天津理工大学概率论与数理统计第一章习题答案详解.pdf

1 第一章第一章 随机变量随机变量 习题一习题一 系 班 姓名 学号 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 = 1843, (2)生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数 = ,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ， 如连续查出 2 个次品就停止，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0” 表示次品，用“1”表示正品。 =111111101101011110111010110001100101010010000, (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 = | ),(1 22 yxyx (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 =,| ),(1000 zyxzyxzyx 其中zyx,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10 只产品中有 3 只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将 3 只 次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间 U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间 U = 解: ( 1 ) U = e3 ， e4 ， e10 。 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 、 10 ( 2 ) U = e3 ， e4 ， 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1) |ax 与 |ax 互不相容 (2) 20x 与 20x 对立事件 (3) 20x 与 18x 互不相容 (4) 20x 与 22x 相容事件 (5)20 个产品全是合格品与 20 个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20 个产品全是合格品与 20 个产品中至少有一个废品 对立事件 解: 互不相容: AB ; 对立事件 : AB) 1 ( 且 BA 2 3、设 A,B,C 为三事件，用 A,B,C 的运算关系表示下列各事件 (1)A 发生， B 与 C 不发生 - CBA (2)A 与 B 都发生， 而 C 不发生 - CAB (3)A,B,C 中至少有一个发生 - CBA (4)A,B,C 都发生 -ABC (5)A,B,C 都不发生 - CBA (6)A,B,C 中不多于一个发生 - CBCABA (7)A,B,C 中不多于两个发生- CBA (8)A,B,C 中至少有两个发生- BCACAB 4、盒内装有 10 个球，分别编有 1- 10 的号码，现从中任取一球，设事件 A 表示“取 到的球的号码为偶数” ，事件 B 表示“取到的球的号码为奇数” ，事件 C 表示“取到 的球的号码小于 5” ，试说明下列运算分别表示什么事件. (1) BA 必然事件 (2)AB 不可能事件 (3)C 取到的球的号码不小于 5 (4) CA 1 或 2 或 3 或 4 或 6 或 8 或 10 (5)AC 2 或 4 (6)CA 5 或 7 或 9 (7) CB 6 或 8 或 10 (8)BC 2 或 4 或 5 或 6 或 7 或 8 或 9 或 10 5、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立. (1)BBABA 成立 (2)BABA 不成立 (3)CBACBA 不成立 (4)(BAAB 成立 (5)若BA，则ABA 成立 (6)若AB，且AC ，则BC 成立 (7)若BA，则AB 成立 (8)若AB，则ABA 成立 7、设一个工人生产了四个零件， i A表示事件“他生产的第 i 个零件是正 品”),(4321 i，用 1 A, 2 A, 3 A, 4 A的运算关系表达下列事件. (1)没有一个产品是次品； (1) 43211 AAAAB (2)至少有一个产品是次品；(2) 432143212 AAAAAAAAB (3)只有一个产品是次品；(3) 43214321432143213 AAAAAAAAAAAAAAAAB 3 (4)至少有三个产品不是次品 4) 432143214321432143214 AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB 8. 设 E、F、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ： (1) FEFE(2) FEFEFE （3） GFFE 解 :(1) 原式 EFFFEFEEE (2) 原式 EFFEFFEFEFE (3) 原式 GEFGFFFGEFE 9、设BA,是两事件且7060.)(,.)( BPAP，问(1)在什么条件下)(ABP取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么条件下)(ABP取到最小值，最小值是多少？ 解: (1) 6 . 0)(,ABPBA (2) 3 . 0)(,ABPSBA 10. 设 事 件 A， B， C 分 别 表 示 开 关 a， b， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ， 则可用事件 A，B，C 表示：(1) D = AB C ；(2) D = CBA 。 ab c 11、设 A,B,C 是三事件，且 8 1 0 4 1 )(,)()(,)()()(ACPBCPABPCPBPAP， 求 A,B,C 至少有一个发生的概率. 解: )()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 8 5 00 8 1 0 4 1 4 1 4 1 ABCAB 0)()(0ABPABCP 0)(ABCP 12. (1)设事件 A , B 的概率分别为 5 1 与 4 1 ， 且 A 与 B 互 斥， 则 )(BAP= 5 1 . 4 (2).一个盒中有 8 只红球，3 只白球，9 只蓝球 ，如果随机地无放回地摸 3 只 球 ，则取到的 3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _ 14 285_。 (3) 一 袋中有 4 只白球，2 只黑球，另一只袋中有 3 只白球和 5 只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率 等于 _ 13 24_。 (4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验 E 的三个相互独立的事件， 已知 P(A1) = , P(A2) = ，P(A3) = ，则 A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1(1)(1 )(1) . (5) 一个盒中有 8 只红球，3 只白球，9 只蓝球，如果随机地无放回地摸 3 只球， 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 _ 34 57_。 13、在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任取 200 个，求 (1)恰有 90 个次品的概率； (2)至少有 2 个次品的概率. 解: 200 1500 110 1100 90 400 ) 1 ( C CC P 2000 1500 199 1100 1 400 200 1500 200 1100 1)2( C CC C C P 14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为 0.9，乙击中的概率为 0.8，两射手 同时击中的概率为 0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的， 求“中”的概率. 解: A “甲中” B “乙中” 98. 072. 08 . 09 . 0)()()()(ABPBPAPBAP 15、8 封信随机地投入 8 个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概 率是多少？ 解: 8 8 8! )( AP 16、房间里有 4 个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解：设所求事件 A “至少有两个人的生日在同一个月的” A “任何两个人的生日都不在同一个月” 427. 0 12 1)(1)(, 12 )( 4 4 12 4 4 12 A APAP A AP 5 17、将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概 率各是多少？ 解：3 个球放入 4 个杯子中去共有 3 4种放法，设 i B表示杯子中球的最大个数为 n 的 事件),(321 n, 1 B表示每只杯子最多只能放一个球，共有 3 4 A种方法，故 8 3 43 3 4 1 A BP)(; 2 B表示有一只杯子中放 2 个球，先在 3 个球中任取 2 只放入 4 个 杯子中的任意一只， 共有4 2 3 C种方法， 剩下的一个球可以放入剩下的 3 只杯子中的 任 一 只 ， 有 3 种 放 法 ， 故 2 B包 含 的 基 本 事 件 数 为3634 2 3 C， 于 是 16 9 4 36 3 2 )(BP ; 3 B表示有一只杯子中放 3 个球，共有 4 种方法，故 16 1 4 4 3 3 )(BP. 18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 内 ( 其 中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2 所 围 成 的 ) ， 设 事 件 A 为： 质 点 落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 ， 求 P(A) 。 y 2 1 o 2 x D1 4 3 22 21 2 1 2 1 1 )( )( D D AP 19、(1)已知504030.)(,.)(,.)( BAPBPAP，求)|(BABP (2)已知 2 1 3 1 4 1 )|(,)|(,)(BAPABPAP，求)(BAP 解: (1)250.)|( BABP (2) 3 1 )(BAP 6 20、一批产品共 100 个,其中有次品 5 个，每次从中任取一个，取后不放回, 设 i A( i =1，2，3，)表示第 i 次抽到的是次品，求： 99 4 12 AAP ， 99 95 12 AAP ， 99 5 12 AAP 99 94 12 AAP ， 98 3 213 AAAP ， 98 94 213 AAAP 21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂占 30%，甲厂产品的合格率为 95%， 乙厂的合格率是 80%。若用事件A、A分别表示甲、乙两厂产品，B 表示合格品。 试写出有关事件的概率. (1)(AP 70% (2)(AP 30% (3)|(ABP 95% (4)|(ABP 80% (5)|(ABP 5% (6)|(ABP 20% 22、袋中有 10 个球，9 个是白球，1 个是红球，10 个人依次从袋中各取一球，每人 取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，最后一人取得红球的概 率各是多少？ 解: 解：设 i A第 i 个人取得红球的事件),(1021 i, 则 i A为第 i 个人取得白球的事件， 显然 10 1 )( 1 AP ,)( 212121212 AAAAAAAAA 10 1 9 1 10 9 )|()()()( 121212 AAPAPAAPAP 同理 10 1 !10 ! 9 )()( 1092110 AAAAPAP 23、某种动物由出生活到 20 年以上的概率为 0.8，活 25 年以上的概率为 0.4，问现 年 20 岁的这种动物活支 25 岁以上的概率是多少？ 解：设A为由出生活到 20 岁的事件，B为由出生活到 25 岁的事件 则所求事件的概率为 )( )( )|( AP ABP ABP BABAB 7 2 1 80 40 . . )( )( )( )( )|( AP BP AP ABP ABP 24、十个考签中四个难的，三人参加抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记事件 A,B,C 分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求)(),(),(),(ABCPBAPABPAP. 解： 15 2 )(, 10 4 )(ABPAP 15 4 )(BAP 30 1 )(ABCP 25. 设 0 P(C) 1 ，试 证 ：对 于 两 个 互 不 相 容 的 事 件 A，B，恒 有 P ( A B )C = PAC + PBC 证: CP CBAP CBAP CP BCACP CP BCPACP CBPCAP 26、设事件 A 与 B 互斥，且10 )(BP，证明 )( )( )|( BP AP BAP 1 . 证明：由于AB，故BABBAA)( ) 1)( )(1 )( )( )( )|( BP BP AP BP BAP BAP 27、一批零件为 100 个，次品率为 10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才 能取得正品的概率是多少？ 解：设 i A为第 i 次取到正品，) 3 , 2 , 1( i由于次品率为 10%，故 100 个零件约有 90 个正品， 次品 10 个，设A为第三次抽到正品，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，则由 一般乘法公式得 )|()|()()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAPAP0083. 0 98 90 99 9 100 10 28、 设每 100 个男人中有 5 个色盲者， 而每 10000 个女人中有 25 个色盲者， 今在 3000 个男人和 2000 个女人中任意抽查一人， 求 这 个 人 是 色 盲 者 的 概 率。 解: A ： “ 抽到的一人为男人” ；B ： “ 抽到的一人为色盲者” 则 20 1 100 5 , 5 3 ABPAP 8 400 1 10000 25 , 5 2 ABPAP 1000 31 400 1 5 2 20 1 5 3 ABPAPABPAPBP 29、设有甲、乙两袋，甲袋装有 n 只白球，m 只红球；乙袋中装有 N 只白球，M 只红 球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白 球的概率是多少？ 解：设 1 H表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件， 2 H表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件， B表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件， 所求事件 21 BHBHB 由全概率公式：)|()()|()()( 2211 HBPHPHBPHPBP 易知： mn m HP mn n HP )(,)( 21 1 )|(, 1 1 )|( 21 MN N HBP MN N HBP 于是 11 1 )( MN N mn m MN N mn n BP 30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例 分别为 25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是 5%,4%,2% (1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？ (2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？ 解：设A“所取出的一件产品是废品” ， 1 B“产品系甲车间生产” ， 2 B“产品系乙车间生产” ， 3 B“产品系丙车间生产” 已知25. 0)( 1 BP 35. 0)( 2 BP 4 . 0)( 3 BP 05. 0)|( 1 BAP 04. 0)|( 2 BAP 02. 0)|( 3 BAP (1)由全概率公式： 3 1 0345. 002. 04 . 004. 035. 005. 025. 0)()|()( i ii BPBAPAP (2)由贝叶斯公式： 3623. 0 0345. 0 05. 025. 0 )( )()|( )|( 11 1 AP BPBAP ABP 9 4058. 0 0345. 0 04. 035. 0 )( )()|( )|( 22 2 AP BPBAP ABP 2319. 0 0345. 0 4 . 002. 0 )( )()|( )|( 33 3 AP BPBAP ABP 所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的. 31、如图 1,2,3,4,5 表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为 p ，且设 各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率. 解: 设 i A为第 i 只继电器闭合的事件，B为有电流从 L 流向 R 的事件， 已知)5, 2 , 1()(npAP i 显然 4325315421 AAAAAAAAAAB 故)()()()()()( 52414325315421 AAAAPAAAPAAAPAAPAAPBP )()()()( 4352315432415321 AAAAPAAAAPAAAAPAAAAP )()()( 352413524142531 AAAAAPAAAAAPAAAAAP )()()( 543212534143152 AAAAAPAAAAAPAAAAAP 5432 2522pppp 32、在 18 盒同类电子元件中有 5 盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4 盒是丙厂 生产的， 其余是丁厂生产的， 该四厂的产品合格品率依次为 0.8， 0.7， 0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？ 解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ” B ： “ 所 取 一 个 元 件 为 不 合 格 品 ” 则 18 5 1 AP， 18 7 2 AP， 18 4 3 AP， 18 2 4 AP 2 . 0 1 ABP， 3 . 0 2 ABP， 4 . 0 3 ABP， 5 . 0 4 ABP 由 全 概 率 公 式 : ii i ABPAPBP 4 1 = 57 180 由 贝 叶 斯 公 式 : 57 10 , 57 16 , 57 21 ,