北师大版初二下知识总结.docx

第一章 三角形的证明一. 等腰三角形1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 4. 等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.5. 含30的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.二.直角三角形1. 勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形2. 命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定3. 直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法三. 线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3. 如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.四. 角平分线1. 角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2. 三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心3. 如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“”(或“”)连接的式子叫做不等式.2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 大于等于0(0) 0和正数 不小于0非正数 小于等于0(0) 0和负数 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果ab,那么a+cb+c, a-cb-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果ab,并且c0,那么acbc, .(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果ab,并且c0,那么acb,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么ab;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果ab,那么a-b是负数;反过来,如果a-b是正数,那么ab a-b0 a=b a-b=0 ab a-bb,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么ab; ab a-b0如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b; a=b a-b=0如果ab,那么a-b是负数;反过来,如果a-b是正数,那么ab; ab a-bb(或ax0时,解为;当a=0时,且b0,则x取一切实数;当a=0时,且b0,则无解;当a0时, 解为;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;设: 设出适当的未知数;列: 根据题中的不等关系,列出不等式;解: 解出所列的不等式的解集;答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式与一次函数六. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且ab两大取较大xa两小取小axb大小交叉中间找无解在大小分离没有解(是空集)第三章 图形的平移和旋转一.图形的平移1. 概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。2. 性质：（1）平移前后图形全等； （2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。3. 平移的作图步骤和方法：（1）分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离；（2）分析所作的图形，找出构成图形的关健点；（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点；（4）连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；（5）写出结论二.图形的旋转1. 概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 说明：（1）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的；（2）旋转过程中旋转中心始终保持不动（3）旋转过程中旋转的方向是相同的（4）旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的(5)旋转不改变图形的大小和形状2. 性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等3. 旋转作图的步骤和方法：（1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角；（2）找出图形的关键点；（3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点；（4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形 说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角三.中心对称1.概念：把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。2. 基本性质：（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。3. 中心对称图形（1）中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。（2）中心对称与中心对称图形的区别与联系 如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。（ 3）图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比第四章 因式分解一.因式分解1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: 2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: 3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: (2)完全平方公式: 3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如就没有分解到底.4. 运用公式法:(1)平方差公式: 应是二项式或视作二项式的多项式;二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;二项是异号.(2)完全平方公式:应是三项式;其中两项同号,且各为一整式的平方; 还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.5. 因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四. 分组分解法:1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: 2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化.五. 十字相乘法:1.对于二次三项式,将a和c分别分解成两个因数的乘积, , , 且满足,往往写成 的形式,将二次三项式进行分解. 如: 2. 二次三项式的分解: 3. 规律内涵:(1)理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.第六章平行四边形一、四边形的相关概念1、四边形:在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。3、对角线:在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。4、四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)180；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。6、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为n(n-3)/2。二、平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平