黑龙江省哈尔滨市第六中学2018_2019学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）.docx

哈尔滨市第六中学20182019学年度上学期期末考试高一数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案一律用2B铅笔涂在答题卡上。）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出和中的不等式的解集，然后取交集即可。【详解】由题意，则，故选A.【点睛】本题考查了集合的简单运算，属于基础题。2.已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设圆的半径为，可知其内接正方形的边长，然后利用弧长公式可以求得圆心角的弧度数。【详解】设圆的半径为，则该圆的内接正方形的边长为，即这段圆弧长为，则该圆弧所对的圆心角的弧度数.故选C.【点睛】本题是一道关于求圆心角的弧度数的题目，弧长公式(是圆心角的弧度数)是解答本题的关键。3.已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用幂函数图象过点可以求出函数解析式，然后求出即可。【详解】设幂函数的表达式为，则，解得，所以，则.故答案为B.【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题。4.若，则所在象限是（ ）A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限【答案】A【解析】【分析】先由题中不等式得出在第二象限，然后求出的范围，即可判断其所在象限。【详解】因为，所以，故在第二象限，即，故，当为偶数时，在第一象限，当为奇数时，在第三象限，即所在象限是第一、三象限。故选A.【点睛】本题考查了三角函数的象限角，属于基础题。5.在中，下列关系恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案。【详解】由题意知，在三角形ABC中，对A选项，故A选项错误；对B选项，故B选项错误；对C选项，故C选项错误；对D选项，故D选项正确。故选D.【点睛】本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题。6.已知表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出函数的零点的范围，进而判断的范围，即可求出.【详解】由题意可知是的零点，易知函数是（0，）上的单调递增函数，而，即所以，结合的性质，可知.故选B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题。7.函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正切函数的性质，可以得到函数的周期，进而可以求出解析式，然后求出即可。【详解】由题意知函数的周期为，则，所以，则.故选D.【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题。8.已知函数，若，则，的大小关系为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式先判断函数的单调性和奇偶性，然后根据指数和对数的运算法则进行化简即可【详解】f（x）=x3，函数f（x）是奇函数，且函数为增函数，a=f（log3）=f（log310）=f（log310），则2log39.1log310，20.92，即20.9log39.1log310，则f（20.9）f（log39.1）f（log310），即cba，故选：C【点睛】本题主要考查函数值的大小的比较，根据函数解析式判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键9.已知函数的定义域为，若是奇函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由为奇函数，可得，求得，代入计算可得所求值【详解】是奇函数，可得，且时，可得，则，可得，则，故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于基础题10.若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质： (1). (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间; 由求减区间.11.已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由辅助角公式可得，由函数关于直线对称，可得，可取从而可得，由此结合，可得一个最大值一个最小值，从而可得结果.【详解】，函数关于直线对称，即，故可取故，即可得：，故可令，即，其中，故选D【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的最值、三角函数的对称性，转化与划归思想的应用，属于难题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.12.已知是奇函数，且满足，当时，则在内是（ ）A. 单调增函数，且 B. 单调减函数，且C. 单调增函数，且 D. 单调减函数，且【答案】A【解析】【分析】先根据f（x+1）=f（x1）求出函数的周期，然后根据函数在x（0，1）时上的单调性和函数值的符号推出在x（1，0）时的单调性和函数值符号，最后根据周期性可求出所求【详解】f（x+1）=f（x1），f（x+2）=f（x）即f（x）是周期为2的周期函数当x（0，1）时，0，且函数在（0，1）上单调递增，y=f（x）是奇函数，当x（1，0）时，f（x）0，且函数在（1，0）上单调递增根据函数的周期性可知y=f（x）在（1，2）内是单调增函数，且f（x）0故选：A【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数的单调性，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于基础题二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分。请把答案填在答题卡上指定位置处。）13.在中，则_【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值。【详解】由，结合正弦定理可得，故设，()，由余弦定理可得，故.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。14._【答案】【解析】【分析】利用指数与对数的运算性质，进行计算即可。【详解】.【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，需要注意，属于基础题。15.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则函数的解析式为_【答案】【解析】【分析】利用函数的图象变换规律，即可得到的解析式。【详解】函数的图象向右平移个单位，可得到，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，可得到.故.【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换，属于基础题。16.函数的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式将化为，利用三角函数诱导公式将化为，然后利用二次函数的性质求最值即可。【详解】因为，所以当时，取到最大值.【点睛】本题考查了三角函数化简与求最值问题，属于中档题。三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17.在中，角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可以得到，即可求出角的大小；（2）利用余弦定理并结合（1）中的结论，可以求出，代入三角形面积公式即可。【详解】（1）由于，结合正弦定理可得，由于，可得，即，因为，故.（2）由，且，代入余弦定理，即，解得，则的面积.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题。18.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整；函数的解析式为 （直接写出结果即可）；（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象；（3）求函数在区间上的最大值和最小值 【答案】（1）见解析；（2）详见解析；（3）当时，；当时，【解析】【分析】（1）由表中数据可以得到的值与函数周期，从而求出，进而求出，即可得到函数的解析式，利用函数解析式可将表中数据补充完整；（2）结合三角函数性质与表格中的数据可以作出一个周期的图象；（3）结合正弦函数单调性，可以求出函数的最值。【详解】（1）根据表中已知数据，解得，数据补全如下表：函数表达式为.（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象见下图：（3）令，则，则，可转化为，因为正弦函数在区间上单调递减，在区间（上单调递增，所以，在区间上单调递减，在区间（上单调递增，故的最小值为，最大值为，由于时，；时，故当时，；当时，.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题。19.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的对称轴和对称中心；（3）若，求的值【答案】（1）；（2），；（3）【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换，对函数的表达式进行化简，进而可以求出周期；（2）利用正弦函数对称轴与对称中心的性质，可以求出函数的对称轴和对称中心；（3）利用题中给的关系式可以求出和，然后将展开求值即可。【详解】（1）.所以函数的最小正周期.（2）由于，令，得，故函数的对称轴为.令，得，故函数的对称中心为.（3）因为，所以,即，因为，所以，则，所以.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期、对称轴、对称中心，及利用函数的关系式求值，属于中档题。20.已知函数，（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；（3）将函数的图象向右平移个单位后所得函数的图象关于原点中心对称，求的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由余弦函数的单调性，解不等式，即可求出；（2）利用函数的性质，结合在时的单调性与最值，可得实数的取值范围；（3）先求出的解析式，然后利用图象关于原点中心对称，是奇函数，可求出的最小值。【详解】（1）由余弦函数的单调性，解不等式，得，所以函数的单调递增区间为；（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，所以当时，函数与函数的图象有两个公共点，即当时,方程恰有两个不同的实数根时。（3）函数的图象向右平移个单位,得到,则是奇函数，则，即，则因为，所以当时，.【点睛】本题综合考查了三角函数的性质，及图象的平移变换，属于中档题。21.已知函数的图象过点（1）求的值并求函数的值域；（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；（3）若为偶函数，求实数的值【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）函数图象过，代入计算可求出的值，结合对数函数的性质可求出函数的值域；（2）构造函数，求出它在上的值域，即可求出的取值范围；（3）利用偶函数的性质，即可求出。【详解】（1）因为函数图象过点，所以，解得.则，因为，所以，所以函数的值域为.（2）方程有实根，即，有实根，构造函数，则，因为函数在R上单调递减，而在（0，）上单调递增，所以复合函数是R上单调递减函数。所以在上，最小值为，最大值为，即，所以当时，方程有实根。（3），是R上的偶函数，则满足，即恒成立，则恒成立，则恒成立，即恒成立，故，则恒成立，所以.【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，及对数函数的性质，属于中档题。22.已知函数（1）当时，求该函数的值域；（2）求不等式的解集；（3）若对于恒成立，求的取值范围【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）利用换元法并结合二次函数的性质即可求出函数值域；（2）利用换元法并结合一元二次不等式的性质，即可求出不等式的解集；（3）将分离于不等式的一端，对另一端求它的最值，进而可以求出的取值范围。【详解】（1）令，则