2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大（小）值与导数学案新人教A版.docx

13.3函数的最大(小)值与导数1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)1函数yf(x)在闭区间a，b上的最值(1)能够取得最值的前提条件：在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线(2)函数的最值必在极值点或端点处取得2求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值求函数yf(x)在a，b上的最值包含以下两点(1)给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值常见的有以下几种情况：图中的函数yf(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；图中的函数yf(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图中的函数yf(x)在(a，b)上既无最大值又无最小值；图中的函数yf(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值(2)函数f(x)的图象在区间a，b上连续不断是f(x)在a，b上存在最大值和最小值的充分不必要条件如函数f(x)的图象(如图)在1，1上有间断点，但存在最大值和最小值 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的最大值不一定是函数的极大值()(2)函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得()(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值()答案：(1)(2)(3) 函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值B有极值C有最大值 D有最小值答案：A 函数yx33x3在区间3，3上的最小值为()A1 B5C21 D15答案：D 函数f(x)的最大值为_答案：探究点1求函数的最值求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2，3；(2)f(x)xsin x，x0，2【解】(1)因为f(x)2x312x，所以f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.因为f(2)8，f(3)18，f()8，f()8；所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x，令f(x)0，又x0，2，解得x或x.计算得f(0)0，f(2)，f，f.所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).求函数最值的步骤第一步：求函数的定义域第二步：求f(x)，解方程f(x)0.第三步：列出关于x，f(x)，f(x)的变化表第四步：求极值、端点处的函数值，确定最值 1.函数f(x)(x2，2)的最大值是_，最小值是_解析：因为f(x)，令f(x)0，得x1或x1.又因为f(1)2，f(1)2，f(2)，f(2)，所以f(x)在2，2上的最大值为2，最小值为2.答案：222求函数f(x)的最值解：函数f(x)的定义域为xR.f(x)，当f(x)0时，x2，当f(x)0时，x2，当f(x)2.所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，所以f(x)无最小值，且当x2时，f(x)maxf(2).探究点2含参数的最值问题已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0，1上的最小值【解】由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0，1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g(x)在0，1上单调递增，因此g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0，1上单调递减，因此g(x)在0，1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0，得xln(2a)(0，1)，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(1)e2ab.若将本例条件改为“当b0时，函数g(x)在区间0，1上的最小值为0”，求a的值解：当b0时，因为f(x)exax21，所以g(x)f(x)ex2ax，又g(x)ex2a，因为x0，1，1exe，所以(1)若a，则2a1，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0，1上单调递增，g(x)ming(0)1，不符合题意(2)若a，则12ae，于是当0xln(2a)时，g(x)ex2a0，当ln(2a)x0，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)0，解得a不符合题意，舍去(3)若a，则2ae，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0，1上单调递减，g(x)ming(1)e2a0，解得a.综上所述，a.(1)含参数的函数最值问题的两类情况能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题；对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值(2)已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围 已知函数f(x)ax36ax2b，x1，2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值解：由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)当a0，且x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，0)0(0，2)2f(x)0f(x)7ab增函数b减函数16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1，2上的最大值，所以f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，所以f(2)16a329，解得a2.当af(1)，所以f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.探究点3函数最值问题的综合应用设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x0，3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围【解】(1)f(x)6x26ax3b，因为函数f(x)在x1及x2时取得极值，所以f(1)0，f(2)0，即解得(2)由(1)可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，2)时，f(x)0；当x(2，3)时，f(x)0.所以，当x1时，f(x)取极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c.所以当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c1或c9.因此c的取值范围为(，1)(9，)若本例中“x0，3”变为“x(0，3)”仍有f(x)c2成立，求c的取值范围解：由本例解析知f(x)f(3)98c，所以98cc2，即c1或c9，所以c的取值范围为(，19，)不等式恒成立问题常用的解题方法 设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立解：(1)由题设知f(x)的定义域为x(0，)，f(x)，g(x)ln x，所以g(x).令g(x)0，得x1.当x(0，1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间因此，x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)g(a)g(x)0成立，即ln a0成立由(1)知g(x)的最小值为1，所以ln a1.解得0a1时，证明：x2ln x0，则f(x)的单调递增区间为(0，)，(2分) 时，由f(x)0得x，由f(x)0，得0x0时，函数f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)(5分)(2)证明：当x1时，x2ln x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上递增，所以g(x)g(1)0，所以x3x2ln x0.(12分)利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解1若函数f(x)导函数的图象是如图所示的一条直线，则()A函数f(x)没有最大值也没有最小值B函数f(x)有最大值，没有最小值C函数f(x)没有最大值，有最小值D函数f(x)有最大值，也有最小值解析：选C.由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，即f(x)在x1处取得最小值，没有最大值2函数f(x)x33x(1x1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，也无最小值D无最大值，但有最小值解析：选C.f(x)3x233(x21)因为1x1，所以x21.所以3(x21)0，即f(x)0.所以f(x)是(1，1)上的减函数，f(1)f(x)f(1)，故f(x)在1x0，得f(x)的单调递增区间为0，1)；令f(x)0，所以f(x)在1，1上单调递增，故f(x)maxf(1)，f(x)minf(1)，所以f(x)既有最大值又有最小值(说明：f(x)表示对f(x)再次求导，即f(x)的导函数)5已知e是自然对数的底数，若函数f(x)exxa的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围是()A(1，) B(，1)C1，) D(，1解析：选A.因为函数f(x)exxa的图象始终在x轴的上方，所以f(x)exxa0对一切实数x恒成立，即f(x)min0.f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，当x0时，f(x)0时，f(x)0，则f(x)在(0，)上单调递增，所以当x0时，f(x)取得极小值即最小值，最小值为f(0)1a，所以1a0，即a1，故实数a的取值范围为(1，)6函数f(x)在区间2，4上的最小值为_解析：f(x)，当x2，4时，f(x)0，即函数f(x)在2，4上单调递减，故当x4时，函数f(x)有最小值.答案：7设0x，则函数y的最小值是_解析：y，因为0x，所以当x0；当0x时，y0.所以x时，ymin.答案：8已知函数f(x)ax33x1，且对任意x(0，1，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_解析：当x(0，1时，不等式ax33x10可化为a.设g(x)，x(0，1，则g(x).令g(x)0，得x.g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg(x)0g(x)极大值4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是4，)答案：4，)9已知h(x)x33x29x1在区间k，2上的最大值是28，求k的取值范围解：h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时h(x)及h(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，取极大值28；当x1时，取极小值4.而h(2)30，得0x1，令f(x)1，所以f(x)在(，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以f(x)在，e上的最大值为f(1).B能力提升11设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M、N，则当|MN|取最小值时t的值为()A1 B.C. D.解析：选D.由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|t2ln t(t0)记h(t)t2ln t(t0)，则h(t)2t.当0t时，h(t)时，h(t)0，h(t)在(，)上单调递增故当t时，|MN|有最小值12已知(a1)x1ln x0对任意x，2恒成立，则实数a的最大值为()A0 B1C12ln 2 D.解析：选C.原问题等价于a1对任意x，2恒成立令h(x)，则h(x).令h(x)0，得x1，且当x，1)时，h(x)0；当x(1，2时，h(x)m恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)xexx2exx(x2)由x(x2)0，解得x0或x2.所以f(x)的增区间为(，2)，(0，)由x(x2)0，得2xm恒成立，所以m成立解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1.当x时，f(x)0，f(x)为增函数；当0x时，f(x).由第一问可知f(x)xln x的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)，x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到，所以xln x.从而对一切x(0，)，都有ln x成立导数在研究函数中的应用(强化练)一、选择题1已知函数yf(x)，xR有唯一的极值，且x1是f(x)的极小值点，则()A当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0B当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0C当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0D当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0解析：选C.由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是左负右正，又函数f(x)，xR有唯一的极值，故当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.2函数f(x)xex的一个单调递增区间是()A1，0B2，8C1，2 D0，2解析：选A.因为f(x)(1x)ex0，又因为ex0，所以x1.3函数y2x33x212x5在0，3上的最大值和最小值分别是()A5，15 B5，4C5，15 D5，16解析：选C.y6x26x126(x1)(x2)，令y0得x1或x2.当x2时y15，当x0时y5，当x3时，y4.故选C.4若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()解析：选C.观察题图可知：当x0，则f(x)单调递增；当0x1时，f(x)0，则f(x)单调递减，即f(x)的图象在x0左侧上升，右侧下降故选C.5已知函数f(x)ln 2，则()Af()f()Bf()f()Df()，f()的大小关系无法确定解析：选C.f(x)，当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减因为f()故选C.6若函数f(x)x3ax2x6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca1 D0a1解析：选A.因为f(x)3x22ax1，又f(x)在(0，1)内单调递减，所以不等式3x22ax10在(0，1)内恒成立，所以f(0)0，且f(1)0，所以a1.7若函数yx33axa在(1，2)内有极小值，则实数a的取值范围是()A1a2 B1a4C2a4 Da4或a1解析：选B.y3x23a.当a0时，f(x)0，函数yx33axa为单调函数，不合题意，舍去；要使函数yx33axa在(1，2)内有极小值，则即所以1a0，解得x；令f(x)，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，故f(x)的最大值是f()，所以a.9若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：选D.因为2x(xa)x.令f(x)x，所以f(x)12xln 20，所以f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)f(0)011，所以a的取值范围为(1，)10定义在R上的函数f(x)满足f(x)1f(x)，f(0)6，其中f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0，)B(，0)(3，)C(，0)(1，)D(3，)解析：选A.不等式exf(x)ex5可化为exf(x)ex50.设g(x)exf(x)ex5，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)10，所以函数g(x)在定义域R上单调递增又g(0)0，所以g(x)0的解集为(0，)二、填空题11函数f(x)x2ln x的单调递减区间是_解析：f(x)1(x0)，令f(x)10，得0x2，因此，函数f(x)x2ln x的单调递减区间是(0，2)答案：(0，2)12若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，在(1，1)上是减函数，则实数k_解析：h(x)2，根据题意，知h(1)0，即2k0，解得k2，经验证，符合题意答案：213函数f(x)x33x29xk在区间4，4上的最大值为10，则其最小值为_解析：f(x)3x26x93(x3)(x1)，令f(x)0，得x3或x1.因为f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20，所以f(x)maxk510，得k5，所以f(x)mink7671.答案：7114函数f(x)x3x在(a，10a2)上有最大值，则实数a的取值范围是_解析：由于f(x)x21.易知f(x)在(，1)和(1，)上单调递减，在1，1上单调递增故函数f(x)在(a，10a2)上存在最大值的条件为即2a1.答案：2，1)三、解答题15已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1，1，求f(m)f(n)的最小值解：f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知，f(2)0，即342a20，所以a3，由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x.易知f(x)在区间1，0)上单调递减，在区间(0，1上单调递增，所以当m1，1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，所以当n1，1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.16已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值和最小值解：(1)f(x)3x22ax3，因为f(x)在1，)上是增函数，所以当x1，)时，f(x)0恒成立，所以a(x)min3(当且仅当x1时取等号)，所以实数a的取值范围是(，3(2)由题意，知f(3)0，即276a30，解得a5，所以f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)