2019届高考数学考点五解析几何考查角度2最值和取值范围问题突破训练文.docx

考查角度2最值和取值范围问题分类透析一利用函数的性质求最值例1 如图,已知抛物线x2=y,点A-12,14,B32,94,抛物线上的点P(x,y)-12x32.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.分析 (1)求出AP的斜率k与x的关系式,利用-12x32求出斜率的取值范围;(2)求出|PA|PQ|关于k的关系式,构造函数,用导数求出其最大值.解析 (1)设直线AP的斜率为k,k=x2-14x+12=x-12,因为-12xb0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为12.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.分析 (1)由焦点坐标知c=1,由离心率知a=2,进而可求得b2,得到椭圆方程;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(x3,y3),讨论直线MN的斜率k,当斜率存在时,设出直线MN的方程,代入椭圆方程,由根与系数的关系,得到x3,y3与k的关系,再求出线段MN的垂直平分线,从而求出y0及其取值范围.解析 (1)依题意,得c=1.因为椭圆C的离心率为e=12,所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当MNx轴时,显然y0=0.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k0).由y=k(x-1),x24+y23=1,消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),则x1+x2=8k23+4k2.所以x3=x1+x22=4k23+4k2,y3=k(x3-1)=-3k3+4k2.故线段MN的垂直平分线的方程为y+3k3+4k2=-1kx-4k23+4k2.在上述方程中,令x=0,得y0=k3+4k2=13k+4k.当k0时,3k+4k43,当且仅当3k=4k,k=32时,等号成立.所以-312y00或0y0312.综上所述,y0的取值范围是-312,312.方法技巧 在求解圆锥曲线中的取值范围问题时,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的取值范围.在利用代数法解决取值范围问题时,常从以下方面考虑:利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系;利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;利用基本不等式求出参数的取值范围;利用求函数的值域的方法,确定参数的取值范围.1.(2018年全国卷,文20改编)已知斜率为1的直线m与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(x0,n).(1)证明:|n|0,即|b|7.由一元二次方程的根与系数的关系,得x1+x2=-8b7,y1+y2=(x1+b)+(x2+b)=x1+x2+2b=6b7,n=y1+y22=3b7,故|n|0时的最小值即可.当t0时,f(t)=18(4+t2)4t+t=18t3+8t+16t,f(t)=183t2+8-16t2=18t2(3t4+8t2-16)=18t2(3t2-4)(t2+4).当0t233时,f(t)233时,f(t)0,f(t)为增函数.所以当t0时,函数f(t)在t=233时取得最小值f233=1639.因为f(t)为偶函数,所以当t0,即 m2m2,解得 0m0,解得m12.所求m的取值范围是12,2.2.(2018届安徽省黄山市一模)设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1PF2=-54,求点P的坐标;(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.解析 (1)易知a=2,b=1,c=3, F1(-3,0),F2(3,0).设P(x,y)(x0,y0),则PF1PF2=(-3-x,-y)(3-x,-y)=x2+y2-3=-54.又x24+y2=1,联立x2+y2=74,x24+y2=1,由x0,y0,得x=1,y=32,故点P的坐标为1,32.(2)显然k=0不满足题意,故设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x24+y2=1,y=kx+2,消去y,整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0.x1x2=121+4+k2,x1+x2=-16k1+4k2.由=(16k)2-4(1+4k2)120,得k234.又AOB为锐角,cosAOB0,OAOB0,OAOB=x1x2+y1y20.y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)121+4k2+2k-16k1+4k2+4=4(4-k2)1+4k20,0k24.综合可知34k2b0)过点1,22,且两个焦点的坐标为(-1,0),(1,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若A,B,P(点P不与椭圆顶点重合)为E上的三个不同的点,O为坐标原点,且OP=OA+OB,求AB所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.解析 (1)由已知得c=1,2a=4+12+12=22,a=2,b=1,故椭圆E的方程为x22+y2=1.(2)设直线AB的方程为x=my+t(m0),代入x22+y2=1,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2mtm2+2,y1y2=t2-2m2+2,=8(m2-t2+2).设P(x0,y0),由OP=OA+OB,得y0=y1+y2=-2mtm2+2,x0=x1+x2=my1+t+my2+t=m(y1+y2)+2t=4tm2+2.点P在椭圆E上,16t22(m2+2)2+4m2t2(m2+2)2=1,即4t2(m2+2)(m2+2)2=1,4t2=m2+2.在x=my+t中,令y=0,则x=t;令x=0,则y=-tm.所求三角形的面积S=12|xy|=12t2|m|=18m2+2|m|=18|m|+2|m|1822=24,当且仅当m2=2,t2=1时取等号,此时=240,所求三角形面积的最小值为24.4.(安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测)在直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(2,0),两动点C(0,m),D(0,n),且mn=3,直线AC与直线BD的交点为P.(1)求动点P的轨迹方程;(2)过点F(1,0)作直线l交动点P的轨迹于M,N两点,试求FMFN的取值范围.解析 (1)直线AC的方程:y=m2(x+2),直线BD的方程:y=-n2(x-2),上述两式相乘得y2=-mn4(x2-4).又mn=3,整理得x24+y23=1.由mn=3得m0,n0,故x2.所以动点P的轨迹方程为x24+y23=1(x2).(2)当直线MN的斜率不存在时,M1,32,N1,-32,有FM=0,32,FN=0,-32,得FMFN=-94.当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),联立x24+y23=1,y=k(x-1),整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=8k24k2+3,x1x2=