高等代数--第四章矩阵的对角化.ppt

第四章 矩阵的对角化,相似矩阵 特征值与特征向量 矩阵可对角化的条件 实对称矩阵 若尔当标准形介绍,1 相似矩阵,相似矩阵的定义 相似矩阵的性质,相似矩阵的定义,定义1: 设 A， B 是两个 n 阶方阵， 如果存在一个 n 阶可逆矩阵 P， 使得 则称矩阵A 相似于矩阵B.,相似矩阵的性质,反身性: 矩阵 A与自己相似 对称性: A相似于 B, 则B也相似于 A 传递性: A相似于B, B相似于C, 则A相 似于 C 若A相似于B, 则它们的行列式相等 如果 A可逆, 且A相似于B, 则B可逆, 它们的逆 也相似.,2特征值与特征向量,矩阵特征值、特征向量的定义 特征值、特征向量的性质 特征值、特征向量的求法 特征值、特征向量再讨论,特征值与特征向量的定义,定义2: 设 A 是 n 阶矩阵, 如果存在一个数 ,和一个非零的 n 维列向量 使得 则称 是矩阵 A的一个特征值, 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量,特征值与特征向量的性质,如果 是矩阵 A 属于特征值 的一 个特征向量, 那么任取 , 也是 矩阵 A 属于特征值 的特征向量,特征值与特征向量的性质,设 是矩阵 A 属于特征值 的两个 特征向量, 如果 那么 也是矩阵 A 属于特征值 的特征向量,特征值与特征向量的性质,如果 是矩阵 A 属于特征 值 的特征向量, 那么任一非零线性组 合 也是矩阵 A 属于特征值 的特征向量,现在来给出求特征值和特征向量的方法. 对n 阶矩阵A，设 是特征值，对应的一个特 征向量,特征值与特征向量的求法,或,这说明特征向量 满足齐次方程组,即 由于 ，所以 不全为零，即齐次方程组有非零解。我们知道，齐次线性方,程组(3)有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零，即,称为A的特征多项式.,矩阵的特征多项式,1.求出A的特征多项式 2求出A的全部特征值； 3.把所求得的特征值逐个地代入方程组(3)，对于每一个特征值，解方程组(3)，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关,的特征向量。这样，我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量. 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值，而相应的线性方程组(3)的解也就称为A的属于这个特征值的特征向量。,例2 求 A 的特征值与特征向量.,解,矩阵 A 的特征值是 1, -2,把特征值 1 代入, 得到齐次方程组,它的基础解系是,属于 1 的全部特征向量就是 ，,把特征值 -2 代入, 得到齐次方程组,它的基础解系是,属于 -2 的全部特征向量就是 ，,例3 求 A 的特征值与特征向量.,因为特征多项式为 所以特征值是-1( 二重)和5.,把特征值-1代入齐次方程组,得到 它的基础解系是,属于 -1 的全部特征向量就是 是不全等于零的数,再用特征值5代入，得到 它的基础解系是,属于5的全部特征向量就是 ， k是任意不等于零的数.,矩阵的特征多项式的系数,的展开式中, 有一项是主对角线上元素的连乘积,在,特征多项式中含 的n次与n-1次的项 只能在主对角线上元素的连乘积中出现， 它们是,在特征多项式中令 ,即得常数项,因此，如果只写出特征多项式的前两项与常数项，就有 由根与系数的关系可知， A的全体特征值的和为 (称为A的迹). 而A的全体特征值的积为|A|.,3 矩阵的对角化,相似矩阵的性质 矩阵可对角化的条件 如何判断一个矩阵是否可对角化,相似矩阵的性质,定理1：相似矩阵有相同的特征多项式 定理2：相似矩阵有相同的特征值 注意：上述两个定理的逆定理不成立. 例:,特征向量的性质,定理3 定理4,定理3 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 证明 对特征值的个数作数学归纳法. 由于特征向量是不为零的, 所以单个的特征向量必然线性无关. 现在设属于k个不同特征值的特征向量线性无关，我们证明属于k+1个不同特征值 的特征向量 也线性无关.,令 等式两端乘以 ，得,(1)式两端同时左乘以矩阵A，即有,(3)减去(2)得到,根据归纳法假设， 线性无关，于是 但 所以,这时(1)式变成 又因为 ，所以只有 这就证明了 线性无关。 根据归纳法原理，定理得证。,定理4 如果 是矩阵A 的不同的特 征值，而 是属于特征值 的线性无关 的特征向量， ，那么向量组 也线性无关.,证明: 令,则有,推出,从而得到所有的系数,定理 4 成立,根据这个定理，对于一个矩阵 A， 求出属于每个特征值的线性无关的特征向量， 把它们合在一起还是线性无关的.,定理5 设 A 是 n 阶矩阵， A 可对角化的充分必要条件是，A 有n个线性无关的特征向量. 证明 必要性: 如果矩阵 A 可以对角化, 则存在可逆矩阵 T 使,矩阵可对角化的条件,设,，由,推出,因为,可逆, 所以,线性无关. 我们得到矩阵,的,个线性无关的特征向量.,反过来, 设矩阵,有,个线性无关的,它们所对应的特征值依次是,于是,从而,特征向量,矩阵 A 可以对角化,推论: 如果矩阵 A 有 n 个不同的特征值， 则 A 可以对角化,判断矩阵A是否对角化的步骤,求矩阵A的所有不同的特征值 求A属于每一个特征值 的线性无关的特征向量，即 一个基础解系,把各组线性无关的特征向量合并起来， 它们是线性无关的 如果个数等于矩阵的阶数，则 A可以对角化 这n 个线性无关的特征向量作为列向量， 构成可逆矩阵T,如果线性无关特征向量的个数小于矩阵的阶数，则 A不能对角化,例4,解,从而矩阵,的特征值,(1) 对于,得到,(2) 对于,得到,从而矩阵 A 可以对角化,4 实对称矩阵,实 n 维向量空间的内积 施密特正交化方法 正交矩阵 实对称矩阵的对角化,实 n 维向量空间,R 表示实数集, 表示实数集上的所有 n 维向量，对于向量 的加法、数乘构成 n 维向量空间,中向量的内积,任取 , 实数 (1) 称为 与 的内积, 记作 .,它具有以下性质:,(1),(2),(3),(4),当且仅当,时,在n=3时，(1)式就是几何空间中向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式。,基本性质: 定义中条件1)表明内积是对称的。 因此，与2),3)相当地就有,由条件4)，有 . 在几何空间中,向 量 的长度为 类似地， 定义5 非负实数 称为向量 的长 度，记为 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零.,向量的长度,事实上，,长度为1的向量称为单位向量. 如果 ，由(2)式，向量 就是一个单位向量. 通常称为把 单位化.,单位向量,在解析几何中，向量 的夹角 的余弦可以通过内积来表示：,向量的夹角,为了在 中利用(4)引入夹角的概念，我们需要证明不等式,这就是所谓的柯西-布涅柯夫斯基不等式，,对于任意的向量 有 当且仅当 线性相关时，等号才成立.,柯西-布涅柯夫斯基不等式,证明 当 ，(5)式显然成立。 以下设 。 令t是一个实变数，作向量 由4)可知，不论t取何值，一定有 即,取 代入(6)式，得 即 两边开方便得,当 线性相关时，等号显然成立。 反过来，如果等号成立，由以上证明 过程可以看出，或者 ，或者,也就是说 线性相关。,(5)式是:柯西不等式,定义6 非零向量 的夹角 规定为,两个非零向量的夹角,因为,所以,向量的正交 定义7 如果向量 的内积为零，即 那么 称为正交或互相垂直，记为 . 显然，这里正交的定义与解析几何中对于正交的说法是一致的。两个非零向量正交的充分必要条件是它们的夹角为 . 由定义立即看出，只有零向量才与自己正交。,在欧几里得空间中同样有勾股定理,即当 正交时， 不难把勾股定理推广到多个向量的情形，即如果向量 两两正交，那么,正交向量组,定义8 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.,正交向量组是线性无关的,事实上，设正交向量组 令 用 与等式两边作内积，即得,由 ，有 ，从而 。这就证明了 是线性无关的. 这个结果说明，在 中，两两正交的非零向量不能超过n个。这个事实的几何意义是清楚的。例如，在平面上找不到三个两两垂直的非零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向量。,施密特正交化方法 定理8 设 是一组线性无关的向量组,则我们得到一个正交向量组, 再单位化,定理8中把一组线性无关的向量变成一组单位正交的向量组的方法在一些书和文献中称做施密特(Schmidt)正交化过程. 例 把 变成单位正交的向量组。 先把它们正交化，得,再单位化，得,正交矩阵,正交矩阵的定义 正交矩阵的等价条件,我们引入 定义9 n级实数矩阵A称为正交矩阵,如果,正交矩阵,等价命题,(1),是一个正交矩阵, 即,(2),(3),(4),(5),正交矩阵的性质,(1) 正交矩阵的行列式等于 1或 -1 (2) 如果 是正交矩阵, 则 也是正交矩阵 (3) 如果 是正交矩阵, 则 也是正交矩阵,(4) 如果 是同阶正交矩阵, 则 也是正交矩阵,实对称矩阵的对角化,实对称矩阵特征值都是实数 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交 设 A 是 n 阶实对称矩阵，则存在一个正交阵T , 使得 是一个对角阵,定理9: 实对称矩阵的特征值皆为实数. 证明:设 是A的特征值,于是有非零向量,满足: 令,其中 是 的共轭复数,则,考察等式 其左边为 , 右边为 , 故 又因为 是非零向量 故 , 即 是一个实数.,定理10 实对称矩阵属于不同的特征值的特 征向量必正交. 证明：设 是A 的两个不同的特征值， 分别是属于 的特征向量： 于是,因为,从而,推出,定理11 对于任意一个n级实对称矩阵A， 都存在一个n级正交矩阵T ,使得 成对角形,(一）n=1时定理显然成立. (二) 假设定理对于 n-1 成立,把 单位化, 记为,证明: 对 n 用归纳法,对于 n 阶实对称矩阵 A ， 设 是矩阵 A 的一个特征值, 对应的特征向量是,(2) 以 为第一列作一个正交矩阵,其中,为,矩阵, 这是可行的,是线性无关的，把它们正交化,不妨设 中第一个分量不为零， 那么,单位化，得到一个正交矩阵，该矩阵的第一列 是 . 即为所求,(3),因为,所以,(4),是一个,阶实对称矩阵,阶正交矩阵,使得,利用归纳假设, 存在,(5) 取,令,则,做题步骤 根据上面的讨论，正交矩阵T的求法就可以按以下步骤进行： 1）求出A的特征值。设 是A的全部不同的特征值。 2）对于每一个 ，解齐次线性方程组,求出一个基础解系 把它们 正交化，单位化，得到一个正交向量组，且 每个向量都是单位向量,3）因为 两两不同，所以根据这一 节定理 10，向量组 还是两两正交的. 它们的个数等于矩阵的阶数n. 就这样，正交矩阵T也就求出了。,例1、对称矩阵： 求正交矩阵T使 成对角形。,解 先求A的特征值。由 求属于1的线性无关的特征向量,正交化得 单位化得,属于-3的线性无关的特征向量为,单位化得 则正交矩阵,使,例2、求一正交变换化二次型为标准形： 解：二次型的矩阵,A的特征多项式为 A的特征值是 。,对于 , 从而可取两相互正交的特征向量,对于 取特征向量 将上述相互正交的特征向量单位化，得,则在正交线性替换,将二次型化为标准型,BACK,若尔当标准形介绍,若尔当块 若尔当形矩阵 矩阵的若尔当标准形 根据特征值、特征向量写出矩阵的若尔当标准形,若尔当块,定义10 设 为一复数，则,称为若尔当块,认识下列若尔当块,结论: 对于一个若尔当块,是它的 k 重特征值，对应的线性无关的特征 向