新课程教学中知识概括的作用与地位探讨以初中几何证明知识总结为例2.doc

4 新课程教学中知识概括的作用与地位探讨以初中几何证明知识总结为例江苏省南京市第二十九中学（210024） 刘黔昉义务教育课程标准实验教科书（北师大版）数学（7-9）在每一章结束都安排了一节回顾与思考，要求学生自主地对本章所学知识进行总结，并在此基础上进行一些问题思考，旨在巩固学生认知的最近发展区，提高学生的知识概括能力与数学表达能力，并激发学生的应用意识与创新思维笔者认为，除此之外，在教学实践中，教师还可以按照新课标的内容标准，在适当的阶段，安排学生作更为广泛的知识概括，加强学生对跨章节知识之间联系，提升学生综合应用数学知识的意识与能力例如，教材先借助实验、操作等手段探索了一些几何结论并进行了简单的说理，而后进入论证几何阶段，梳理所探索的几何结论并进行形式化的证明。而论证几何的教学分布于八（下）第六章、九（上）第一章和九（上）第三章，时间上跨两个学期，内容上比较繁杂，笔者认为，在证明一、证明二、证明三教学任务完成时，有必要安排学生对初中几何证明作个知识结构梳理于是笔者布置了如下课外作业：1. 每人作初中几何证明的知识总结，内容覆盖证明一、证明二、证明三，并以PPT文件或Word文档的形式于1周内提交，根据作业情况记为平时成绩；1周后，随机抽取4名同学作课堂汇报并答辩，视汇报答辩情况对平时成绩加分或减分，其他同学对汇报提出质疑或作点评，并对平时成绩加分。2. 你认为初中几何证明中对你最有挑战性的问题是什么问题，提出你的各种解决方案。3. 初中几何证明中你最喜欢的一个题目是什么？你为什么会喜欢这个题目？4. 谈谈你学习初中几何证明的感悟与体会下面是02级初三(1)班王珊珊同学提交的作业：（尊重事实起见，文字未做修改）1初中几何证明知识结构 知识梳理路线 线与角概念公理定理 三角形 面 四边形 （注：王珊珊同学上交的PPT文件中对上面知识网络图上每一个“结点”都进行了比较详细的拓展，如对于三角形，该生分别就一般三角形全等的判别、特殊三角形的判别与性质、三角形中特殊线（中线、中垂线、角平分线等）的性质等作了详细的梳理，限于篇幅，这里省略了其具体内容，此外，王珊珊同学还对几何证明的一些方法进行了整理）。 特殊方法归纳 证明线段相等的一般方法 证明线段所在的三角形全等； 证明两线段为同一等腰或等边三角形的两腰； 证明其连接中垂线上的点到同线段的两端； 证明两线段为平行四边形的对边；同一直角三角形斜边中线； 等量代换 同一三角形同一边 的中位线； 作辅助线间接证明； 证明线段之间关系的一般方法 证明为中线（或根据等腰三角形三线合一）； 直角三角形斜边的中线是斜边的一半（直角三角形斜边与斜边中线）； 30角所对直角边是斜边的一半（30角直角三角形短直角边与斜边）； 三角形中位线定理2最具挑战性的问题已知等边ABC和点P,设点P到ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,ABC的高为h.若点P在一边BC上(如图1),此时h30,可得结论:h1+h2+h3=h.CCC 图1 图2 图3当点P在ABC内（如图2），点P在ABC外（如图3）这两种情况时上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，h1 ，h2，h3与h之间又有怎样的关系给出猜想，无须证明。证明：如图2，过P作BC的平行线，则由条件得PD+PE+PO=AG。又AMOF，C所以 GM=OF，所以PD+PE+PF=AM，即 h1+h2+h3=h。 如图3，猜想：h1+h2-h3=h本题是一道信息题，是要你通过给出的结论举一反三得到别的结论，这首先需要读懂题目，而让我很有体会的是这一题有多种解法，且我与答案的方法完全不一样，我通过上图添加辅助线的方法将看似不一样的图形转换成一样的图形，从而直接利用结论，而答案则是通过面积来求的，我个人认为，自己的方法更符合题目要求，因为我更直接的利用了题目中所给的条件，且方法较为简单。这道题本身并不很难，但从中折射出中考又一种新题型确值得重视，而且在多种方法中选择最符合要求、简单的也十分重要，所以我认为它很具有挑战性，挑战我们，也是挑战一种全新的思维模式3最喜欢的题目如图，矩形ABCD中，ADAB，O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC，AD于MN （1）求证：梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积 （2）如图，当MN满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕，翻折后能使C点恰好与A点重合？（无须证明） （3）在（2）的条件下，若翻折后不重叠部分的面积与重叠部分的面积相等，求BM：MC的值解答：（1）证明:连接AC，则O为AC的中点在矩形ABCD中，因为 ADBC，所以，NAO=MCO。又AON=COM，OA=OC，所以 AONCOM（AAS），所以 AN=CM。 又 AD=BC,所以 BM=DN.又 AB=CD,所以S梯形ABMN=1/2(BM+AN)*AB=1/2(ND+MC)*CD= S梯形CDNM（2）MN垂直平分AC。（3）证明:由AF=CD,AB=CD,得 AB=AF. 所以 BM=DN ,FN=DN， 所以 BM=FN.又 AFN=CDN=90，所以 RtAFNRtABM.， 所以 SAFN=SABM，又SAMN=SABM+SAFN=2SABM，所以 *AN*AB=2*BM*AB，所以 BM:AN=1:2，又 MC=AN，所以 BM:MC=1:2此题综合考察了证明能力,运用的知识点有全等的判定,梯形面积的计算,等量间的代换,同时还有如何添加辅助线和空间观念,这是一道折纸题,所以我们要对翻折后不变,相等和成特殊关系的量十分清楚,对于重叠部分的关系也要有明确的概念,我十分欣赏这题对于空间观念的考察方式,这不仅可以锻炼我们的思维,而且也可以使我们灵活运用知识,不死背概念,而且本章主要与边角联系,而这道题不仅考察了对矩形性质的了解,而且是从面积入手,十分新颖,最后求的是比值关系.总之,这题考察我们综合应用知识和空间想象能力,是一道将几何与实际联系起来的题目.4感悟与体会证明一是初中阶段第一次接触证明，此章从全面阐述证明的必要性开始，让我们体会到数学不仅需要直觉更需要严谨的道理论述，要判断一个命题是否正确光靠实验是不够的，还要有理论的基础从而我们的数学开始从实验数学向论证数学发展本章中主要学习了线段中平行的性质、判定和重要特殊图形中角之间的关系，线段的平行在特殊四边形中应用广泛，而角之间的关系则为证明（二、三）中三角形、四边形角与角之间的大小转换作铺垫而本章中体现的公理化方法也是一个很重要的数学思想，它不仅体现在数学领域，包括物理中的力学（阿基米德原理）、天文学甚至是美国独立宣言都深受欧式几何公理体系影响，包括我们生活中的种种标准和规定也运用了这一点，足见数学证明中的抽象方法在现实中的作用证明二给我最大的感受是严谨,从中不仅可以学到许多定理,更重要的是学会一种证明的思路和研究路径（1）通过全等的引入得到等腰三角形的性质和判定,再在等腰三角形的基础上研究它的特殊情况- 等边三角形而直角三角形性质的证明，立即用将其补成一个等边三角形来作，在证明（三）出现的直角三角形性质和三角形中位线定理则被用于特殊四边形的证明，知识十分紧密（2）在研究三角形中本章主要研究了几种特殊三角形，从边与边，角与角，边与角，特殊线段与边角之间的关系入手，逐一找寻之间的联系，这样不仅不重不漏也便于我们记忆证明三是对证明一、证明二内容的综合应用，主要从边、角、对角线来研究特殊的四边形，从中体现了归纳、类比和化归等数学思想，对各种四边形的性质进行比较总结出规律，在证明过程中我们也都是将一个新图形转变成曾经学过的旧图形，利用已经掌握的性质去得到新的性质对于较难的题目，我们首先要分析，要想得到最后结论可以从哪些方面入手，从中选出最合适的一条，用分析法和综合法相结合的手段，通过添加一些辅助线从复杂的图形中找出简单的图形加以解决从上面学生提交的作业，可以看出，知识概括对于促进学生的发展具有非常重要的作用：. 脉络分明的知识结构梳理，展现学生对知识与技能的把握, 这有利于教师按照新课程标准的理念实施过程性评价，并及时掌握学生的认知状况，以便调整教学，促进学生进一步发展；学生在梳理知识体系的同时认知的最近发展区得以巩固；2.最喜欢的一个问题或题目，反馈学生的认知水平与情感态度，让教师获得学生在情感态度与价值观方面的发展评价；3.最有挑战性的一个问题或题目折射出学生认知发展的前沿所在，帮助老师因材施教，进一步挖掘学生的发展潜力，激发创新思维；4.学生学习的感悟与体会，构成对教师与教材的多元评价，学生学习的感悟与体会，字里行间反馈对教材的内容组织以及教师教学方法的建议与愿望，是教师改进教学、教材编者改编教材的一个重要参考依据编者的话：早就听说，在每一章教学后，刘老师要求学生对该章知识进行自主的梳理与总结。苦于繁重的教学任务，刘老师一直难能有时间对其经验进行总结反思。在编者的再三“催逼”之下，刘老师方抽空整理了这篇文章，并指出学生自主的梳理总结对教师了解学生、评价学生的学业发展、改进教师教学以及学生自身知识结构的建构的意义。当然由于时间仓促，这些观点，刘老师还未及深入展开，但这恰给我们一个很好的讨论平台，我们可以进一步思考：