斜率不存在时,易得圆C的方程为(x+1)2+y2=4,不过点M,不合题意.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=k(x-1),联立方程组y2=4x,y=k(x-1),y2-4ky-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=-4.|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=41k2+1.以AB为直径的圆C的圆心为-1,2k,半径为21k2+1.圆C的方程为(x+1)2+y-2k2=41k2+1.把(-2,3)代入圆的方程得1+3-2k2=41k2+1,解得k=2.圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选C.答案C二、填空题11.已知抛物线y=ax2(a0)的焦点到准线的距离为2,则直线y=x+1截抛物线所得的弦长等于.解析由题意知p=12a=2,a=14,抛物线的方程为y=14x2,焦点为F(0,1),准线为y=-1.联立y=14x2,y=x+1,消去x,整理得y2-6y+1=0.设直线y=x+1与抛物线交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y2=6.直线y=x+1过焦点F,所求弦长|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8.答案81