2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式学案.docx

1绝对值三角不等式1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题,学生用书P13)1绝对值及其几何意义(1)绝对值定义：|a|.(2)绝对值几何意义：实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离|OA|.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A，B分别对应实数a，b，则|AB|ab|2绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立推论1：如果a，b是实数，那么|a|b|ab|a|b|.推论2：如果a，b是实数，那么|a|b|ab|a|b|.定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)|a|的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离()(2)|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立()(3)|a|b|ab|，当且仅当ab时等号成立()答案：(1)(2)(3)2给出下列命题：若ab，则|a|b；若ab，则a2b2；若|a|b，则ab；若a|b|，则ab.其中真命题的个数是()A1B2C3 D4解析：选B.容易验证正确，错误，故选B.3函数y|x4|x6|的最小值是_解析：y|x4|x6|(x4)(x6)|2，当且仅当4x6时，“”成立，所以ymin2.答案：2利用绝对值三角不等式证明不等式学生用书P13已知f(x)x22x7，且|xm|3，求证：|f(x)f(m)|6|m|15.【证明】|f(x)f(m)|(xm)(xm2)|xm|xm2|3|xm2|3(|x|m|2)又|xm|3，所以3mx3m.所以3(|x|m|2)3(3|m|m|2)6|m|15.所以|f(x)f(m)|6|m|15.两类含绝对值不等式问题的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明1.设a，bR，0，|a|，|b|.求证：|4a3b|3.证明：因为|a|，|b|.所以|4a3b|4a|3b|4|a|3|b|433.2设函数f(x)|xa|(a0)，证明：f(x)2.证明：由a0，得f(x)|xa|a2，所以f(x)2.利用绝对值三角不等式求函数的最值学生用书P14(1)求函数f(x)|x1|x1|的最小值；(2)求函数f(x)|x1|x1|的值域【解】(1)因为|x1|x1|1x|x1|1xx1|2，当且仅当(1x)(1x)0，即1x1时取等号，所以当1x1时，函数f(x)|x1|x1|取得最小值2.(2)因为|x1|x1|(x1)(x1)|2，当且仅当(x1)(x1)0，即x1或x1时取等号，即2|x1|x1|2，当x1时函数取得最小值2，当x1时，函数取得最大值2，当1x1时，2|x1|x1|2，故函数f(x)的值域为2，2求f(x)|xa|xb|和f(x)|xa|xb|的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值(3)利用绝对值的几何意义求解 对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A1B2C3D4解析：选C.因为x，yR，所以|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，所以|x1|x|y1|y1|3.所以|x1|x|y1|y1|的最小值为3.绝对值三角不等式的综合应用学生用书P14设aR，函数f(x)ax2xa(1x1)(1)若|a|1，求|f(x)|的最大值；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.【解】(1)因为|x|1，|a|1，所以|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|a|x21|x|x21|x|1|x2|x|x|2|x|1.所以|x|时，|f(x)|取得最大值.(2)当a0时，f(x)x；当1x1时，f(x)的最大值为f(1)1，不满足题设条件，所以a0.又f(1)a1a1，f(1)a1a1，故f(1)均不是最大值所以f(x)的最大值应在其对称轴上顶点位置取得，所以a0.所以命题等价于所以a2.本题第(1)问属于绝对值函数的最值，综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这是关键所在 设函数y|x4|x3|.求(1)y的最小值；(2)使ya有解的a的取值范围；(3)使ya恒成立的a的最大值解：(1)由绝对值三角不等式得y|x4|x3|(x4)(x3)|1，所以ymin1.(2)由(1)知y1.要使ya有解，所以a1.即a的取值范围为(1，)(3)要使ya恒成立，只要y的最小值1a，即可所以amax1.1求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|b|的最大值比较困难，可采用求|ab|，|ab|的最值，及ab0时，|a|b|ab|，ab0时，|a|b|ab|的转化，达到目的2求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有：(1)借助绝对值的定义，即零点分段；(2)利用绝对值几何意义；(3)利用绝对值不等式性质定理1若关于x的不等式|x2|x2|a的解是全体实数，则实数a的取值范围是()Aa4Ba4Ca0 Da0解析：选A.由题意知|x2|x2|2x|x2|2xx2|4a恒成立，故a4.2若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析：|xa|