华师大附中2011届数学复习教学案：向量小结与复习.doc

课 题：向量小结与复习（1）教学目的：1了解本章知识网络结构；2进一步熟悉基本概念及运算律；3理解重要定理、公式并能熟练应用；4加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力5认识事物之间的相互转化；6培养学生的数学应用意识教学重点：突出本章重、难点内容教学难点：通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别授课类型：复习课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学方法:自学辅导法在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟悉程度教学过程：一、引入前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方法这一节，我们开始对本章进行小结与复习二本章知识1本章知识网络结构2本章重点及难点(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用；(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等；(3)对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用3向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 ，；坐标表示法(3)向量的长度：即向量的大小，记作(4)特殊的向量：零向量0单位向量为单位向量1(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量4向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法1是一个向量,满足:20时,与同向;0时,与异向;=0时, =0向量的数量积是一个数1或时, =02且时, 5重要定理、公式：(1)平面向量基本定理是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使 (2)两个向量平行的充要条件(3)两个向量垂直的充要条件O(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为，即，则 (线段的定比分点的向量公式) (线段定比分点的坐标公式)当1时，得中点公式：（）或 (5)平移公式 设点按向量平移后得到点，则+或，曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为： (6)正、余弦定理正弦定理：余弦定理：三、讲解范例：例1在四边形ABCD中，试证明四边形ABCD是矩形分析：要证明四边形ABCD是矩形，可以先证四边形ABCD为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考证明：设a，b，c，d，则abcdOab（cd)两边平方得a22abb2c22cdd2，又abcda2b2c2d2（1）同理ad2b2c2（2）由(1)(2)得a2c2，d2b2，ac，db，即ABCD，BCDA四边形ABCD是平行四边形于是，即ac，又abbc，故abb（a）abO四边形ABCD为矩形评述：向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会例2设坐标平面上有三点A、B、C，j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量2j，j，那么是否存在实数，使A、B、C三点共线分析：可以假设满足条件的存在，由A、B、C三点共线 存在实数，使，从而建立方程来探索解法一：假设满足条件的存在，由A、B、C三点共线，即，存在实数，使，2j（j）， 2当2时，A、B、C三点共线解法二：假设满足条件的存在，根据题意可知：（1，O），j（O，1）（1，O）2（O，1）（1，2），（1，O）（O，1）（1，），由A、B、C三点共线，即，故11（2）O解得2当2时，A、B、C三点共线评述： (1)共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择(2)本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法当存在时；假设否定法当不存在时四、课堂练习：1判断题(1) O（）(2)OO（）（3）（)2选择题已知a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )Aa与b相等B如果a与b平行，那么a与b相等Cab1Da2b2答案：D3已知A、B、C是直线上的顺次三点，指出向量、中，哪些是方向相同的向量答案：与方向相同，与方向相同4已知为与的和向量，且a，b，分别用a、b表示，解：（ab），（ab）5已知ABCDEF为正六边形，且a，b，用a，b表示向量、解：a，ab，（ab），（ab），（ab），（ba），ab，ba6已知点A(3，4)、B（5，12）(1)求的坐标及；(2)若，求及的坐标；(3)求解：(1) （8，8），8(2) （2，16），（8，8）(3) 33五、小结通过本节学习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1三点共线的证明对于三点共线的证明，可以利用向量共线的充要条件证明，也可利用定比分点知识证明因为，定比分点问题中所涉及的三个点必然共线，而三个点共线时，必然构成定比分点例1已知A（1，1）、B（1，3）、C（2，5），求证A、B、C三点共线证明：设点B（1，y）是的一个分点，且，则1解得2y3即点B与点B重合点B在上，点B在上，A、B、C三点共线2利用正、余弦定理判断三角形形状例2根据下列条件，判断ABC的形状(1)acosAbcosB(2)sin2sin2Bsin2C，且c2acosB解：(1)acosAbcosB即sinAcosAsinBcosBsin2Asin2B2A2B或2A2BAB或ABABC是等腰三角形或直角三角形(2)sin2Asin2Bsin2Ca2b2c2故ABC是直角三角形，且C9O，cosB，代入c2acosB得cosBB45，A45综上，ABC是等腰直角三角形评注(1)条件中有边有角，一般须化边为角或化角为边，题(1)也可以化角为边(2)题(1)结论中用“或”，题(2)中用“且”结论也就不同，切不可混淆例3 在ABC中，若a2b（bc），则A与B有何关系?解：由正弦定理得sin2AsinB（sinBsinC）sin2Asin2BsinBsinC，（sinAsinB）（sinAsinB）sinBsinC，sin（AB）sin（AB）sinBsinCsin（AB）sinC，sin（AB）sinB，ABB，A2B，或ABB(舍去)故A与B的关系是A2B3利用正、余弦定理证明三角恒等式例4 在ABC中，求证证明：由余弦定理，知a2b2c22abcosC，a2b2c22cacosB，评注：对于含有a2、b2、c2的形式，常用余弦定理化边为角例5 在ABC中，已知2sin2A3sin2B3sin2C cos2A3cosA3cos（BC）1 求：abc解：由得2a23b23c2 cosAcos（BC）由得3cos（BC）3cos（BC）1cos2A2sin2A3sin2B3sin2Ccos（BC）cos（BC）sin2Bsin2C，2sinBsinCsin2Bsin2C即（sinBsinC）2O，sinBsinC，2RsinB2RsinC，bc代入得ababcbbb11 课 题：向量小结与复习（2）教学目的：1熟悉向量的性质及运算律； 2能根据向量性质特点构造向量；3熟练平面几何性质在解题中应用；4熟练向量求解的坐标化思路5认识事物之间的内在联系；6认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识教学重点：向量的坐标表示的应用；构造向量法的应用教学难点：构造向量法的适用题型特点的把握授课类型：复习课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学方法:启发引导式针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力教学过程：一、讲解范例：例1利用向量知识证明下列各式(1)x2y22xy(2)x2y22xy分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系(2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证证明：(1)设a（x，y），b（y，x）则abxyyx2xyab又ababcos(其中为a，b夹角)abx2y22xy(2)设x，y的夹角为，则xyxycosxyx2y22xy评述： (1)上述结论表明，重要不等式a2b22ab，无论对于实数还是向量，都成立(2)在(2)题证明过程中，由于x，y是实数，故可以应用重要不等式求证例2利用向量知识证明(a1b1a2b2)2（a12a22）（b12b22）分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量证明：设a（a1，a2），b（b1，b2）则aba1b1a2b2，a2a12a22，b2b12b22ababcosab (其中为a，b夹角)（ab）2a2b2（a1b1a2b2）2（a12a22）（b12b22）评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会例3已知（x）求证：（a）（b）ab(ab）分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于（a）、（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的也可考虑构造向量法，利用向量的性质求证下面给出两种证法证法一：（a），（b），要证明（a）（b）ab只需证明2ab2即 1a21b22a2b22ab即 1ab只需证明（）2（1ab）2即1a2b2a2b212aba2b2即a2b22aba2b22ab 又aba2b22ab（a）（b）ab证法二：设a（1，a），b（1，b）则a，bab（O，ab）abab由abab，（其中当ab即ab时，取“”，而ab）abab即ab（a）（b）ab评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的认识上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活性下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用例4已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证ACBD分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件证法一：，（）（）22O证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）则由ABBC得a2b2c2（c，O）（a，b）（ca，b），（a，b）（c，O）（ca，b）c2a2b2O 即 ACBD评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握例5 若非零向量a和b满足abab证明：ab分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法证法一： (根据平面图形的几何性质)设a，b，由已知可得a与b不平行，由abab得以、为邻边的平行四边形OACB的对角线和相等所以平行四边形OACB是矩形，ab证法二：abab（ab）2（ab）2a22abb2a22abb2abO，ab证法三：设a（x1，y1），b（x2，y2），ab，ab，化简得：x1x2y1y2O，abO，ab例6 已知向量a是以点A(3，1)为起点，且与向量b（3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程解：设a的终点坐标为（，）则a（3，1）由题意由得：（313）代入得25215O2O9O解得a的终点坐标是（评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来二、课堂练习：1已知a（1，O），b（1，1），当为何值时，ab与a垂直解：ab（1，O）（1，1）（1，）（ab）a （ab）aO（1）OO1即当1时，ab与a垂直2已知a，b2，a与b的夹角为3O，求ab，ab解：ab2（ab）2a22abb2a22abcos3Ob2（）2222213ab，ab2（ab)2a22abb2a22abcos3Ob2（）222221ab13已知a3，b2，a与b的夹角为6O，c3a5b，da3b当为何值时，c与d是否垂直?解：若cd，则cdO（3a5b）（a3b)O3a2（59）ab15b2O3a2（59）abcos6O15b2O即273（59）6OO，解得4已知abc，abd求证：abcd证明：(1)cd（ab）（ab）Oa2b2Oa2b2ab，(2)aba2b2a2b2O（ab）（ab）Ocd三、小结 通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的