高等数学1.1集合常量与变量.ppt

,一、集合 常量与变量,二、函数概念,三、函数的几种特性,四、反函数,1。1 函 数,函数举例,定义域、,函数的图形、,函数的定义、,集合、,区间、,邻域、,常量与变量,有界性、,单调性、,奇偶性、,周期性,1. 集合 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体。集合用A，B，M等表示。 元素: 组成集合的事物称为集合的元素。a 是集合M的元素表示为aM。 集合的表示: (1) A=a, b, c, d, e, f, g。 (2) M=(x, y) | x，y为实数，x2+y2 =1。,一、集合 常量与变量,几个数集: N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集。 R表示所有实数构成的集合，称为实数集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。,子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集，记为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。,数集x|axb称为开区间， 记为(a, b)，即 (a, b)=x|axb。,a, b=x|axb称为闭区间。,a, b)=x|axb及 (a, b=x|axb称为半开区间。,区间:,上述区间都是有限区间，其中a 和 b 称为区间的端点，b-a 称为区间的长度。,(-, b = x|xb，,(-,+) = x| |x|+。,a, +) = x|ax，,以下区间称为无限区间：,(-, b) = x|xb，,(a, +) = x|ax，,邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作U(a)。 设0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，即 U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-a|。 其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。,去心邻域:,(a,) =x |0| x-a |。,2. 常量与变量 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为 a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。,常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。,还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u，v，w，s，t 等。,变量 x 所取数值的全体组成的数集 M称为变量 x 的变域，此时 x 表示数集M中任何一个元素。,二、函数概念,1. 举例 圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +)内的任意值。,2. 函数的定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作y=f(x)。 定义中，数集D叫做这个函数的定义域， x叫做自变量，y叫做因变量。,函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。,值域：W=y | y=f(x)，xD。,定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。,函数值： 当 x取数值 x0D时，与 x0对应的 y的数值称为函数 y=f(x)在点 x0处的函数值，记为 f(x0)。,求函数的定义域举例：,解: 要使函数有意义，必须x0，且x2-40。 解不等式得|x|2。 函数的定义域为 D=x| |x|2，或D=(-, 22, +)。,3. 函数的图形 在坐标系xOy内，集合 C=(x, y) | y=f(x)，xD 所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值问题只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。 以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。,4. 函数举例 例1. 在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。 对于任意x(-r, r)，对应的函数值有两个：,例2. 函数 y=2。 函数的定义域为D = (-, +)。 函数的值域为W =2。 函数的图形为一条平行于x 轴的直线。,y=2,2,函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为W=0, + )。,y=|x|,函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为W=-1, 0, 1。,y = sgn x,例5. 函数y=x称为取整函数。,函数的定义域为D=(-, +)， 函数的值域为W =Z,y=x,函数的定义域为 D=0, 1(0, +)=0, +)。,f (3) = 1+3 = 4。,y = 1+x,y = f(x),图形特点：y=f(x)的图形在直线y=K1的下方。,y=K1,y=f(x),1. 函数的有界性 设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数 f(x)在X上的一个上界。,三、函数的几种特性,如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。,图形特点：函数 y=f(x) 的图形在直线 y=K2 的上方,y=K1,y=f(x),有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M的之间。,如果存在数 M，使对任一 xX，有 | f(x) |M，则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M，总存在 x1X，使|f(x)|M。,y=f(x),函数的有界性举例：,f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： | sin x | 1。,y=1/x,函数f(x)=1/x在开区间 (0, 1) 内是无界的。,无界函数举例：,函数f(x) =1/x在(0, 1)内有下界，无上界。 这是因为，任取M1，总有0M， 所以函数无上界。,此函数在(1, 2)内是有界的。,2. 函数的单调性,单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。,3. 函数的奇偶性,-x,x,f(-x)=f(x),y=f(x),偶函数举例： y=x2， y=cos x 都是偶函数,偶函数的图形关于y轴对称。,设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)为偶函数。,奇偶函数举例： y=x3，y=sin x 都是奇函数。,如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。,设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数 l ，使得对于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。 周期函数的图形特点：,l,2l,-2l,-l,y=f(x),4. 函数的周期性,对于任一数值 yW，D上至少可以确定一个数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。,四、反函数,如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。,y0,y=f(x),y=y0,(x1, y0),(x2, y),设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。,单调函数的反函数是单值函数,什么样的函数存在单值的反函数？,y=x2 的反函数是多值函数：,x= 。,把 x限制在区间 0,)， 则y=x2 的反函数是单值的， 即x= 。它称为函数 y=x2 的反函数的一个单值 分支。,反