江苏省2020版高考数学第二章9第九节函数模型及其应用精练.docx

第九节函数模型及其应用课时作业练1.(2018扬州中学期初检测)甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下:则上述四个函数图象中,甲、乙两人行进的函数关系的图象应该分别是.答案;解析由甲先骑自行车到中点后改为跑步,知前半程的速度大于后半程的速度,则前半程的图象的斜率大于后半程图象的斜率.乙是先跑步,到中点后改为骑自行车,则前半程的图象的斜率小于后半程图象的斜率.因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,所以甲前半程的图象的斜率大于乙后半程图象的斜率,所以甲是,乙是.2.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=ae-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案16解析当t=8时,y=ae-8b=12a,e-8b=12,当容器中的沙子只有开始时的八分之一时,ae-bt=18a,则e-bt=18=(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.3.某城市客运公司确定客票价格的方法:若行程不超过100 km,则票价是0.5元/km,若超过100 km,则超过100 km的部分按0.4元/km定价,那么客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是.答案y=0.5x,01004.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为.答案3解析设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,当x=3时,S取得最大值.5.某产品计划每年成本降低p%,若三年后成本为a元,则现在成本为.答案a(1-p%)3元解析设现在成本为x元,则根据题意有(1-p%)3x=a,所以x=a(1-p%)3.6.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为m.答案20解析由题图可知矩形上方的三角形与大三角形相似,设矩形中与长为x m 的边相邻的边的长为y m,则x40=40-y40,所以y=40-x,又有xyx+y22=400,当且仅当x=y时等号成立,则x=40-x,即x=20,故矩形的面积最大时x的值为20.7.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.根据预算得羊皮手套的年利润L万元与年广告费x万元之间的函数解析式为L=512-x2+8x(x0).则当年广告费投入万元时,该公司的年利润最大.答案4解析L=512-x2+8x=432-12x-4x2(x0).当x-4x=0,即x=4时,L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时,该公司的年利润最大.8.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.答案1 024解析依题意得alog48+b=1,alog464+b=4,即32a+b=1,3a+b=4.解得a=2,b=-2.y=2log4x-2,当y=8,即2log4x-2=8时,解得x=1 024.9.(2019江苏泰州模拟)某驾驶员喝了m升酒后,血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)=5x-2,0x1,3513x,x1.酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定:驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升,则此驾驶员至少要经过个小时才能开车(不足1小时的部分算1小时,结果精确到1小时).答案4解析当0x1时,-2x-2-1,5-25x-25-1,而5-20.02,当0x1时, f(x)0.02;当x1时,由3513x0.02得13x130,解得x1+1lg33.1.故此驾驶员至少要经过4个小时才能开车.10.某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?解析设矩形温室的左侧边长为x m,则后侧边长为800xm.所以蔬菜种植面积y=(x-4)800x-2=808-2x+1600x(4x400).因为x+1600x2x1600x=80.所以y808-280=648.当且仅当x=1600x,即x=40时取等号,此时800x=20,ymax=648 m2.即当矩形温室的左侧边长为40 m,后侧边长为20 m时,蔬菜的种植面积最大,最大面积是648 m2.11. (2018江苏扬州高一上期末)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市中共投资240万元,根据行业规定,每个城市至少要投资80万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=42a-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入a满足Q=14a+2,80a120,32,120a160,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求当投资甲城市128万元时公司的总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使公司的总收益最大?解析(1)当x=128时,甲城市投资128万元,乙城市投资112万元,所以总收益f(128)=42128-6+14112+2=88(万元).(2)由题意知,甲城市投资x万元,乙城市投资(240-x)万元,依题意得x80,240-x80,解得80x160,当80x120时, 120240-x160,f(x)=42x-6+32=42x+260,故f(x)的最大值为88(万元),答:当甲城市投资128万元,乙城市投资112万元时,总收益最大,且最大收益为88万元.12.(2017江苏南通、徐州高三第一次学情调研)在互联网时代,网校培训已经成为青年学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量h(x)(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足关系式h(x)=f(x)+g(x)(3x7,x为常数),其中f(x)与(x-3)成反比,g(x)与(x-7)的平方成正比,已知销售价格为5元/套时,每日可售出套题21千套,销售价格为3.5元/套时,每日可售出套题69千套.(1)求h(x)的表达式;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑售出的套数),试问销售价格为多少时,才能使网校每日销售套题所获得的利润最大?(保留1位小数)解析(1)因为f(x)与(x-3)成反比,g(x)与(x-7)的平方成正比,所以可设f(x)=k1x-3,k10,g(x)=k2(x-7)2,k20,则h(x)=f(x)+g(x)=k1x-3+k2(x-7)2.将(5,21),(3.5,69)代入,得k12+4k2=21,2k1+494k2=69,解得k1=10,k2=4.所以h(x)=10x-3+4(x-7)2(3x7).(2)设每日销售套题所获得的利润为F(x)元,则F(x)=(x-3)10x-3+4(x-7)2=10+4(x-7)2(x-3)=4x3-68x2+364x-578(3x7).从而F(x)=12x2-136x+364=4(3x-13)(x-7)(3x0,所以函数F(x)在3,133上单调递增;当x133,7时,F(x)3(x-m)”是“命题q:x2+3x-43(x-m)得xm+3或xm,由x2+3x-40得-4x1解析关于x的方程x2-(m+3)x+m+3=0有两个不相等的正实数根,即x10,x20,且x1x2,=(m+3)2-4(m+3)0,且x1+x2=m+30,x1x2=m+30,解得m1,故实数m的取值范围是m1.6.若函数y=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定义域为R,则实数a的取值范围是.答案(-,-153,+解析由题意知(a2-1)x2+(a+1)x+10对任意xR恒成立,当a2-1=0时,经检验,a=-1符合题意,a=1不符合题意,舍去;当a2-10时,a2-10,(a+1)2-4(a2-1)0,解得a53,综上,实数a的取值范围是(-,-153,+.7.函数f(x)=x2-2x的零点个数是.答案3解析当-1x0, f(0)=0-200,有一个零点.当x1-2x0.当x0时, f(2)=0=f(4),所以函数f(x)的零点个数为3.8.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知函数f(x)=ex-e-x+1(e为自然对数的底数),若f(2x-1)+f(4-x2)2,则实数x的取值范围是.答案(-1,3)解析令g(x)=f(x)-1,则g(-