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文档简介
第七节 傅里叶变换的基本性质,主要内容:,1.对称性质 2.线性性质 3.奇偶虚实性 4.尺度变换性质 5.时移特性,时域卷积定理 频域卷积定理,6.频移特性 7.时域积分性质 8.时域微分性质 9.频域微分性质 10.帕塞瓦尔定理,例1:,1.对称性,(互易对偶性),(时频对称性),例2:,?,例3,其中,a1,a2为常数,2.线性性,则:,3.奇偶虚实性,意义,(a) 0a1 时域扩展,频带压缩。,(b) a1 时域压缩,频域扩展a倍。,4.尺度变换特性,(展缩特性),例:,信号的持续时间与信号占有频带成反比,结论:,时域压缩,则频域展宽;时域展宽,则频域压缩。,时移加尺度变换:,5.时移特性,式中t0为任意实数,注意:,信号在时域中的时移,对应频谱函数在频域 中产生的附加相移,而幅度频谱保持不变。,书例3-2:,求下列所示三脉冲信号的频谱。,解:令f0(t)表示矩形单脉冲信号,由时移特性可得:,实偶信号的频谱为实偶,已知双Sa信号,试求其频谱。,令,(书P133),解:,.,由时移特性得到,从中可以得到幅度谱为,双Sa信号的波形和频谱如图(d) (e)所示。,6.频移特性,(调制定理),证明:,由傅立叶变换定义有,证明:,书例3-4,已知矩形调幅信号如图所示,其中G(t)为矩形脉冲,脉幅为E,脉宽为,试求其频谱。,解:G(t)矩形脉冲的频谱为:,根据频移特性:f(t)的频谱F(w)为,(书P133),书例3-5 : (书P134),注意“1”的作用,利用频移定理求余弦信号的频谱。,解一:,解二:,余弦信号及其频谱函数,注意:周期信号也存在傅里叶变换,7.时域积分特性,证明方法一:书P.135,证明方法二:,利用卷积定理,正向应用,逆向应用,应用:,时域积分性质应用举例:,解:,直接套用性质,用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换,正向应用,即:,解:,(书例3-7)用时域积分性质求y(t)的频谱,逆向应用,对所求函数先微分再表示成积分形式,例1:,易出错处:微分后再积分不一定等于原函数!,解:,(补充),例2:,代入上式得:,8.时域微分特性,证明:书P.134,正向应用,逆向应用,应用:,(有条件),时域微分性质应用举例:,正向应用:,例1:(补充),解:,用原函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换,直接套用性质,直接套用性质,即:,例:,?,逆向应用:,即:用微分后的傅氏变换来表示原函数的傅氏变换,思考:,为什么结果错误?,例2(补充):,特别:,所有的时限信号都满足上述条件。,逆向应用条件:,解:,逆向应用,例3(补充),思考:,能否用时域微分性质求y(t)的频谱 ?,易出错处:逆向应用时域微分性质是有条件的,已知三角脉冲信号,求其频谱,例4(书例3-6),解一:用时域积分性质,注意:微积分关系式成立的条件,解法二:用时域微分性质,第一步:判断能否逆用,第二步:求出二阶导数的频谱F2(w).,第三步:逆向用时域微分性质求f(t)的频谱F (w) :,其幅频图,解法一:用时域积分性质,解法二:用时域微分性质,思考:,2、对分段线性的信号哪种是更普遍的方法?,1、本例两种方法中哪种更简单?,解法三 :应用时域卷积定理,至于微分几次要视实际情况来定,2、逆向应用两性质的思想是相同的:,1、正向应用时:,直接套用公式,没有要注意的问题,3、时域微分性质比时域积分性质方便,即微分后的傅氏变换易求,用它来表示原函数的傅氏变换,时域积分和时域微分两性质的比较:,证明 :略,思考:,9.频域微分特性,求单位斜变信号f(t)=tu(t)的频谱,补充例1:,解:,求信号f(t)=t的频谱,解:,注意“1”的作用,补充例2:,频域积分特性:,(用的少),10.帕塞瓦尔定理(Parserval
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