现代测量平差报告.doc

现代测量平差读书报告学 院： 专 业： 姓 名： 学 号： 授课教师： 年 月稳健估计一、 概述在测量数据处理中,测量误差主要分为随机误差、系统误差和粗差.如果数据只含有随机误差,采用最小二乘估计就可以解决参数的最优估计问题;对于系统误差,由于按一定的规律变化,可以在模型中列入附加系统参数,通过检验识别,消除或减弱其影响;粗差是一种异常的大误差,可能由于仪器故障或观测者的疏忽及记录时的笔误等造成,其存在使测量模型严重歪曲,造成参数的最小二乘估计严重失真.稳健估计（Robust Estimation），测量中也称为抗差估计，正是针对最小二乘法抗粗差的干扰差这一缺陷提出的，其目的在于构造某种估计方法，使其对于粗差具有较强的抵抗能力。稳健估计在测量数据处理中的应用主要是进行粗差定位以及消除和减弱粗差对参数估计的影响.由稳健估计的目标知道,在假定模型基本正确的情况下,稳健估计具备抗大量随机误差和少量粗差的能力,使所估参数达到最优或接近最优.稳健估计不追求绝对意义上的最优,而是在抗粗差前提下的最优或接近最优.稳健估计主要包括三类:M估计、L估计、R估计.M估计是一种广义的极大似然估计,使用最广泛,M估计方法有很多种,目前使用最多的是选权迭代法;L估计是排序统计量线性组合估计,需要将观测子样按大小排列;R估计是秩检验型估计,基于观测子样列序统计量的秩,属于非参数估计.稳健估计的抗差性和效率取决于等价权函数以及参数初值的可靠性. 二、 稳健估计的原理、它要求解决这类问题的估计方法应达到以下目标：1 假定的观测分布模型下，估值应是最优的或接近最优的。2 当假设的分布模型与实际的理论分布模型有较小差异时，估值受到粗差的影响较小。3 当假设的分布模型与实际的理论分布模型有较大偏离时，估值不至于受到破坏性影响。、基本思想在粗差不可避免的情况下，选择适当的估计方法，使参数的估值尽可能避免粗差的影响，得到正常模式下的最佳估值。稳健估计的原则是要充分利用观测数据（或样本）中的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。由于事先不大准确知道观测数据中有效信息和有害信息所占比例以及它们具体包含在哪些观测中，从抗差的主要目标着眼是要冒损失一些效率的风险，去获得较可靠的、具有实际意义的、较有效的估值。、准则稳健估计的极大似然估计准则稳健估计基本可以分为三大类型，即估计：又称为极大似然估计，基于1964年Huber所提出的估计理论，丹麦的Krarup和Kubik等人于1980年将稳健估计理论引入测量界。估计：又称为排序线性组合估计，在测绘界也有一定范围应用。估计：又称秩估计，目前在测绘界应用还很少。极大似然估计准则设独立观测样本，为待估参数，的分布密度为，其极大似然估计准则为 （1）或 （2）正态分布密度下的极大似然估计准则设独立观测样本，其密度函数为参数的极大似然估计准则由（1）式得或 （3）亦即正态分布密度下的极大似然估计准则就是最小二乘估计准则。三、稳健估计的M估计法基于选权迭代法的稳健估计方法设独立观测值为，未知参数向量为，误差方程及权阵为 （4） 式中为系数向量。考虑误差方程，估计的函数可表述为 （5） 1.等权独立观测的选权迭代法设（4）式中的权阵，即，按估计极大似然估计准则并取函数为（5）式，则为 （6）上式对求导，同时记，可得对上次进行转置，得或 （7）再令，并将（7）写成矩阵形式，得 （8）式中 （9）称为稳健权矩阵，其元素称为稳健权因子，简称权因子，是相应残差的函数。将误差方程（4）代入所得估计的法方程式为 （10）当选定函数后，稳健权阵可以确定，但是的函数，故稳健估计需要对权进行迭代求解。 2.不等权独立观测的选权迭代法误差方程及权阵为（4）式，Huber于1964提出的估计准则（6）没有考虑测量中不等精度观测情况，但这种情况在测量平差中是普遍情形，为此，周江文教授于1989年提出了不等权独立观测情况下的估计准则2为 （11）与第一节推导类似，将上式对求导，同时记，可得 （12）令，则有或 （13）将代入，可得估计的法方程为 （14）式中为等价权阵，为等价权元素，是观测权与权因子之积，其定义由周江文给出。当时，则，准则（11）就是（6）式，可见后者是前者的特殊情况。上式与最小二乘估计中的法方程形式完全一致，仅用权函数矩阵代替观测权阵。由于权函数矩阵是残差的函数，计算前未知，只能通过给其赋予一定的初值，采用迭代方法估计参数。由此得参数的稳健估计估值为： （15）用选权迭代法进行稳健估计，测绘界也称为抗差最小二乘法。 四、稳健估计算法1.计算过程为：(1) 列立误差方程，令各权因子初值均为1，即令，则，为观测权阵；(2) 解算法方程（14），得出参数和残差的第一次估值：(3) 由按确定各观测值新的权因子，按构造新的等价权，再解算法方程（14），得出参数和残差的第二次估值；(4) 由构造新的等价权，再解算法方程，类似迭代计算，直至前后两次解的差值符合限差要求为止；(5) 最后结果为由于，而，故随着函数的选取不同，构成了权函数的多种不同形式，但权函数总是一个在平差过程中随改正数变化的量，其中与的大小成反比，愈大，、就愈小，因此经过多次迭代，从而使含有粗差的观测值的权函数为零（或接近为零），使其在平差中不起作用，而相应的观测值残差在很大程度上反映了其粗差值。这样一种通过在平差过程中变权实现参数估计的稳健性的方法，称之为选权迭代法。2. 相关等价权函数估计是稳健估计的基本估计类型之一，且在测绘界广泛应用，从估计着手，许多学者推导了许多的相关等价权函数，其中应用最为广泛的是IGGIII方案,IGGIII方案的相关等价权函数为: （4.1）式中，。常用的相关等价权函数都是基于反映了观测量间的相关性这一前提，而且在构造相关等价权函数时没有顾及观测量间相关性的不变性，因此现有的相关等价权函数一般会存在下面的几点问题：(1)满足稳健估计规则的相关等价权通常都是非对称的，这种非对称性会给平差计算带来困难而且与实际情况不符。(2)并不能直观地反映观测量之间的相关性,反映观测量之间相关性的是相关系数,而由方差-协方差阵确定。(3)若不考虑相关系数，则对的调整反过来会直接改变观测量的相关性,而观测值的相关性仅取决于观测量本身的几何物理结构,不能随意更改。实际上,如果将粗差归为随机模型,它表现为粗差观测量的先验方差与其实际方差之间有较大的差异,则可以解释为方差膨胀模型（见图4.1所示）,此时可以通过扩大异常观测的方差来控制粗差的影响。基于这种考虑，刘经南、姚宜斌等（2000）提出基于等价方差-协方差的稳健最小二乘估计方法,具体是根据逐次迭代平差的结果来不断的扩大观测值的方差-协方差,使粗差观测量的先验方差与其实际方差相匹配,以减少粗差的影响。对于估计而言,所构造的函数应满足： （4.2）顾及先验方差-协方差，函数应满足： （4.3）对于多维估计，其极值函数可表述为： （4.4）注意这里用的是方差的逆矩阵，主要是考虑到后面利用最小二乘求解的方便。对（4.4）求导，并令为零，同时记，则有 （4.5）注意上式中省略了对的求导，主要是考虑到对与对求导形式完全相同，且，故（4.10）式中可省去。（4.5）式的矩阵表达式为 （4.6）现直接定义函数，令，则（4.5）式可化为： （4.7）为计算的方便，上式两端乘以，则有： （4.8）上式具有最小二乘法的一般形式，可用最小二乘法求解。所定义的标准化残差为，并将作为粗差观测量方差-协方差的调整因子。这样若观测值含有粗差，其调整后的方差-协方差为： （4.9）式中为调整后的方差-协方差，为先验的方差-协方差，为粗差观测量方差-协方差的调整因子。因此相应的等价方差-协方差函数模型为： （4.10）式中的取值一般在之间，而。等价方差-协方差函数模型的特点：(1)该模型是将粗差归为随机模型的方差膨胀模型的直接体现。(2)对于独立观测，该模型与等价权函数模型等价。也就是说，等价权函数模型是等价方差-协方差函数模型的一种特例。(3)对于相关观测，该模型充分利用了相关观测量间的先验信息（相关系数），从而保证了相关观测量间的相关性的不变性，而以前的相关等价权模型很少考虑这一信息，因此该模型更符合实际。(4)对于相关观测，本模型所设计的等价方差-协方差阵是严格对称的，而以前的相关等价权模型所设计出的等价权阵通常是非对称的。(5)该模型简单直观，便于植入已有的最小二乘程序，易于程序实现。对于等价方差-协方差函数模型，其相关函数为： （4.11） （4.12）式中的取值一般在之间，而、。为讨论问题的方便，特定义相关等价方差-协方差因子为，则对于上述模型，其相关等价方差-协方差因子为： （4.13）的变化曲线见图5.4.2。图4.2 相关等价方差-协方差因子曲线因在实用中,函数常取成满足对称、连续、严凸或者在正半轴上非降的函数之导函数，故等价方差-协方差函数模型的相关函数可表述为： （4.14）对应于上述等价方差-协方差函数模型，其相关函数为： （4.15）式中的取值多在之间，而。需要说明的是，杨元喜等（2002）对等价权函数进行了扩展，构造了双因子等价权模型