[理学]第四章微分中值定理与导数的应用.ppt

微分中值定理 与导数的应用,第四章,第一节 微分中值定理,一、 罗尔定理,定理1 (罗尔(Rolle)定理) 如果函数f(x)满足： (1) 在a,b上连续, (2) 在(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b), 则至少存在一点(a,b), 使得f()=0,证 因为f(x)在a,b上连续,f(x)在a,b上必取得最大值M和最小值m,(1) 如果M=m, 则f(x)在a,b上恒等于常数M, 因此,对一切x(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立.,(2) 若Mm,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设Mf(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,下面证明f()=0,因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的, 总有 f( + x)-f()0,当x0时,根据极限的保号性,有,当x0时,从而必须有f()=0.,例1 验证罗尔定理对函数f(x)= x2-2x+3在区间-1,3上的正确性,注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立.,显然函数f(x)= -2x+3在-1,3上满足罗尔定理的三个条件,解,由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0, 因此存在=1(-1,3),使f(1) =0,例2,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,)=,由连续函数介值定理知至少存在一点,在0,1上有且仅有一个,0f(x)1,且对于(0,1)内所有x，有f(x)1，求证,例 设f(x)在0,1上可导，当0x1时，,，使f(,证 令F(x)=f(x)-x,则F(1)=f(1)-10,F(0)=f(0)0,0,1,使得F(,，下面证明在0，1上,)=,即f(,仅有一点,，使F(,)=0,假设另有一点,)=0,，则由罗尔定理可知,在 , 上至少有,一点,，使,这与原题设矛盾这就证明了在0，1,内有且仅有,)=,一个,，使f(,)=0，,0,1,使得F(,不妨设 ,F()=0,即f()=1,二、 拉格朗日中值定理,定理2 若函数y=f(x)满足下列条件: (1) 在闭区间a,b上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导 则至少存在一点(a,b),使得,证 作辅助函数,F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,故 F(x)满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点(a,b),使得F()=0,即,因此得,拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,此公式也可以写成 f(b)-f(a)= f()(b-a) (ab),另外，由于是(a,b)中的一个点,它还可以表示成 =a+(b-a)(0 1),于是，拉格朗日中值公式又可写成 f(b)-f(a)=(b-a)fa+ (b-a) (01),要注意的是，在公式中，无论ab或ab，公式总是成 立的，其中是介于a与b之间的某个数,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量 与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,例4,证,例5 证明不等式,对一切x0成立.,ln(1+x)x,1 ),证 由于f(x)=ln(1+x)在，）上连续、可导， 对任何x0，在0, x上运用微分中值公式,得,(0 1),即 ln(1+x)=,由于,x,因此当x0时，有,f(x)-f(0)=f(,x)x, (0,ln(1+x)x,推论1 如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数,证 在(a,b)内任取两点x1, x2, 设x1 x2 ,显然f(x)在x1,x2上满足拉格朗日中值定理的条件,因为 f(x)0,所以 f()=0 .,从而 f(x2)=f(x1) .,例4,证,推论2 若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数).,证 因f(x)-g(x) =f(x)-g(x)=0,由推论1,有f(x)-g(x)=C, 即f(x)=g(x)+C,x(a,b),三、 柯西中值定理,定理3 (柯西中值定理) 若函数f(x)和g(x)满足以下条件: (1) 在闭区间a,b上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导,且g(x)0, 那么在(a,b)内至少存在一点,使得,证 若g(a)=g(b),则由罗尔定理,至少存在一点1(a,b),使g(1)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)g(b).,作辅助函数,F(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少存在一点,使得,从而有,例5,证,四、小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式.,练 习 题,3,(1,2),(2,3),(3,4),前者是后者的特殊情形,加,即可,增量,导数,恒为零,练习题答案,第二节 洛必达法则,一、 型未定式,定理1 设f(x),g(x)满足下列条件： (1) f(x)=0, g(x)=0； (2) f(x),g(x)在 内可导,且g(x)0； (3) 存在 (或为) 则,证 由条件(1),设f(x0)=0,g(x0)=0.,由条件(1)和(2)知f(x)与g(x)在U(x0)内连续,设x ,则f(x)与g(x)在x0,x或x, x0 上满足柯西定理的条件,当xx0时,显然有x0,由条件(3)得,例,解,如果 仍为 型未定式,且f(x),g(x)满足,定理条件，则可继续使用洛必达法则.,注意:,例2,解,推论1 设f(x)与g(x)满足 (1) f(x)=0, g(x)=0; (2) 存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0; (3) 存在(或为) 则,证 令x=1/t,则x时,t0,例3,解,二、 型未定式,定理2 设f(x),g(x)满足下列条件： (1) f(x)=, g(x)=； (2) f(x)和g(x)在 内可导,且g(x)0； (3) 存在(或为) 则,推论2 设f(x)与g(x)满足 (1) f(x)=, g(x)=; (2) 存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0; (3) 存在(或为) 则,例4,解,解,例5,三、 其它未定式,若对某极限过程有f(x)0且g(x),则称limf(x)g(x)为0型未定式 若对某极限过程有f(x)且g(x),则称limf(x)-g(x)为-型未定式 若对某极限过程有f(x)且g(x),则称limf(x)g(x)为00型未定式 若对某极限过程有f(x)1且g(x),则称limf(x)g(x)为1型未定式 若对某极限过程有f(x)且g(x)0,则称limf(x)g(x)为0型未定式,例6,解,关键:将其化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,例7,解,例8,解,步骤:,步骤:,例9,解,例10,解,例11,解,例12,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：洛必达法则的使用条件,例13,解,练 习 题,练习题答案,第三节 泰勒公式,回顾微分概念: 若 在点 的某邻域内可导，则有,f(x)=,f(x),f,+,f(x),即,从而在点 的某邻域内，,f,+,上式表明，如果我们用关于 的一次多项式作为 的函数值，则其误差是关于 的一个高阶无穷小.,f(x),近似公式有两点不足:,(1) 精度不高； (2) 没有误差估计式.,于是，设想用一个关于 的n次多项式,与一个关于 的高阶无穷小来表达函数 ，即使,f(x),f(x)=,英国数学家泰勒提出并证明了上述设想的正确性.,显然,如此下去，有,从而有,为函数 在点 处的n阶泰勒公式.,f(x),而且,从而当x,时，,(x)是关于,的高阶无穷小，,(x)=o(,）,称这种形式的余项为皮亚诺余项,( )作为 的近似值，,由此可见，如果我们用,x,则其误差有估计式,f(x),称,=0，,于是余项又可以表示为,称为拉格朗日型余项,特别地，当,=0时的泰勒公式，又称为马克劳林公式：,+,(在0与 之间)，,+,+o(,),f( )=f(0)+f(0) +,或 f( )=f(0)+f(0) +,具有拉格朗日型余项的马克劳林公式也可写成：,+,+,(01), f(x)= f(0)+f(0)x+,二、 函数的泰勒展开式举例,例1 写出函数,的n阶马克劳林公式，并利用,的近似值，并估计误差,f(x)=,三阶马克劳林多项式计算,解 由,，,，,=,得,f（x)=,(x)=,()=,f(0)=1,f（0)=1,，,于是得,的马克劳林公式为,+,+,（0)=1,=1+x+,(在0与x之间)，,+,，,1+x+,误差为,因此,n=3,则,取x=,1+,+,16458，,其误差,0.00470.005=5,例2 写出函数f(x)=sinx的n阶马克劳林公式,(,( -1),，,（x）=,，,例3 求函数f(x)=,为任意实数)在x=0点的泰勒公式,于是有,(,(,-1)(,-n+1),，,f(0)=1, f(0)=,f(0)=,(0)=,从而得f(x)=,在x=0点的泰勒公式为,=1+,+,+o(,),x+,特别地，当,=n(正整数)时，有 ,+,.,=1+nx+,解 由于f(x)=,，f(x)=,-1),，,常用函数的麦克劳林公式,定理,一、单调性的判别法,第四节 函数的单调性与极值,证 对任意x1 , x2 a,b, 设x1 x2 ,由拉格朗日中值定理,由f(x) 0,得f() 0,故f(x2 )f(x1),(1)得证.类似地可证(2).,证 因sinx( - /2, /2), (sinx)=cosx0, x(- /2, /2), 所以y=sinx在- /2, /2上严格单调增加.,例1 证明y=sinx 在-/2, /2上严格单调增加.,例2,解,上例中，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,二、单调区间求法,例3,解,单调递增区间为,单调递减区间为,例4,解,单调递减区间为,单调递增区间为,例5,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,三、小结,二、 函数的极值,定义1 设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.若对任意 x (x0), 有 f(x)f(x0)f(x)f(x0), 则称f(x)在点x0处取得极大值(极小值)f(x0),称为极大值点(极小值点),极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点,通常称f(x)=0的根为函数f(x)的驻点. 可见，可导函数的极值点一定是驻点 但要注意的是:驻点不一定是极值点.,从几何直观看，定理的结论很明显:,例1,解,例2,解,练 习 题,练习题答案,而如果 在(a,b)内只有有限个驻点或导数不存在的点， 不妨设为 ，,第五节 最优化问题,求一个函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题,称为最优化问题.,我们已经知道，若 在闭区间a,b上连续, 则 在 a,b上必取得最大值与最小值.,如果最值在(a,b)内取得，则它一定是极值；,最值也可能在区间端点x=a或x=b取得；,例1,解,注:,，求它在定义域上的最大值和最小值,例2 设f(x)=x,解,(x+1),f(x)=,令 0,得驻点x=-1,f(x)=,当x(-，-1)时， 0；当x(-1，+)时,故x=-1为极小值点,f(x)0，,f(x),从而f(-1)=,为f(x)的最小值.,f(x)=+，,又 f(x)=0,所以 f(x)无最大值,一、 最大利润与最小成本问题,设某种产品的总成本函数为C(Q),总收益函数为R(Q) (Q为产量),则总利润L可表示为 L(Q) R(Q)- C(Q),要使利润最大,必须使产量Q满足条件L(Q)=0,即 R(Q)=C(Q) (1),此式表明当产出的边际收益等于边际成本 时，利润最大.,L(Q)=R(Q)-C(Q)0,即 R(Q) C(Q) (2),经济学中称(1)和(2)为“最大利润原则”或,“亏损最小原则”,假如L(Q)在(0,+)内二阶可导，则还要求,单位成本(即平均成本)最小的问题,设某种产品的总成本为C(Q),则生产的平均成本为,最小,必须使产量Q满足条件,此式表明当产出的边际成本等于平均成本 时，平均成本最小.,例3,解,总收益 R(Q)=PQ=60Q,总利润 L(Q)=R(Q)-C(Q),令L(Q)=0,得唯一驻点Q0=200, 又L(Q0)=L (200)=-0.60， 所以当日产量为Q0 =200单位时可获最大利润.,最大利润为 L(200) =3000(元),例4 设某产品的总成本函数为,试求平均成本最小时的产量水平.,C(Q)=54+18Q+6 ，,解 因C(Q)=18+12Q，,+18+6Q，,令C(Q)=,得Q=3 (Q已舍)，所以当产量Q=3时可使平均 成本最小.,例5,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高。,最大收入为,例6,解,如图,解得,二、 库存问题,假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀进货且不允许缺货的进货模型.,设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进货的批量为q= ,进货周期为t= ,再设每件物品贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2,在计划期(T天)内总费用E由两部分组成,(1) 进货费 (2) 贮存费,于是总费用E可表示为批量q的函数,最优批量q*应使一元函数E=f(q)达到最小值,最优进货次数为,最优进货周期,最小总费用,三、 复利问题,例7 设林场的林木价值是时间t的增函数V= ,又设在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的时间,解 考虑到资金的时间因素, 晚砍伐所得收益与早砍伐所得收益不能简单相比,而应折成现值,设年利率为r,则在时刻t伐木所得收益V(t)= 的现值,按连续复利计算应为,四、 其他优化问题,例8 巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一份工作,她的第一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道,可使车流量最大.经观测,她找到了一个很好的描述平均车速v(kmh)与车流量f(v)(辆/秒)关系的数学模型 试问:平均车速多大时,车流量最大?最大车流量是多少?,解,得唯一驻点v=26.15(kmh).由于这是一个实际问题，所以函数的最大值必存在. 当车速v=26.15kmh时,车流量最大,且最大车流量为 f(26.15)=8.8(辆/秒).,第六节 函数的凸性、曲线的拐点及渐近线,一、函数的凸性、曲线的拐点,在(0,)上都是单调递增的,但它们增长的方式不同,从几何上来看，两条曲线弯曲的方向不同.,函数图形向上或向下凸的性质称为函数的凸性.,向下凸的曲线,其上任意两点间的弧段总位于联结两点的弦的下方,向上凸的情形正好相反,在曲线y=f(x)上任取两点(x1, y1)和(x2, y2), 设x1 x2,联结这两点的弦的参数方程,对区间x1, x2内任意一点,曲线上对应点的纵坐标,弦上对应点的纵坐标,定义1 设f(x)在a,b上连续,对任意两点x1, x2 a,b,若有,定理1 设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶 导数,那么 (1)若在(a,b)内f (x)0,则f(x)在a,b上是严格下凸的; (2)若在(a,b)内f (x)0,则f(x)在a,b上是严格上凸的.,函数上凸或下凸的区间称为凹凸区间.,定义2 设f(x)C(U(x0),若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)的左右两侧凸性相反,则称点(x0,f(x0)为该曲线的拐点,可见:若(x0,f(x0)是曲线y=f(x)的拐点,则f(x0)=0或 f(x0)不存在. 反之不一定成立.,例2 讨论,-4 的凸性，并求拐点,y=3,，,这两个点将定义域(-,+)分成三个部分区间,解 y=12 -12,令y=0 得,列表考察各部分区间上二阶导数的符号，确定出函数的 凸性与曲线的拐点(“”表示下凸,“”表示上凸)：,-24x=36x(x- ),，y=36,可见，曲线在(-,0)及(,，+)上是下凸的，在,)上是上凸的，拐点为(0，1),，,),(0，,及(,二、 曲线的渐近线,1. 水平渐近线,定义3 设函数y=f(x)的定义域为无限区间,如果 f(x) =A或 f(x)=A(A为常数),则称直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线,例3,解,显然曲线有水平渐近线,2.垂直渐近线,定义4 设函数y=f(x)在点x0处间断,如果 f(x)=或 f(x)=,则称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线,故垂直渐近线为,3. 斜渐近线,定义5 设函数y=f(x)的定义域为无限区间,且它与直线y=ax+b有如下关系： f(x)-(ax+b)=0 或 f(x)-(ax+b)=0 则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线,要求斜渐近线y=ax+b，关键在于确定常数a和b.,下面介绍求a，b的方法:,-a-,=0,x,因为,所以,将求出的a代入(1)式 得,(2),(1),(f(x)-ax)-b=0，,所以,例5,解,无水平渐近线，x=-1为垂直渐近线,又,于是曲线有斜渐近线,三、 函数图形的描绘,(1) 确定y=f(x)的定义域;,(3) 求出f(x)=0和f(x)=0的根及其不存在的点,并将它们作为分点划分定义域为若干个小