2018_2019学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法学案新人教A版.docx

二综合法与分析法1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点2.掌握综合法、分析法证明简单不等式的方法和步骤3能综合运用综合法、分析法证明不等式,学生用书P28)1综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法2分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法这是一种执果索因的思考和证明方法1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法和分析法都是直接证明法()(2)分析法是执因索果，形式简洁，易于表达()(3)综合法是执果索因，利于思考，易于探路()(4)分析法寻找的是使不等式成立的充要条件，综合法寻找的是使不等式成立的必要条件()(5)分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2要证a2b21a2b20，只要证()A2a1a2b20Ba2b210C1a2b20D(a21)(b21)0解析：选D.因为(a21)(b21)a2b21a2b20，所以a2b21a2b20.3设a，b0，A，B，则A，B的大小关系是()AABBAB D大小不确定答案：C4若abc，则与的大小关系为_解析：因为abc，所以acbc0，所以.答案：bc0，证明：2a210ac25c24.【证明】因为abc0，所以2a210ac25c2(a5c)2a2abab(a5c)2aba(ab)0224，当且仅当a5c0，ab1，a(ab)1，即a，b，c时，等号成立综合法证明不等式的关键(1)综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键(2)综合法证明不等式主要是应用基本不等式(或重要不等式)来证明，要注意基本不等式(或重要不等式)的变形应用，一般式子中出现平方和与乘积形式时可以考虑用综合法来证明 1.求证：a2b2c2abbcac.证明：因为a2b22ab，b2c22bc.c2a22ac，以上三式左、右两边分别相加得2(a2b2c2)2(abbcac)，所以a2b2c2abbcac(当且仅当abc时等号成立)2已知x0，y0，xy1，求证9.证明：法一：因为x0，y0，1xy2，所以xy.所以111189.法二：因为1xy，所以52.又x0，y0，所以2，所以5229.用分析法证明不等式学生用书P29设x1，y1，证明xyxy.证明：由于x1，y1，要证xyxy，只需证xy(xy)1yx(xy)2.因为yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)，因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立用分析法证明不等式的思路(1)分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止(2)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语 1.求证：32.证明：要证原不等式成立，只需证32，即证(3)2(2)2，展开得156154，只需证32，即证，只需证5456.因为5456成立，所以0，b0，2cab.求证：cac.证明：要证cac成立，只要证：ac，即证：|ac|，也就是证(ac)2c2ab，只要证：a22acab，即证：a2ab0，所以就是证：ab2c，显然成立故不等式ca0.同理可证：10，10.将三式相乘，有8.当且仅当xyz时，等号成立，从而原命题得证(1)用综合法证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件用分析法证明时要注意书写的格式，为了避免出现分析法格式错造成一步不慎全盘皆输的局面，通常用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程(2)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之，亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法与综合法，相辅相成，达到解决欲证不等式的目的 已知a，b，c都是正数，求证：2()3.证明：法一：要证23，只需证ab2abc3，即2c3.移项，得c23，由a，b，c为正数，得c2c3成立所以原不等式成立法二：因为a，b，c是正数，所以c33.即c23.故2c3.所以ab2abc3.所以23.1用综合法证明不等式的逻辑关系AB1B2BnB由已知逐步推演不等式成立的必要条件，从而得结论2用分析法证明不等式的逻辑关系AB1B2BnB由结论步步寻求不等式成立的充分条件，从而到已知3综合法和分析法的比较(1)相同点：都是直接证明(2)不同点：综合法：由因导果，形式简洁，易于表达；分析法：执果索因，利于思考，易于探索【规范解答】灵活运用分析、综合法证明不等式(本题满分12分)已知a，b，cR，且abbcca1.求证：(1)abc；(2)()【证明】(1)要证abc，由于a，b，cR，因此只需证(abc)23，即证a2b2c22(abbcca)3，根据条件，只需证a2b2c21abbcca.(3分)而这是可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时取等号)证得的所以原不等式成立(6分)(2)因为，在(1)中已证abc，所以原不等式只需证，也就是只要证abcabbcca.(9分)而a，b，c，所以abcabbcca(当且仅当abc时取等号)成立所以原不等式成立(12分)(1)用分析法将待证不等式转化为证明a2b2c2abbcca.(2)用综合法证明转化得到的不等式(3)用分析法及(1)的结论将待证不等式转化为证明不等式abcabbcac.(4)结合基本不等式用综合法证明得到的不等式1已知c0，用分析法证明2.证明：要证2，只需证()2(2)2，即证2c24c，即证 0，即证c21c2.上式明显成立，不等式得证2若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明：法一：(分析法)lg lg lg lg alg blg c lglg ab