江南十校2016届新高三一轮复习研讨会数学课件(共101张PPT).ppt

制定自己的专业发展规划 当一名合格的中学数学教师,-安徽省宿城一中 田芝学,说句心里话,教师不好当,茫然无措 ！,精疲力竭！,怨气丛生！,在香港，教师行业被视为高压力行业，仅次于警察，排名第二。 北京教科院对北京市300名教师进行心理健康调查表明：93.1%的教师感到压力很大，34.4%的教师内心焦虑程度高，13.4%的教师存在各种心理问题。 伦敦泰晤士报曾针对一百零四种不同行业做了一个压力系数的调查，发现压力最大的前十种行业，依序是监狱看守、警察、社工人员、教师、救护车人员、护理人员、医生、消防队员、牙医及矿工。,一出生就用上了尿不湿 一开口就吃上了肯得基 一交流就联上了微信,QQ 一成长就感觉了竞争力 一学习就碰上了老夫子,我们的教学对象发生了很大的变化 -90后学生的特点,当传统遇上新潮，当思维发生碰撞， 怎么办？,“教无定法，顺势而为”,我讲三个方面,一做一名好教师我觉得应具备两个条件 二怎样做一名受学生欢迎的老师 三怎样做好教学：“六认真”,一。做一名好教师我觉得应具备两个条件：,A。把教师这个职业当成自己一生的事业，用心去呵护。 B。具有丰富专业知识，良好的教学艺术。,二怎样做一名受学生欢迎的老师,A、平等、尊重、热爱学生。 B、在学习上带给学生安全感的教师 （一）认真备课，常备常新。 （二）善于反思，勤于积累。 （三）研究教材，超越教材。 （四）研究教法，超越教法 （五）研究高考，超越高考,2015年高考数学安徽卷第18题的探究 2015年高考安徽卷理科第18题新颖别致，具有创意，令人赏心悦目，回味无穷题目第（I）问把几何点列作为数列研究对象，这是安徽卷近几年以来的首次考查，第（II）问不等式的证明是一个及其经典的数学问题，证明方法多，笔者对第（II）问进行多角度、深层次的思考，从中开发解题的智慧，提高对高考数学本质的认识,C、养成高效率、细致认真的工作作风。 D、人贵有自知之明，不断进取 E、塑造教师个人人格魅力,三怎样做好教学：“六认真”,A、怎样备课 （一）全面掌握教学内容 （二）深刻领会编者意图 （三）认真确定目的要求 （四）适当选择教学方法,B，怎样上好高中数学课：,（一）上课的基本要求是： 第一，充分体现素质教育的教学思想，面向全体学生，使学生全面主动地发展。 第二，要全面落实教学目标，做到突出重点，突破难点，抓住关键。,第三，注意教学过程中进行学法指导。 第四，要充分发挥教师主导作用，激发学生的学习兴趣，善于启发诱导学生，要认真体现学生的主体地位，让学生有更多的机会、有效地参与教学活动。 第五，要灵活恰当地选择运用教法，有效地运用教具和演示实验，恰到好处地采用现代化教学手段。,第六，课堂教学结构合理、紧凑。要注重知识的整体性和条理性；要使教学环节有机地联系起来。 第七，板书设计内容合理，条理清楚；形式灵活，美观实用；书写规范，速度适宜。 第八，要使用广泛的教学语言，要使用普通话和学科术语，严禁使用方言土语和非教学语言。讲授语言要准确、清晰、通俗、生动，具有条理性、启发性。,第九，要保证教学时间，按时上下课，不迟到、不拖堂、不善离课堂，不做与教学无关的事。未经学校同意，不得随意增减课时，不得随意停课或串课。 第十，要衣着整齐，仪表端庄，举止大方，教态亲切自然。 第十一，要讲求效果。做到精讲多练，短时高效，提高课堂教学效率，减轻学生的课后作业负担。,教学目标有不同的类型，也有不同的要求。有些教师的教学之所以效果不佳、达不到课程的要求，最主要的原因是教学目标设计出现了一些问题。比如目标内涵不清楚；目标串位；目标层次要求不清楚；目标空洞无物；目标与内容不协调；目标与学生实际不相符合。,c高中数学如何进行教学目标设计？,数学教学目标的类型 数学教学目标的类型可以分为总体目标、具体目标、内容目标和课堂教学目标四类。 普通高中数学课程标准明确指出了高中数学课程的总体目标、具体目标和内容目标，这三种目标是宏观目标，是远期目标。至于课堂教学目标，则是一节课的教学目标，是近期目标。远期目标要由课堂教学目标来体现、落实，近期目标受制于远期目标，是实现远期目标的基础。,数学课堂教学目标的设计 数学课堂教学目标的设计可以按照知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观这3个维度来进行设计。 知识与技能 知识与技能目标的内容主要包括3类：一类是数学概念、数学命题（数学定理、性质、公式、法则等）和基本的数学事实结论；一类是数学概念、数学命题和基本的数学事实结论的运用；一类是数学操作性技能（作图等）。 知识与技能目标的要求可分为4个层次：了解、理解、掌握和综合运用。 在写知识与技能目标时，根据其知识与技能的内容与层次要求来写。比如，“了解什么”、“理解什么”、“掌握什么”、“综合运用什么”。,过程与方法 过程与方法的内容是：通过数学学习过程，把握数学思想方法、形成数学能力，发展数学思想和数学意识（如统计意识、应用意识、创新意识），提高解决问题能力。 描述过程与方法的常见术语有：经历过程、培养能力、领悟数学思想方法、发展意识、学习的问题解决方法；观察、参与、尝试；探索、研究、发现；合作、交流、反思。,情感态度与价值观 这里的情感是指，在数学活动过程中的比较稳定的情绪体验。 数学态度是指，对数学活动、数学对象的心理倾向或立场，表现出兴趣、爱好、喜欢与否、看法立场。数学态度可以演变为数学信念对数学持有的较为稳定的总体看法、观念。 数学态度包括对数学学科的态度（数学信念）、对数学的兴趣、对数学具体内容的态度。 这一维度目标的内容还包括宏观的价值观和数学审美观。例如，对数学的科学价值、应用价值和文化价值的看法；辩证法的观点；数学的简洁整齐之美、统一和谐之美、抽象概括之美、对称之美、精确之美。 刻画情感态度目标的术语有：感受、体会、领悟；形成观点、养成习惯、欣赏之美。,需要注意的是，情感态度与价值观属于内隐的心理结构，不是显性知识，而是意会知识（缄默知识），无法通过传授直接获得，必须通过学生的过程学习间接获得。 所以，教师在进行教学设计时，要以知识技能为基础，以过程方法为途径，在引导学生学习数学的过程中，为学生情感态度与价值观的发展创设适宜的土壤，把知识与技能的学习与情感态度与价值观的培养结合起来，使学生受到潜移默化的影响，最终形成良好的情感态度与价值观。,案例1 “两条直线的位置关系”的教学目标设计 知识与技能 理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应用。 能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 过程与方法 通过探索两条直线平行或垂直的充要条件和推导过程，培养学生观察、归纳的数学逻辑思维能力，并渗透算法的思想。 通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。 情感态度与价值观 培养学生主动探究知识、合作交流的意识。 在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。,（2）数学教学内容的内容分析 数学教学内容的内容分析主要包括基本分析、背景分析、结构分析、数学分析和重难点分析。 基本分析：学习教材的配套教参，了解教材的编写意图和编写特点，理解课程学习目标，熟悉教学要求。 背景分析：了解相关数学知识产生的背景和发展历程以及与其他知识、学科、实际的联系，挖掘其教学价值。,结构分析：通览教材，熟悉教材内容知识结构图，从整体上把握教材。明确本课内容在相关章节中的地位和作用，弄清楚本节课内容与相关内容之间的上下位关系，明确例题、习题的编排与教学功能。 数学分析：研究数学概念、数学命题以及例题和习题的解法，把握其数学本质，尤其是所包含的数学思想方法。例如，数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、函数与方程思想、统计思想；配方法、换元法、待定系数法、坐标法、归纳法、演绎法、分析法、综合法和反证法等。 重难点分析：先分析教材中的重难点，预估学生易混淆和易出错之处，再根据课堂教学目标要求，确定本堂课的教学重难点。,案例2 “概率的加法公式”的背景分析和重难点分析 背景分析 为了将一些较为复杂的概率的计算转化为较简单的概率的计算，首先要学会将所考虑的事件作出相应的正确运算。这一节先讲事件的和的意义，然后再讲对于怎样的事件可应用哪一种概率加法公式计算事件的概率。接着研究事件的简单运算：互斥事件的加法运算及相互独立事件的乘法运算，使可以计算事件概率的范围得以扩充。,重点、难点分析 两个互斥事件的概率加法公式是一个很基本同时又是很重要的公式。之所以说基本，是因为它是一个最简单的概率运算公式，它是任意两个事件的概率加法公式的特例。而其重要性主要在于它是从单个事件向多个事件过渡的起点和中介，它起着承前启后的作用。如果说单个事件的概率问题依靠比例还可以解决的话，那么两个以上的事件的概率问题仅仅依靠比例就很难解决。对于一些较复杂的事件的概率，直接依据概率的定义来进行计算是很不方便的。本章主要包括两个基本公式：互斥事件概率加法公式及对立事件概率和公式，而前者既是教学重点又是教学难点。,高中数学课堂教学设计的案例分析 数学教学设计贯穿于整个数学教学活动过程。 从数学教学的构成元素来看，有板书设计、教学媒体设计、问题情境设计、问题设计、讨论 设计、小结设计等； 从数学教学内容来看，有数学概念设计、数学命题设计、数学习题的设计等； 从数学课型来看，有数学新课的教学设计、数学复习课的教学设计、数学活动课的教学设计等。 下面通过具体案例阐述。,课堂教学设计 一、背景介绍 为了促进青年教师专业成长，2013年10月，我校举行了“宿城一中教坛新秀评选”活动。在活动中，我校一名青年教师赵博强执教的 “向量的概念及表示”一堂课，脱颖而出，由他执教的这节课，得到了与我校教师的一致好评。大家都认为在高中数学课堂教学改革的今天，数学课堂如何进行有效教学，这节课为我们提供了可以借鉴了样板。下面就把笔者的一些所见、所闻、所感一一道来，希望对大家有所启发。,二、案例展示（片段） （一）从学生感兴趣的问题出发，引出课题 师：同学们，请请看下面一段对话（有人在市中心问路）： 甲：请问从这里到市图书馆怎么走？ 乙：从这里先走400米到一个十字路口,再走300米就到了. 甲：谢谢! ? 乙：不用客气!,生1： 它们都有不同的方向。 生2：它们既有方向的不同，又有大小的不同。 师：看这则材料，指出里面新的对象具有怎样的特征？（学生分组讨论） 师：很好，我们同学分析能力比较强，给了比较合理的说法。那么在我们的生活中，还有哪些量具有这样的特征呢？ 生：物理学上的位移，速度，加速度，力-（学生踊跃说出） 师：在数学的王国里，它们都有一个统一的名字，这种既有大小又有方向的量就称为向量。那么，向量和我们学过数量又有何区别呢？ 生1： 数量只有大小，没有方向。例如：13。向量既有大小又有方向。 师：在向量的王国里，又是通过怎样的规则去研究的呢？我们能看见向量吗？可是它又客观存在着？如何表示它呢？ 生1：用一个有向线段来表示，它还有一定的长度。,师：很好，存在长度最小的向量吗？它的长度为多少？给它取个名字吧！ 生1：我想存在长度最小的向量，它的长度为零。 师：这种长度为零，而方向是任意的向量是零向量。长度为1，方向是任意的向量呢？（学生沉思，没反应，但探索的欲望越来越高，都在积极思考，但又没很好的答案，教师进行启发。） 师：圆心任意，半径是一个单位的圆是单位圆（学生讨论交流）,师：这位同学语言表达非常的清晰、简练。 师：可是随着长度的递增，出现无数的向量，它们无从管理。所以我们引进了新的管理方法,师：第一组，这向量有怎样的关系呢？ 生：方向上很特别，它们相同或相反。 师：好，我们称它们为平行向量，对长度没有要求。（学生兴趣被激发，探索的热情高涨）师：方向上相同或相反，长度又相等呢？ 生：方向相同，长度又相等，则为相等向量；方向相反，长度又相等，则为相反向量。 师：很好，这位同学回答得很准确，语言表达也非常的清晰、简练。,（三）概念应用 例1： 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中： （1）试找出 共线的向量； （2）确定与 相等的向量； （3） 与 相等吗？ 生1：与共线的向量是和。 生2：与长度相等且方向相同，所以=。 生3：与方向相反，所以他们不相等。 师：很好，同学们都表达得非常清晰，准确。平时我们就要养成很好的习惯。,纵观这节课，教师的民主精神，开放的态度，合作的方式，宽松的环境组织教学活动，教学过程中呈现出一种双向的交流，动态的建构，生长的愉悦，发展的快乐，课堂成为师生共同拥有的家园。在整节课中，教师不仅仅是用理智上课，同时投入了自己的情感，他尊重学生的主体地位，为学生探索新知创设条件。课堂中有疑问、有猜想、有惊讶、有成思。有尽力探索的刺激、有茅塞顿开的喜悦，学生的理解和整个精神得到了实质性的发展与提升，真正落实了促进全面持续和谐发展的新课标理念，使得课堂教学高效。,D高中数学课堂教学如何引入,（1）问题引入的基本形式 1复习提问式 案例1.如幂函数的引入 (1)请同学们思考，由算式8 可写成几种形式。,(2)一般地，在等式N 中，如果固定a， N随b的变化而变化，则建立了指数函数y= ；如果固定a，b随着N的变化而变化，则建立对数函数y=logaX；请同学们思考，如果固定b,N随a的变化而变化，那么建立了什么函数呢？,2练习式 案例2.如：直线的两点式方程 安排一组习题让学生练习，通过对练习题或解答结果的讨论引申、推广引入课题。 3设疑式 提出问题，让学生思考，使之百思不得其解之后而产生迫切了解结果的强烈欲望，在此基础上引入。,案例3 “集合”的引言 蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快地飞翔；茫茫的草原上，一群羊在悠闲地走动；清清的湖水中，一群鱼在自由地游泳 鸟群、羊群、鱼群都是“同一类对象汇集在一起”，这就是本章将要学习的“集合”。那么，我们要问： 第一，集合的含义是什么？ 第二，集合之间有什么关系？ 第三，怎样进行集合的运算？,评析 这里的问题就是本章要研究的核心内容，本章的学习实际上就是要解决这三个问题。而为了解决这三个问题，又产生出若干小问题，每个小问题的解决，就构成整个内容的学习与探究过程。核心问题有利于学生对知识的整体把握，通过核心问题的引领，学习过程可以有序、有效。,4类比、对比式 当新知识与已有知识具有某种相似性或联系时，可通过类比或对比的方式引入课题。 案例4.如在掌握等差数列有关知识的基础上可以很方便地引出等比数列的相应内容。,案例5 “不等式的解”与“方程的解”的对比学习,方程的解是使方程两边的值相等的未知数的值；不等式的解是使不等式成立的未知数的取值范围 从使原式成立这一点来看，方程的解和不等式的解的意义相同 从解的个数来看，方程在一般情况下解的个数是有限的，而不等式的解的个数是无数个 反映在数轴上，方程的解是数轴上某一个或几个孤立的点，而不等式的解则是无数个点的集合,5归纳式 归纳式，是通过列举一些实例让学生观察、思考，从中捕捉共性，从而形成概念，发现性质、定理、公式的一种引入课题的方法。 6发现式 通过引导学生观察、操作、探究、发现数学知识和规律引入课题的方式。,（2）问题引入的基本方法与途径,1列举生活实例，提供生活原型。 中学数学知识来源于现实世界，对这些知识，要由学生所熟悉的日常生活或生产实际中常见的事例引入。 案例4.：提供日常生活中各种对应关系，引入“映射”的概念；列举蝴蝶、人脸、花朵，镜面反射，提供对称图形的原型。这种方式有助于将各种现实材料和数学知识溶为一体，实现“概念性的数学化”。,2在已有概念的基础上引入问题,案例6：在数列的基础上引入等差数列。 这种当新概念是已知旧概念的一种概念时，常给出一组反映已知概念的事例，让学生观察、对比、辨析、发现这部分事例所具有的与其他事例不同的共性，从而引入新概念。,3.另一种引入方法是在概括程度较高的旧概念基础上，加入新的属性，通过逻辑推演，直接引入新概念。 4.如果在相对具体的概念基础上形成较高层次的概念，那么常见的方式是提供一些具体的、特殊的、直观的观察材料，让学生分析其共性，抽象概括出新的概念。 案例7，通过观察一些函数的图象特征，从而形成单调递增函数的概念。,E高中数学新课引入需要问题情境的创设，让学生亲近数学,1 创设问题情境应遵循的原则 1.1“问题”的有效性： （1）有效果；（2）有效率；（3）有效益。,案例8：在比的意义这一课的导入中，有些教师应用足球比赛进行新课的导入，有些教师应用讲故事的行式进行新课的导入，这样的导入当授课者真正提出这一节课来学习比，恐怕学生还沉入热烈的足球比赛中，有趣的故事中。如果授课者没有很好的教学功底很难将学生的注意力引到课堂教学中来。其实我们大可不必这么大费周折，而舍近求远。你们认识比吗，你能写出一组比吗？看到比你想到了什么？这难道不是一种既提出数学问题同时高效的导入方法吗？,12针对性,问题情境应根据教学内容，抓住基本概念和基本原理，紧扣教材的中心及重点、难点设疑。,案例9，“平面的基本性质”一节的教学，向学生提问：你能用数学的眼光来分析下列问题吗？ （1）怎么检验教室的地面铺得平不平？（2）为什么用来作支撑的架子大多数是三角架？ （3)为什么只要装一把锁门就能固定？通过这一系列的问题的作答、体悟，把这节课的重点、难点逐步引入，从而调动了学生探究的主动性。,13启发性,案例10，高中教材不等式证明的例题时，由于是阴雨天，教室内的光线较暗，于是笔者用以下问题作引入：大家知道，建筑学上规定：民用建筑的采光度等于窗户面积与房间地面的面积之比，但窗户面积必须小于地面面积，采光度越大说明采光条件越好。试问增加同样的窗户面积与地面面积后，采光条件是变好了还是变坏了？为什么,学生很快进入了探索状态，并找到了问题所隐含的数学模型：若窗户面积为a，地面面积为b，则ab，设共同增加的面积为m，问题即转化为比较 与 的大小问题。由于有了实际问题背景，同学们的探究热情异常高涨，比较法、分析法、综合法、构造函数法、定比分点法，数形结合法等十几种方法竟相出现。在解题回顾中，师生还共同对问题进行了引申、推广及相应证明，从而增强了学生探究的信息和勇气，领略了成功的喜悦和创造的快乐。,14挑战性。,提出的问题难度要适中。问题太易，学生会产生厌倦和轻视心理；太难，学生会望而生畏。即教师提出的问题应接近学生的“最近发展区”，使学生能够“跳一跳，摘果子”。,案例11，在教学“无穷等比数列各项和”时，把教材上等比数列的一道习题作改造，让学生解答：一个球从10米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下。到它停止时，共经过了多少米？当学生求得n次着地时，共经过 了 （米）。,球着地多少次后，球才会停止呢？学生的探究受到了挫折，但大家又能猜出小球停止时，共经过了30米。通过多媒体的动画设计，学生能更生动真切地感悟到有限与无限、精确与误差、运动与静止的极限过程，从而对无穷等比数列各项和有了深刻的领悟。,15明确性,设计的问题要小而具体，避免空洞抽象。可把有一定难度的问题分解成几个有内在联系的小问题，步步深人，使学生加深对知识的理解。,案例12，在教学“直线与方程”这节课时，分别向学生提出以下问题：（1)集合 表示什么？（从数形两个方面去理解）(2）集合 是否表示一、三象限角平分线上点的集合？集合 呢？（感悟直线方程定义中的纯粹性与完备性两者缺一不可）（3）集合A、B分别表示什么意义？随着这几个具体问题的思考、讨论、比较和总结，学生的思维逐步逼近直线与方程概念的本质特征。,1.6趣味性,新颖、奇特而有趣的问题容易吸引学生的注意，调动学生的情绪，学生学起来兴趣盎然。,怎样创设有趣的问题情境： 1、联系生活实际,联系学生的生活实际，创设问题情境，学生可以利用自己的生活经验，进行自主探索。,案例13、打折问题 在“均值不等式”一节的教学中，有如下一个“问题情境”： 有甲、乙两个超市同时进行降价活动，分别采用两种降价方案：甲超市第一次打m折销售，第二次打n折销售；乙超市两次都打(m+n)/2折销售。请问：哪个超市的价格更优惠？ 。,2、生动的故事：,学生喜欢听故事，生动有趣的故事，能激发学生的学习兴趣,案例14.在讲黄金分割时先向学生介绍实际知识，科学家发现当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人的感觉得舒适；意大利著名画家达.芬奇创作了许多稀世珍宝，他称他的作品在涉及比例关系时，经常用到0.618（如人体身高与肚脐以下的长度比），正是他把0.618誉为“黄金分割”。德国天文学家数学家凯普勒把黄金分割视为几何学中的宝藏之一，那么到底什么是黄金分割呢？这就激发了学生的学习兴趣。,案例15. “等比数列前n项和”公式教学,可设计这样一个趣味问题 从前有这么一个故事：有人卖了一匹马得300元钱，但是买主买了以后又翻悔了，退还给卖主说：“这价钱买你这匹马不合算。这马根本不值这么多钱。”于是卖主提出新的条件：“如果你嫌这马价钱贵，那你就只买它的马蹄铁上的钉子好了，马可以白送。每一个马蹄铁上有6个钉子。第一个钉子只要给我1分钱，第二个钉子2分钱，第三个钉子4分钱，这样类推下去。” 买主被这廉价打动了，心想白得一匹马，就接受了卖主的条件，心里估计着钉子总共花不了10 元钱-?,案例16.在教学独立事件同时发生的概率时， 三个臭皮匠顶一个诸葛亮（独立事件同时发生的概率） 俗话说：三个臭皮匠顶一个诸葛亮，能顶上吗? 三个臭皮匠能答对题目的概率分别为50%，45%，40%，诸葛亮能答对题目的概率为80%，如果将三个臭皮匠组成一组与诸葛亮比赛，各位选手独立解题，不得商量，团队中只要有一人解出即为获胜，答对题目快者为胜，问哪方胜。,3、有趣的游戏,学生喜欢做游戏，简短有趣的游戏也能激发学生的学习兴趣 案例18：汉诺塔问题,起源传说：相传在盘古开天辟地创造世界之初，便在印度贝纳雷斯的一座寺庙的一块红木板上插了三根钻石棒，并在其中的一根棒上安放了枚纯金圆盘。有一个婆罗门门徒不休不眠地赶到庙里来，然后又费尽了千心万苦把这个金灿灿的圆盘移到另一根钻石棒上。等到七七四十九天后，婆罗门门徒终于完成了这项工作，刚要松口气，但只听“轰咙”一声巨响，寺庙、门徒以及世界全都崩溃了！（说得够玄的吧！其实，解开此游戏后，你有的是成功的喜悦和无限的得意） 规则： 一次只能移一个盘子； 盘子只能在三个柱子上存放； 任何时候大盘不能放在小盘上面。（移动圆片的次数)18446744073709551615,4、动手实际操作,创设让学生动手操作的情景，引导学生探索新知识案例 案例19.在上“锥体体积”的习题课时，向学生提出了这样一个问题：在米仓量米处，有一个V形漏斗，你可以采用两种方案来量米，一种是一次性把漏斗装满，另一种是把米装到漏斗高度的一半，但可以量七次。你准备采用哪种方案？,5根据学生认识规律，创设阶梯型问题情境,案例20：探究性问题 观察下表： 1 2， 3， 4， 3， 4， 5， 6， 7， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 求第n行各个数之和及第n行最后一个数。,1.6探究变式 如何引导学生进行有效的教学探究，关键在于问题的“设计”，注重一题多变,案例21 “均值不等式”的变式问题 问题 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过80km/h。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成。可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为1/10，固定部分490元。 (1)把全部运输成本y表示为v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域。 (2)为了使运输的成本最小，汽车以多大的速度行驶？,变式问题1：在问题1中，只把汽车的“速度不超过80km/h”改为“速度不超过60km/h”，其他条件不变，让学生探索同样的问题。 变式问题2：在问题1中，把汽车的“速度不超过80km/h”改为“速度不超过c（km/h）”，其他条件不变，让学生探索同样的问题。 变式问题3：在问题1中，把汽车的“速度不超过80km/h”改为“速度不超过c（km/h）”，把“比例系数为1/10，固定部分490元”改为“比例系数为b，固定部分a元。”。其他条件不变，让学生探索同样的问题。,评析 问题的基本解答为：全部运输成本y与v（km/h）的关系式是（0v80）。运用均值不等式，得到当汽车以70 km/h的速度行驶时，运输的成本最低。 在问题的基础上给出了三个变式问题。教师为什么要在变式问题1中把汽车的“速度不超过80km/h”改为“速度不超过60km/h”？其实它是针对函数定义域的变化而来的：问题中所求70 km/h在其定义域（0v80）之内，但不在变式问题2中的定义域（0v60）内。 进一步地，变式问题2-3把有关问题抽像化了。这样的问题不仅可推动学生更加主动地、积极地去探究学习，而且也培养了他们的逻辑思维和抽象思维能力。,2 创设问题情境的常用形式,21 创设类比情境 案例22.以“复数的有关概念”为例，设计了以下问题与实数作类比，供同学们探究：,设计1 在遨游数学王国时，你还记得数的概念发生和发展的过程吗？在历经几次“添加新数”之后，数集已经扩充到实数集。但是，由于负数在实数范围内不能开平方，所以代数运算在实数集内仍不能永远实施。例如，当0时，实系数一元二次方程没有实数根。再例如，一元三次方程x3=1只有一个实数根。根的个数与方程的次数“不一致”，有悖于数学的“和谐美”。这样看来，数的概念需要进一步发展：实数集如何扩充？在新的数集里，怎样实施数的运算？ 剖析 这里设计的问题情境符合“数”的科学扩充过程，但与学生已有知识相差太远，脱离了学生的认知起点，过分注重数学的逻辑起点，因而难以真正实现学生思维的启动。,设计2 16世纪，意大利数学家卡尔达诺（Gardano）在解决求两个数，使其和为10，积为40时，认为这两个数是5+ 和5 。这是因为（5+ ）+（5 ）=10，（5+ ）（5 ）=40。在实数集内，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0。然而， 表示什么意义呢？尽管很长一段时间内，部分数学家都认为“5+ ”和“5 ”这两个式子没有意义，是虚构的、想像的。但在解决许多问题时，使用类似这样的式子却带来极大的方便。那么， 能作为数吗？它真的是无意义的、虚构的吗？,评析 这个问题情境是通过数学史上真实发生的故事作为情境。当年，这个问题困扰过许多数学家。今天，学生同样会对这个看似荒谬但又难以否定的问题感兴趣，这个问题情境符合学生的认知起点，一般学生都能理解，从而可顺利进入复数概念的建立阶段。,22 创设直观情境。创设直观性问题情境，加深概念理解深度,案例23.以“函数周期性”的教学为例，我们列出了以下背景材料供学生探究时思考：什么叫周而复始？地球自转的周期是多少？地球公转的周期是多少？物理中是怎样定义周期的？正弦函数的图象是怎样形成的？