2019高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题03导数及其应用练习.docx

03导数及其应用1.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f(1)=().A.1B.2C.3D.4解析由条件知(1,f(1)在直线x-y+2=0上,且f(1)=1,f(1)+f(1)=3+1=4,故选D.答案D2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则ab的值为().A.-23B.-2C.-2或-23D.2或-23解析由题意知f(x)=3x2+2ax+b,则f(1)=0,f(1)=10,即3+2a+b=0,1+a+b-a2-7a=10,解得a=-2,b=1或a=-6,b=9,经检验a=-6,b=9满足题意,故ab=-23,故选A.答案A3.对于R上可导的任意函数f(x),若满足1-xf(x)0,则必有().A.f(0)+f(2)2f(1)B.f(0)+f(2)2f(1)C.f(0)+f(2)2f(1)D.f(0)+f(2)2f(1)解析当x1时,f(x)1时,f(x)0,此时函数f(x)单调递增.即当x=1时,函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1).所以f(0)f(1),f(2)f(1),则f(0)+f(2)2f(1).故选A.答案A4.若函数y=-13x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.解析y=-x2+a,若y=-13x3+ax有三个单调区间,则方程-x2+a=0应有两个不等实根,=4a0,故a的取值范围是(0,+).答案(0,+)能力1会应用导数的几何意义【例1】(1)已知曲线f(x)=ax2x+1在点(1,f(1)处切线的斜率为1,则实数a的值为().A.23B.-32C.-34D.43(2)曲线f(x)=x2+ln x在点(1,f(1)处的切线方程为.解析(1)对函数f(x)=ax2x+1求导,可得f(x)=2ax(x+1)-ax2(x+1)2.因为曲线f(x)=ax2x+1在点(1,f(1)处切线的斜率为1,所以f(1)=3a4=1,得a=43,故选D.(2)因为f(x)=2x+1x,所以曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为f(1)=2+11=3.因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.答案(1)D(2)3x-y-2=01.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法:(1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程:先求出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率k,求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程k=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数:已知过某点的切线方程(斜率)或其与某直线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.1.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.解析函数ye=x的导函数为ye=x,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P的坐标为(x0,y0)(x00),函数y=1x的导函数为y=-1x2,曲线y=1x(x0)在点P处的切线的斜率k2=-1x02,由题意知k1k2=-1,即1-1x02=-1,解得x02=1,又x00,x0=1.点P在曲线y=1x(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).答案(1,1)2.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.解析(法一)令f(x)=x+lnx,求导得f(x)=1+1x,则f(1)=2.又f(1)=1,曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切的切点为P(x0,y0),则当x=x0时,y=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,a=0或x0=-12.又ax02+(a+2)x0+1=2x0-1,即ax02+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,x0=-12,此时a=8.(法二)求出曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1.由y=2x-1,y=ax2+(a+2)x+1,得ax2+ax+2=0,=a2-8a=0,a=8或a=0(显然不成立).答案8能力2会利用导数解决函数的单调性问题【例2】(1)函数f(x)=x2ln x的单调递减区间为().A.(0,e)B.ee,+C.-,eeD.0,ee(2)若函数f(x)=lnx+ax2-2在12,2内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是().A.(-,-2B.-18,+C.-2,-18D.(-2,+)解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),由题意得f(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令f(x)0,解得0xg12=-2,所以a-2.故选D.答案(1)D(2)D利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f(x)0,f(x)0).函数f(x)在1,+)上为增函数,f(x)=ax-1ax20对任意的x1,+)恒成立,ax-10对任意的x1,+)恒成立,即a1x对任意的x1,+)恒成立,a1.答案1,+)2.已知函数f(x)=12x2-2aln x+(a-2)x.(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间.(2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+)上单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)当a=-1时,f(x)=12x2+2ln x-3x,则f(x)=x+2x-3=x2-3x+2x=(x-1)(x-2)x.当0x2时,f(x)0,f(x)单调递增;当1x2时,f(x)0时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)当a0,a0,x0,2ax+1x0,x-10,得x1,f(x)的单调递增区间为(1,+).(2)由(1)可得f(x)=2ax-1-2a(x-1)x.已知a1,即-12a0时,x12,1,f(x)0,因此f(x)在12,1上是减函数,f(x)在12,1上的最小值为f(1)=1-a.当12-12a1,即-1a-12时,若x12,-12a,则f(x)0;若x-12a,1,则f(x)0.因此f(x)在12,-12a上是减函数,在-12a,1上是增函数,f(x)的最小值为f-12a=1-14a+ln(-2a).当-12a12,即a0,因此f(x)在12,1上是增函数,f(x)的最小值为f12=12-34a+ln 2.综上,函数f(x)在12,1上的最小值为f(x)min=12-34a+ln2,a-1,1-14a+ln(-2a),-1a-12,1-a,-12a0,均有x(2ln a-lnx)a恒成立,求正数a的取值范围.解析(1)f(x)=1x-ax2=x-ax2,x(0,+).若a0,则f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,无极值.若a0,当x(0,a)时,f(x)0,f(x)在(a,+)上单调递增.故f(x)在(0,+)有极小值,无极大值,f(x)的极小值为f(a)=lna+1.(2)若对任意x0,均有x(2ln a-lnx)a恒成立,则对任意x0,均有2ln aax+lnx恒成立,由(1)可知f(x)的最小值为lna+1,故问题转化为2ln alna+1,即lna1,解得0ae,故正数a的取值范围是(0,e.一、选择题1.曲线f(x)=2x-ex在点(0,f(0)处的切线方程是().A.x+y+1=0B.x-y+1=0C.x+y-1=0D.x-y-1=0解析由题意得f(x)=2e-x,f(0)=1,f(0)=-1,故切线方程为x-y-1=0.故选D.答案D2.已知函数f(x)=x+sinx,若a=f(3),b=f(2),c=f(log26),则a,b,c的大小关系是().A.abcB.cbaC.bacD.bca解析因为f(x)=1+cos x0,所以函数f(x)为定义域上的增函数,而2log263,所以bca.故选D.答案D3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是().A.0B.1C.2D.3解析函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=6x+1x-2=6x2-2x+1x,令g(x)=6x2-2x+1,因为方程6x2-2x+1=0的判别式=-200恒成立,故f(x)0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.故选A.答案A4.如图,可导函数y=f(x)的图象在点P(x0,f(x0)处的切线为l:y=g(x),设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是().A.h(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点B.h(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点C.h(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点D.h(x0)0解析由题设有g(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0),故h(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0),所以h(x)=f(x)-f(x0).因为h(x0)=f(x0)-f(x0)=0,又当xx0时,有h(x)x0时,有h(x)0,所以x=x0是h(x)的极小值点,故选B.答案B5.若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2,+)上为增函数,则实数m的取值范围为().A.(-,2)B.(-,2C.-,52D.-,52解析f(x)=6x2-6mx+6,当x(2,+)时,f(x)0恒成立,即x2-mx+10恒成立,mx+1x恒成立.令g(x)=x+1x,g(x)=1-1x2,当x2时,g(x)0,即g(x)在(2,+)上单调递增,m2+12=52.答案D6.设函数f(x)=lnx+ax2-32x,若x=1是函数f(x)是极大值点,则函数f(x)的极小值为().A.ln 2-2B.ln 2-1C.ln 3-2D.ln 3-1解析f(x)=lnx+ax2-32x,f(x)=1x+2ax-32.x=1是函数f(x)的极大值点,f(1)=1+2a-32=0,a=14,f(x)=lnx+14x2-32x.f(x)=1x+x2-32=x2-3x+22x=(x-2)(x-1)2x(x0),当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,2)时,f(x)0.当x=2时,f(x)取极小值,极小值为ln 2-2.故选A.答案A7.已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)=lnx-axa12,当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于().A.14B.13C.12D.1解析由f(x)是奇函数,当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1知,当x(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f(x)=1x-a=0,得x=1a.当0x0;当x1a时,f(x)0,bR),若对任意x0,f(x)f(1),则().A.lna-2bD.lna-2b解析f(x)=2ax+b-1x,由题意可知f(1)=0,即2a+b=1,由选项可知,只需比较lna+2b与0的大小,而b=1-2a,所以只需判断lna+2-4a的符号.构造一个新函数g(x)=2-4x+ln x,则g(x)=1x-4,令g(x)=0,得x=14.所以当0x14时,g(x)为减函数,所以对任意x0有g(x)g14=1-ln 40,所以有g(a)=2-4a+ln a=2b+ln a0ln a-2b.答案A二、填空题9.已知函数f(x)=f4cos x+sinx,则f4的值为.解析因为f(x)=-f4sin x+cosx,所以f4=-f4sin 4+cos 4,所以f4=2-1,故f4=f4cos 4+sin 4=1.答案110.直线y=kx+1与曲线y=x3+bx2+c相切于点M(1,2),则b的值为.解析由直线y=kx+1与曲线y=x3+bx2+c相切于点M(1,2),知点M(1,2)满足直线y=kx+1的方程,即2=k+1,解得k=1,即y=x+1.由y=x3+bx2+c,知y=3x2+2bx,则y|x=1=3+2b=1,解得b=-1.答案-111.若函数f(x)=x3+ax-2在(1,+)上是增函数,则实数a的取值范围是.解析由题意知f(x)=3x2+a,已知f(x)在(1,+)上是增函数,则f(x)=3x2+a0对任意x(1,+)恒成立,即a-3x2对任意x(1,+)恒成立,a-3.答案-3,+)12.若函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则t的取值范围是.解析f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x,由f(x)=0及判断可知函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在(t,t+1)内,函数f(x)在t,t+1上就不单调,所以t1t+1或t3t+1,解得0t1或2t3.答案(0,1)(2,3)三、解答题13.已知函数f(x)=a(x+1)lnx-x+1(aR).(1)当a=2时,求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当a12时,求证:对任意x1,+),f(x)0恒成立.解析(1)由f(x)=2(x+1)lnx-x+1得f(x