圆锥曲线知识方法小结.doc

椭圆、双曲线知识、方法、题型小结整理人：郑州七中 何小龙（待完善中）解析几何部分的常用知识：1.过点的直线的方程：设法一：当轴时，；否则，；设法二：当轴时，；否则，。具体选择哪种设法要结合题意来判断，大多情况下用第一种方式来设直线。2.点到直线的距离3.点分有向线段的比为，其中，则定比分点坐标公式：4. 若，为坐标原点，则。5.设定点，动点,若总成立，则动点的轨迹是以为直径的圆（除两点）。6.遇到求曲线方程或者轨迹方程的问题时，如果背景条件是三角形的话，要注意考虑是否需要挖去三点共线的情况。一、椭圆1.熟悉椭圆的定义（两种定义的表达方式都要清楚，特别注意第一定义中的）、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所使用的数学思想方法，以达到优化解题思维，简化解题过程的目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，不形成结论就不应该停手。2.要特别注意焦点分别在轴和轴上对应的椭圆方程的区别和联系。例：椭圆的离心率为，则 。3.求椭圆标准方程常用的方法是待定系数法和轨迹方程法：待定系数法：设方程为（或另一种形式，什么情况，怎么设？），然后根据题目中的条件求解得的值，要特别注意及当离心率已知时实际上已经知道了三者之间的一种关系；或者在遇到已知椭圆过两定点（坐标已知）时，设椭圆方程为：，代入已知点的坐标求解。 轨迹方程法：主要是根据椭圆的第一定义（特别注意利用图形的几何意义做题）和第二定义利用求曲线方程的方法求解。例：已知圆，点，是圆上一动点，的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程为 。3.直线与椭圆的位置关系，可以通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。通常利用联立消元后关于（或）的一元二次方程的判别式来判定，则有：直线与椭圆相交，即有两个不同的公共点；直线与椭圆相切，即有两个相同（一个）公共点；直线与椭圆相离，即没有公共点。直线与椭圆相交时，被椭圆截得的弦长公式： 或（为什么？）4.直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程通常用韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中最重要的解题方法。利用直线、弦长、圆锥曲线三者间的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中利用直线方程（以点斜式方程居多，要特别注意单独讨论斜率不存在时的特殊情况）、直线和椭圆相交后的弦去求椭圆方程是各类试题中最难的试题，也是高考的热点试题之一。5.点和椭圆的关系：点在椭圆内；点在椭圆上；点在椭圆外6.焦半径公式：分别是椭圆的左（下）、右（上）焦点，则：7.焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的三角形，称作椭圆的焦点三角形，设，。焦点三角形的面积（想一想推导过程是什么？） 当，即点为短轴端点时，焦点三角形的面积最大，最大值为；，当，即点为短轴端点时，角最大。8.焦点弦（即过焦点的弦）：为椭圆的焦点弦，其中点，弦的中点，则弦长；焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，即（怎么得到的？）。9. 为椭圆的弦（与上一条知识有什么不同？），其中点，弦的中点。弦长或；（为什么？如何推导？）；直线的方程为：；直线的垂直平分线方程为：。10.椭圆上存在两点，关于直线对称的问题，通常的解题思路为：设直线，将椭圆方程和直线方程联立消元后，利用弦的中点在直线上来解决。二、双曲线双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要组成部分，是高考命题的热点之一，双曲线既保留了椭圆的定义及方程的特性，又与之有所区别，因此，对双曲线的考查更能体现对基础能力的认识，其难度要高于椭圆。在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。1. 熟悉双曲线的定义（两种定义的表达方式都要清楚，特别注意第一定义中的）、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所使用的数学思想方法，以达到优化解题思维，简化解题过程的目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，不形成结论就不应该停手。2.要特别注意焦点分别在轴和轴上对应的双曲线方程的区别和联系。3.求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法和轨迹方程法：待定系数法：设方程为（或另一种形式，什么情况，怎么设？），然后根据题目中的条件求解得的值，要特别注意及当离心率已知时实际上已经知道了三者之间的一种关系；或者在遇到已知双曲线过两定点（坐标已知）时，设双曲线方程为：，代入已知点的坐标求解；或者已知共渐近线的双曲线方程设之为等。轨迹方程法：主要是根据双曲线的第一定义（特别注意利用图形的几何意义做题）和第二定义利用求曲线方程的方法求解。例：已知圆，点，是圆上一动点，的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程为 。3.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论双曲线方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。通常利用联立消元后关于（或）的一元二次方程的判别式来判定，则有：当消元后方程的二次项系数为时，直线和双曲线的渐近线平行，与双曲线仅有一个交点；当消元后方程的二次项系数不为时直线与双曲线相交，即有两个不同的公共点；直线与双曲线相切，即有两个相同（一个）公共点；直线与双曲线相离，即没有公共点。要注意区分当弦的两个端点在双曲线同一支上时，和两个端点分别在双曲线两支上的情况，要会讨论这两种情况时的离心率范围或直线斜率的范围。直线与双曲线相交时，被双曲线截得的弦长公式：或（为什么？）4.直线和双曲线相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程通常用韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中最重要的解题方法。利用直线、弦长、圆锥曲线三者间的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中利用直线方程（以点斜式方程居多，要特别注意单独讨论斜率不存在时的特殊情况）、直线和双曲线相交后的弦去求双曲线方程是各类试题中最难的试题，也是高考的热点试题之一。5.点和双曲线的关系：点在双曲线外（不包含焦点的区域）；点在双曲线上；点在双曲线内（包含焦点的区域）6.焦半径公式：分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点，则：若点在双曲线的右支上，；若点在双曲线的左支上，；若点在双曲线的上支上，；若点在双曲线的下支上，7.焦点三角形：双曲线上的点与两焦点构成的三角形，称作双曲线的焦点三角形，设，。焦点三角形的面积（想一想推导过程是什么？）；。8.焦点弦（即过焦点的弦）：为双曲线的焦点弦，其中点，焦点弦中通径（垂直于实轴的焦点弦）或实轴最短，即（怎么得到的？）。9. 为双曲线的弦（与上一条知识有什么不同？），其中点，弦的中点。弦长或；（为什么？如何推导？）；直线的方程为：；直线的垂直平分线方程为：。10.双曲线上存在两点，关于直线对称的问题，通常的解题思路为：设直线，将双曲线方程和直线方程联立消元后，利用弦的中点在直线上来解决。11.等轴双曲线：方程为，离心率，两条渐近线互相垂直，以上结论反之亦成立。12.与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（何时为？）；以为渐近线的双曲线方程为（何时为？）。13.在解决直线和双曲线位置关系等问题时，要注意消元后的方程的二次项系数是否为零，并检验判别式是否大于零。三、抛物线 本部分考查的主要知识点有：抛物线及其标准方程、焦点（坐标）、准线（方程）以及抛物线的几何性质。1. 重视定义在解题中的灵活应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相等转化；注意确定四种标准方程的条件，明确抛物线的焦准距、焦顶距、通径与抛物线标准方程中系数的关系（能全部回答出来吗？）；注意数形结合，提倡画出合理草图。2. 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或，此时不具有焦参数的几何意义。3. 当问题中涉及直线与抛物线位置关系（如弦长、弦中点、三角形面积）等问题时，要注意利用韦达定理，这样可以避免求交点坐标的复杂运算。但同时要注意在抛物线背景下的问题中，消元时可以利用抛物线方程进行（如等），在设直线方程时，如果斜率不存在的直线符合题意，但斜率为的直线不符合题意时，可以利用直线方程的点斜式的变形式：来表示直线，但必须注意的是，在时，该直线的斜率为，在时，该直线的斜率不存在。4. 直线与抛物线的位置关系问题常利用消元后的方程来研究，当二次项系数不为零时：直线与抛物线相交于两点；直线与抛物线相切；直线与抛物线相离。当二次项系数为零时，直线与抛物线的轴平行或重合，这时有一个交点（非相切）。在考试中常遇到这样的题型：给出抛物线方程及一个点，让判断过给出的点可以做出几条和抛物线仅有一个公共的直线。本类题型通常按下列步骤进行：首先判断点和抛物线（如）的位置关系，在抛物线内（含焦点的区域），在抛物线外（不含焦点的区域），在抛物线上；如果点在抛物线内，仅有一条平行于轴的直线符合题意；如果点在抛物线上，仅有一条平行于轴的直线和一条切线（共两条）符合题意；如果点在抛物线外，有一条平行于轴的直线及两条切线（共三条）符合题意。（能否自己总结出其它三种标准方程在此类题目中的解题步骤?）5. 直线和抛物线相交形成的弦长计算公式同椭圆、双曲线部分完全相同。(能默写吗？)6. 焦半径公式：抛物线上的点与焦点之间线段的长度称作抛物线的焦半径，记作，则：；（这四个公式是怎么来的？）7. 焦点弦：过抛物线焦点的弦，设为抛物线的焦点弦，弦的中点，则：（为什么？如何推导？）焦点弦长，等号成立时，即焦点弦与抛物线的轴垂直时（此时的焦点弦又叫抛物线的通径），即最短的焦点弦是通径，最小值是焦点弦长为弦的倾斜角）（能否自己推导一下呢？）8. 设为抛物线的弦（注意和上条知识的不同之处），弦的中点，则：弦长（为什么？提示：用点差法进行推导）直线的方程：或直线的垂直平分线方程：9. 抛物线中一道常考题（素材题，请大家认真揣摩，并记下题目的条件和结论）例：已知抛物线，直线和抛物线交于两点，求证：。（或已知，求证直线过定点） 证明：由，消得 所以 注意到 所以。 在后面的问题中，只需设直线的方程为，则可得 由 可解得，这就说明了直线过定点 通常我们把本题中的弦叫做抛物线的直角弦，请大家熟记这个结论：对于抛物线，弦过定点。虽然这是一个不可以直接在解答题中使用的结论，但对相当数量的题