通用版2020版高考数学大一轮复习第9讲对数与对数函数学案理新人教A版.docx

第9讲对数与对数函数1.对数概念如果ax=N(a0,且a1),那么x叫作以a为底N的,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数,logaN叫作对数式性质底数的限制:a0,且a1对数式与指数式的互化:ax=N负数和零没有loga1=logaa=1对数恒等式:alogaN=运算法则loga(MN)=a0,且a1,M0,N0logaMN=logaMn=(nR)换底公式换底公式:logab=logcblogca(a0,且a1,c0,且c1,b0)推论:logambn=,logab=1logba2.对数函数的概念、图像与性质概念函数y=logax(a0,a1)叫作函数底数a10a0,且a1)与对数函数互为反函数,它们的图像关于直线对称.常用结论1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.2.只有在定义域上单调的函数才存在反函数. 题组一常识题1.教材改编 化简logablogbclogca的结果是.2.教材改编 函数f(x)=log2(2-x)的定义域是.3.教材改编 若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(2)=.4.教材改编 函数y=log12(x2-4x+5)的单调递增区间是.题组二常错题索引:对数的性质及其运算掌握不到位;忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质;忽略对底数的讨论致误.5.有下列结论:lg(lg 10)=0;lg(ln e)=0;若lg x=1,则x=10;若log22=x,则x=1;若logmnlog3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是.6.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则xy=.7.设a=14,b=log985,c=log83,则a,b,c的大小关系是.8.若函数y=logax(a0,a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1,则a=.探究点一对数式的化简与求值例1 (1)2018宿州质检 已知m0,n0,log2(3m)+log2n=log2(2m2+n),则log2m-log4n的值为()A.-1B.1C.-1或0D.1或0(2)设2x=5y=m,且1x+1y=2,则m=.总结反思 (1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.(2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.变式题 (1)2018昆明一中模拟 设x,y为正数,且3x=4y,当3x=py时,p的值为()A.log34B.log43C.6log32D.log32(2)计算:lg 32+log416+6lg12-lg 5=.探究点二对数函数的图像及应用例2 (1)函数f(x)=loga|x|+1(0a1)的图像大致是() A B C D图2-9-1(2)2018濮阳二模 设x1,x2,x3均为实数,且12x1=log2(x1+1),12x2=log3x2,12x3=log2x3,则()A.x1x3x2B.x3x2x1C.x3x1x2D.x2x1bc0,则f(a)a,f(b)b,f(c)c的大小关系是()A.f(a)af(b)bf(c)cB.f(c)cf(b)bf(a)aC.f(b)bf(a)af(c)cD.f(a)af(c)cf(b)b探究点三解决与对数函数性质有关的问题微点1比较大小例3 (1)2018武汉4月调研 若实数a,b满足ab1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,则m,n,l的大小关系为()A.mlnB.lnmC.nlmD.lmn(2)2018长沙雅礼中学期末 已知a=ln12,b=log1312,则()A.a+bab0B.aba+b0C.a+b0abD.ab01log34a,则a的取值范围是()A.23,1B.23,34C.34,1D.0,23(2)已知实数a0,且满足不等式33a+234a+1,则不等式loga(3x+2)b的不等式,一般转化为logaf(x)logaab,再根据底数的范围转化为f(x)ab或0f(x)logbg(x)的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.微点3对数函数性质的综合问题例5 (1)2018丹东二模 若函数f(x)=logax,x3,log1ax+2,0x3存在最小值,则a的取值范围为()A.(1,+)B.3,+)C.(1,3D.(1,3 (2)已知f(x)=log12(x2-ax+3a)在区间2,+)上为减函数,则实数a的取值范围是.总结反思 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.应用演练1.【微点3】若函数f(x)=a+log2x在区间1,a上的最大值为6,则a=()A.2B.4C.6D.82.【微点1】2018银川一中四模 设a=0.50.4,b=log0.40.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cbaC.cabD.bca3.【微点2】已知函数f(x)在区间-2,2上单调递增,若f(log2m)0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为反函数.【课前双基巩固】知识聚焦1.对数x=logaN对数0NlogaM+logaNlogaM-logaNnlogaMnmlogab2.对数(0,+)R(1,0)增减3.y=logax(a0,且a1)y=x对点演练1.1解析 利用对数的换底公式可得结果为1.2.(-,2)解析 由2-x0,解得x2,即函数f(x)的定义域为(-,2).3.1解析 函数f(x)=log2x,所以f(2)=1.4.(-,2)解析 因为0120恒成立,且单调递减区间为(-,2),所以函数y=log12(x2-4x+5)的单调递增区间是(-,2).5.解析 lg 10=1,则lg(lg 10)=lg 1=0;lg(ln e)=lg 1=0;底的对数等于1,则x=10;底的对数等于1;logmn=lgnlgm,log3m=lgmlg3,则lgnlg3=2,即log3n=2,故n=9.6.4解析 因为lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y.由已知得x0,y0,x-2y0,所以x=y不符合题意,当x=4y时,得xy=4.7.cab解析 a=14=log949=log93log985=b,所以cab.8.2或12解析 分两种情况讨论:(1)当a1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;(2)当0a1时,有loga2-loga4=1,解得a=12.所以a=2或12.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)先化为同底的对数,根据对数的运算法则得出m,n之间的关系,再代入求值.(2)先反解x,y,再代入1x+1y=2,即可得m的值.(1)C(2)10解析 (1)因为log2(3m)+log2n=log2(9m2)+log2n=log2(9m2n),log2(2m2+n)=log2(2m2+n)2,所以9m2n=(2m2+n)2,即4m4-5m2n+n2=0,解得4m2=n或m2=n,所以log2m-log4n=log2m-log2n=log2m2n=-1或0.(2)由2x=5y=m,得x=log2m,y=log5m,再由1x+1y=2,得1log2m+1log5m=2,即logm2+logm5=2,所以logm10=2,所以m=10. 变式题(1)C(2)1解析 (1)令3x=4y=t,则x=log3t,y=log4t,由3x=py,得p=3log3tlog4t=3logt4logt3=3log34=6log32,故选C.(2)lg 32+log416+6lg12-lg 5=lg 25+log442-6lg 2-lg 5=2-lg 2-lg 5=2-lg 10=1.例2思路点拨 (1)由f(x)的性质及其图像过点(1,1),(-1,1)得到答案;(2)在同一坐标系内作出函数y=12x与y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的图像,根据图像得到交点,分析交点的横坐标进行大小比较.(2)在同一坐标系内画出函数y=12x与y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的图像,根据图像得到交点,比较交点的横坐标的大小即可.(1)A(2)A解析 (1)由于函数f(x)=loga|x|+1(0a0时,f(x)=loga|x|+1(0a1)是减函数;当x0时,f(x)=loga|x|+1(0a1)是增函数.再由f(x)的图像过点(1,1),(-1,1),可知应选A.(2)x1,x2,x3分别是函数y=12x与y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x图像的交点的横坐标,作出函数y=12x,y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的大致图像如图所示,由图可得x1x31或x1时,函数f(x)=ln(x-1)是增函数,故排除A.故选B.(2)由题意可得,f(a)a,f(b)b,f(c)c可分别看作函数f(x)=log2(x+1)图像上的点(a,f(a),(b,f(b),(c,f(c)与原点连线的斜率,结合图像(图略)可知,当abc0时,f(c)cf(b)bf(a)a.故选B.例3思路点拨 (1)推导出0=loga1logablogaa=1,由此利用对数函数的单调性比较m,n,l的大小;(2)先分析出ab0,a+bb1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,0=loga1logablogaa=1,m=loga(logab)loga1=0,0n=(logab)2n=(logab)2,lnm.故选B.(2)由题得a=ln12log131=0,所以ab0.又a+b=ln12+log1312=-ln 2+ln2ln3=ln 21ln3-1=ln 21-ln3ln30, 则ab-(a+b)=ab-a-b=ln12log1312-ln12-log1312=-ln 2ln2ln3+ln 2-ln2ln3=ln 2-ln2ln3+1-1ln3=ln 2ln3-ln2-1ln3=ln 2ln32eln30,所以aba+b1与log34a1,可得23a1;由log34a34.综上可得34a4a+1,0a8-5x,3x+20,8-5x0,解得x34,85.例5思路点拨 (1)由分段函数在两段上的单调性,结合f(x)存在最小值,列不等式求解即可;(2)令t=x2-ax+3a,则由题意可得函数t=x2-ax+3a在区间2,+)上为增函数,且当x=2时,t0,从而得解.(1)C(2)-41,否则函数无最小值,所以当x3时,f(x)loga3,当0x3时,f(x)=log1ax+2单调递减,且满足f(x)f(3)=log1a3+2,所以loga3log1a3+2,即loga31,得10,故有a22,4-2a+3a0,解得-4a4.应用演练1.B解析 由题得函数f(x)=a+log2x在区间1,a上是增函数,所以当x=a时,函数取得最大值6,即a+log2a=6,解得a=4.故选B.2.C解析 0a=0.50.4log0.40.4=1,c=log80.4log81=0,cab.3.A解析 不等式即为f(log4m2)flog4(m+2),函数f(x)在区间-2,2上单调递增,log4m2log4(m+2),-2log2m2,-2log4(m+2)2,即m2m+2,14m4,116m+216,解得14m0,可得x2-2x0,解得0x2,函数f(x)=log2(-x2+2x)的定义域为(0,2).又y=log2x在(0,+)上单调递增,y=-x2+2x(0xbaB.bacC.acbD.abc解析 Da=18118180=1,b=log20172018=12log20172018,log20172018(1,2),b12,1.c=log20182017=12log20182017,log20182017(0,1),c0,12,abc.例3配合例5使用 已知函数f(x)=lg5x+45x+m的值域是R,则m的取值范围是()A.(-4,+)B.-4,+)C.(-,4)D.(-,-4解析 D令t=5x+45x+m,因为f(x)的值域为R,所以t可取(0,+)内的每一个正数,所以4+m0,故m-4,故选D.例4配合例5使用 已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中a0,且a1).(1)求函数f(x)+g(x)的定义域;(2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明;(3)求使f(x)+