列方程(组)解应用题题型总结.doc

列方程（组）解应用题题型总结 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题所涉及的相等关系是什么。设未知数设直接未知数或设间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。用含未知数的代数式表示相关的量。寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。解方程及检验。答案。常见词语的含义：1、 利润最简单的解释就是卖出商品后得到的钱再减去生产该商品的所有开支（或者是减去购进该商品的所有开支，又叫做“成本”。通常是减去进价。）。即：利润 销售价成本 。当利润为正数时，习惯的说法叫做“盈利”。当利润为负数时，习惯的说法叫做“亏损”。通常说盈利百分之几或亏损百分之几，都是以成本为基数计算而得出的相对变化率。2、 利息向银行借款的行为又叫做贷款，将钱存入银行叫做存款。假如你向银行贷款100元，贷款期限是一年，年利率是10%，那么满一年时你必须归还银行的本金100元，另外还要支付给银行10元钱的利息。假如贷款期限是半年， 利率是5%，那么满半年时你必须归还银行本金100元，另外还要支付给银行50元利息。注意语言与解析式的互化并从语言叙述中写出相等关系x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y； x与y的差为3，则x-y=3。X除以y的商为3，则xy 3； x与y的积为3，则x y3； x是y的3倍，则x3y； x比y多3倍（意思是： x比y多出的部分等于y的3倍，换个说法就是：x是y的 4倍），则（x y） y 3； x为 y的 2倍与3的和再与1.5的积，则x（2y3）1.5； x是 y与5 3的和的3倍减去2除以7的商 ，则x 3（y53）27 。 例1、有一位农民遇见魔鬼,魔鬼说:我有一个主意，可以让你发财！只要你从我身后这座桥走过去，你的钱就会增加一倍，走回来又会增加一倍，每过一次桥，你的钱都能增加一倍，不过你必须保证每次在你的钱数加倍后要给我a个钢板，农民大喜，马上过桥，三次过桥后，口袋刚好只有a个钢板，付给魔鬼，分文不剩，请用有含a的代数式表示农民最初口袋里的钢板数。分析：农民过桥后口袋里的钱就先翻一倍，然后再拿出a个钢板给魔鬼。设农民最初口袋里的钢板数为w（按题意就是要写出w这样的式子，“”就是a的代数式）农民第一次过桥并付出一个钢板后，口袋里所剩的钢板数为：2wa；农民第二次过桥并付出一个钢板后，口袋里所剩的钢板数为：2（2wa）a；农民第三次过桥并付出一个钢板后，口袋里所剩的钢板数为0，即：22（2wa）aa0，化简后得：w（78）a注意方程式中各个量的单位要统一 可以通过检查单位是否统一来间接检查所列方程是否正确。如果发现“x (牛) + y (马) = w (猪)”这样的方程式时，可以肯定地说，方程一定列错了。单位不同的量不能相加减，也不可能相等。常见题型 一、变化率问题 一个量由前一个数变为后一个数时（可能确实变了，也可能只是计划中要变，实际还没有变），经常会遇到求变化率的问题。解这类题时首先要明确三个概念：基数、绝对变化量、相对变化率。 基数用来作为比较的基准、尺度、参照物的那个数，是变化前的那个数。从文字上判断就是“比”字后面的那个数，没有“比”字时，应从题意中推敲一下变化前的数是哪个数 。 绝对变化量某个量变化前后的差。它是净变化量，也叫做绝对变化量。按习惯只取绝对值。 相对变化率绝对变化量与基数的比值，通常用百分数来表示。 绝对变化量计算公式：相对变化率= 100% 基数 解这类题时，要注意下列词语的差别：“增加了”与“增加为（到）”；“减少了”与“减少为（到）”；“扩大了”与 “扩大为（到）”等。例如：“本班学生去年50名，今年增加为（到）60名”，其含义是今年实际有60名，净增加数是10名。“本班学生去年50名，今年增加了60名”，其含义是今年在去年的基础上增加了60名，今年实际有110名，净增加数是60名。 按习惯，相对变化率不说正负，而用“增加”、“提高”、“扩大”等词来表达正的相对变化率，说明变化前的数小于变化后的数；用“减少”、“下降”、“缩小”等词来表达负的变化率，说明变化前的数大于变化后的数。不论是“增加”、“提高”、“扩大”还是“减少”、“下降”、“缩小”，都是以变化前的数作为衡量的基准，从而得出的结论，所以基数就是变化前的那个数。 例1：某车间四月份生产机床2100台，超过计划5%，计划生产多少台？ 分析：“超过”是以“计划”为“基准”，比较而得出的结论，所以“计划”就是“基数”。 计划数 四月份产量即： 5 计划数 例2、某校三月份用煤4吨，四月份用煤比三月份少25%，四月份用煤多少吨？ 分析：“少”是以“三月份”比较的结果，所以，三月份的产量是“基数” 三月份产量 四月份产量 即： 25 % 三月份产量 例3、永红录音机厂三月份比计划多生产录音机500台，超产了25%，这个厂计划生产录音机多少台？ 分析：“超产”是与“计划”比较的结果，所以，“计划”是基数。 500 即： 25 % 计划 例4、学校建操场，原计划需要10万元，实际只用了8.5万元，实际比原计划节约百分之几？分析：“节约”就是少用的部分，是与“原计划”比较才产生了“节约”这一结果，所以“原计划”是基数。 108.5 即： 100% 10 例5、王师傅在完成一件工作时，劳动效率提高了30，因此所用时间节约了30，对吗？。 分析：“效率提高”是以“过去”的效率比较而言的，所以，过去的效率是基数。 即：（现在的效率过去的效率）过去的效率30% 现在的效率过去的效率（130%） “时间的节约”是以过去所用的时间比较，少用了时间。所以，过去所用的时间是基数。 即：时间节约率（过去的时间现在的时间）过去的时间100%又因为：时间工作量效率，如果把工作量看作“整数1”，那么：时间1/效率时间节约率1过去的效率 1过去的效率（130%） 过去的效率100% 111.3100% 23% 例6、牛庄养牛场，今年养牛400头，是去年的125%，去年养牛多少头？分析：题意是：今年养牛数去年养牛数125%，而不是：今年净增加的养牛数去年养牛数125% 例7、一棵2米高的小树，每年增高10%，两年后有多高？n年后呢？分析：每年10%的相对增高率都是以上一年的高度为基数计算出来的。即：一年后的高度2210% 一年后的高度2（110%） 两年后的高度2（110%） 2（110%）10% 两年后的高度2（110%）（110%）同理可推导出：n年后的高度2（110%）（110%）（110%），共n个（110%）的乘积。 例8、某人储蓄100元钱，当时一年息为7.47%，三年息为8.28%（均不计复利）.甲种存法：先存一年，到期后连本带利再存一年，到期后再连本带利存一年；乙种存法：存三年；哪种存法盈利多？多多少？分析：甲种存法一年后本利合计为100（17.47%）元；两年后本利合计为100（17.47%）（17.47%）元；三年后本利合计为100（17.47%）（17.47%）（17.47%）元。盈利100（17.47%）（17.47%）（17.47%）10024（元）乙种存法三年后本利合计为100（18.28%），盈利100（18.28%）1008.28（元）显然甲种存法盈利多，多15.72元。需要说明的是：存款的期限通常有三个月、半年、一年、两年、三年、五年之分，每一种期限规定一种利率，到期时才能取出本金和利息，利息本金利率。利息都不计算复利，也就是说不论存期长短，利息不以年或月来计算。这看起来有点不合理，但这样计算方便，所有银行都是这样规定的。实际上存期越长盈利越多，本例中的利率不符合实际，在现实当中是乙种存法盈利多。例9、东风商场文具部毛笔每只25元，练习本每本5元，制定了甲乙两种优惠方法供顾客选择： 甲：买一只毛笔就赠送一本书法练习本； 乙：按购买金额打9折付款。 学校欲购买毛笔10支，练习本w（w大于或等于10）本 ，要求：1、写出每种优惠方法下的实际付款金额 ； 2、比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱？ 分析：按甲方法时的实际付款金额：25105(w10)=200+5w - (1) 按乙方法时的实际付款金额：2510 (110%)+5 w(110%) =225+4.5w -(2) 比较（1）和（2），当w=50时，二式相等。 当购买书法练习本少于50本时，（1)(2), 乙法付款省钱。 二、比例问题 比例、除法、分数（分式）是商的三种不同表现形式。a:b=c:d写成分数就是abcd写成除法就是abcd。例1、甲、乙、丙、丁四个人按a:b:c:d的比例分享一个4千克的西瓜，各得多少？分析：西瓜被分成的最少份数应当是abcd当然还可以分成n(abcd)份，只不过这时各份之间有一个最大公约数n,此时它们相互之间的比例不是最简比例，每一份就是1（abcd）,甲、乙、丙、丁分别占了总份数（abcd)中的a、b、c、d份，所以各个分得的质量分别是：甲a（abcd）4； 乙b（abcd）4；丙c（abcd）4； 丁d（abcd）4例2、 两个城市相距380千米.一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，经过4小时后相遇.已知客车和货车速度的比是11:8.求客车每小时比货车每小时多走多少千米？分析：客车速度/货车速度=11/8，即客车速度=(11/8)货车速度。可以设货车速度为x,则客车速度为(11/8)x。也可以设货车速度为8x,则客车速度为11x，这样设的话，求出x后应在计算8x和11x的值。例3、某厂三个车间的工人数分别为26，39，65，现在招来40个合同工，应如何分配，才能使各车间的工人的比例与原来一样？分析：工人增加后，只要各个车间的人数在总人数中所占的比例不变，相互之间的比例就不会变。原来的总人数为130，现在为170。原来三个车间的人数在总人数中所占的份额分别为26130、39130、65130，现在三个车间的人数分别为1702613034、1703913051、1706513085。 三、不纯净物质的配制问题 在化学课中，我们知道溶液是溶质和溶剂的总和。配制溶液时，通常不会配制成100%的浓度，溶质也不会是纯净的，会含有杂质。在配制过程中，溶质的量（固体通常用质量作单位，液体通常用体积作单位）是不会变的。蒸发、浓缩或人为添加溶剂，会导致溶剂的量改变，从而改变溶质在溶液中所占的比例，也就是改变了溶液的浓度。溶质或溶剂的量改变时，溶液的浓度就会随着改变。 例1、要配制浓度为30% ，密度为1.1克/毫升的葡萄糖溶液500毫升，需要含量为98%的葡萄糖粉多少克？ 分析：30%的含义是100克葡萄糖溶液中含有30克葡萄糖，也就是葡萄糖和水的质量比是30：70。98%的含义是100克葡萄糖粉中有两克杂质，有98克葡萄糖。 需要注意的是：只有溶质是液体时才会采用体积比浓度，比如将30毫升纯度为100%的酒精到入70毫升水中，配制成体积比浓度为30%的酒精溶液。没有特别指明的情况下，溶液的浓度都是指质量比浓度。 500毫升溶液的质量500毫升1.1克毫升550克 500毫升溶液所含的葡萄糖550克30%165克 纯度为98%的葡萄糖粉的需要量98%165克纯度为98%的葡萄糖粉的需要量168克四、做工问题 做工涉及到工程量、效率和做工的时间三个量，基本关系是：工程量效率时间工程量没有具体数值时，为了计算的方便，通常把它看作一个整数“1”。例1、一个蓄水池，装有甲、乙、丙三个进水管，单开甲管45分钟注满，单开乙管60分钟注满，单开丙管90分钟注满.如果三管一齐开放，几分钟可以注满全池？分析：甲、乙、丙三个进水管每分钟注水的效率或者说是速度分别是总量的145、1/60和1/90，三管注满总量“1”所需要的时间1（1/45160190）例2、某工人原计划在限定的时间内加工一批零件，如果每时加工10个零件，就可以超额完成3个；如果每时加工11个零件，就可以提前1时完成，问这批零件有多少个？按原计划需多少时间完成分析：设这批零件有w个，则（w3）10就是限定的小时数。W11就是能提前完成任务时实际做工的小时数。根据题意得：（w3）10 w111例3、甲、乙两人一起生产一批零件，经20天完成任务，但乙曾在中途请假5天，已知甲每天比乙多做3个，于是乙做的零件恰好是甲的一半，求这批零件的总件数。分析：如果设零件总数为w，则甲做了（23）w个，乙做了（1/3）w个。甲、乙做工的效率就分别是每天（23）w20个和（13）w15个，根据题意得：（23）w20 （13）w153例4、甲、乙、丙三人单独完成同一件工作，分别需要10天、12天、15天。问题1、如果三人合作，共同完成这一任务需要几天？问题2、如果乙先做3天，然后甲、丙同时加入，那么完成这件工作共需要多少天？问题3、甲先做，然后乙、丙加入共同完成，前后共用了7天，问甲先做了几天？分析：把工作量作为整数“1”来看待（即使设为一个未知数，该未知数在运算过程中也会被约去，试一试看看），则甲、乙、丙做工的效率分别是1/10、1/12、1/15。问题1答案：三人合做所需要的天数总工作量总效率1（110112115）问题2答案：31312（110112115）问题3答案：设甲先做了w天，则w1w10（110112115）7w5 例5、某人要装修,若甲乙两个装修公司合作需6周完成,需工钱72万元,若甲单独做4周后剩下的乙做,还要9周才能完成,需工钱73万,若只选一个公司单独完成从节约开支的角度考虑是选甲还是乙 解答：1、设甲每周的工钱为w万元，乙的为Y万元，则 6w+6Y72 4w9Y73，解得w7，Y5 2、再设甲单独做要a周，乙为b周，则 6（1/a1/b）1 4/a9/b=1,解得a10，b15，即甲单独做的工钱70万元，乙的工钱75万元，所以从节约开支来考虑要选甲。 五、行程问题（匀速运动）， 行程问题涉及到路程、速度和时间三个量， 基本关系是路程=速度时间，即：s=vt 。解这类题时要弄清楚“同时”、“相向而行”、“相对而行”等词的含义，并画出示意图以帮助分析。在水中顺流航行时，实际的速度等于水的流速与船的航行速度之和；在水中逆流航行时，实际的速度等于流速与船的航行速度的差。例1、周勤从甲地到乙地步行要用6小时，林学从乙地到甲地骑自行车要用2.5小时.两人同时从甲、乙两地相对而行，相遇时林学行了30千米.甲、乙两地相距多少千米？ 分析：相遇时周勤的路程林学的路程（30千米）就等于甲、乙两地的距离，这是本题的一个明显的等量关系,还有另一个等量关系就是林学行30千米所用的时间就是周勤从出发到相遇所用的时间。设甲乙两地的距离我x千米，则周勤的速度为x/6，林学的速度为x/2.5；林学行30千米所用的时间为30/（x/2.5）。 根据题意得：（x/6)30/(x/2.5)30 x例2、某人骑自行车在平路上每时行12千米，上坡路每时行8千米，下坡路每时行15千米.已知一段路中的平路长28千米，某人骑车去时用了5时，回来时用了4时39分，问这段路的上坡和下坡各是多少千米？分析：去时是上坡的路段回时是下坡，去时是下坡的路段回时是上坡。设去时上坡的路段和下坡的路段长度分别为w千米和e千米。则w82812e155-(1) w152812e843960-（2）例3、甲、乙两地相距10千米，A,B,C三人从甲地到乙地，A,B二人步行速度为每时4千米，C骑摩托车速度是每时40千米.出发时，C先用摩托车带A,当C送A一程后，A下车步行，C即返回接步行中的B,结果3人同时达到乙地.求A,B,C三人从甲地到乙地共用了多少时间？ 甲 -10km-乙 CA -(d)-w千米- B -(e)-(f)-分析：当C和A到达d点时，B到达e点，当C从d点返回时在f点与B相遇，C从d点返回到f点再到乙地的时间就等于A从d点到乙地的时间。设： d点到乙地的距离为w千米，则甲地到d点的距离就为(10w)千米。因为B的速度与C的速度之比是1：10，所以e点到d点的距离是(910)（10w）千米。d点到f点的距离是e点到d点的1011倍，即df1011(910)（10w）千米。根据题意得： (2dfw)40w4 2 1011(910)（10w）w 10w w117180(千米)。A,B,C三人从甲地到乙地共用的时间(10w)40w4(10117180)40 11772028537200(小时)例4、110米长的队伍，以每秒1.5米的速度行进,一队员以4米/秒的速度从队尾到队首，然后立即原速返回到队尾，问队员从离开队尾到又返回队尾时，队伍行进了多少米? 分析：解这类题时，因为两者都处于运动中，为了便于分析，应选择其中一个作为参照物（也就是相对静止的那一个），再求出其它运动物体对于参照物的相对速度。本题中假如以队伍作为参照物，则追赶队员从队尾到队首的相对速度为41.52.5（米），从队首返回队尾的相对速度为41.55.5（米）。队员从队尾追赶到队首用时1102.544（秒），从队首返回队尾用时1105.520（秒）。在这64（4420）秒的时间内，队伍行进的路程1.56496（米）。例5、与铁路平行的一