[工学]第07章离散化控制系统.ppt

2019/4/19,第七章 离散化控制系统,1,自动控制理论,第七章,离散化控制系统,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,2,第一节 引言,如果在系统中一次或几次的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲或数码信号，这种系统称为离散化控制系统。 由于这些离散信号是连续函数经采样后形成的，故又称这类系统为采样控制系统。,自动控制理论,图7-1 计算机控制系统方框图,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,3,从A/D和D/A转换器看模拟量与数字量之间的转换关系，且两者有着确定的比例关系，因而图7-1可以简化为图7-2,图7-2 计算机控制系统,图7-3计算机控制系统,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,4,采取分时处理方式，用一台计算机控制多个被控对象。,图7-4 计算机多路控制系统,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,5,1）有利于系统实现高精度 2）有效地抑制噪声，提高了系统抗扰动的能力 3）不仅能完成复杂的控制任务，而且易于实现修改控制器的参数 4）有显示、报警等多种功能,自动控制理论,计算机控制系统的优点,分析离散系统的常用方法有两种：Z变换法和状态空间分析法。,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,6,第二节 信号的采样与复现,把连续信号变成脉冲或数字序列的过程叫做采样，把采样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。,一、采样过程,图7-信号的采样,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,7,式中：,，KT 脉冲出现时刻,（7-2）,（7-1）,图7- 理想脉冲序列,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,8,图7-7采样脉冲的调制过程,考虑当t0时，f(t)=0，则有,（-）,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,9, 脉冲产生的时刻；, KT时刻的脉冲强度；,把窄脉冲信号当理想脉冲信号处理是近似的，也是有条件的。,二、采样定理,设用于调制器载波的窄脉冲信号为 ；如图7-8所示。用傅立叶级数表示为,（7-4）,（7-5）,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,10,其中,若令,则,图7- 矩形窄脉冲序列,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,11,图7- 连续信号f*(t)与采样后离散信号f*s(t),自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,12,若令,则,或,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,13,图7-10 f(t)及f*s(t)的频谱图,图7-11 理想滤波器特性,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,14,图7-可知，相邻两频谱不重叠交叉的条件是,香农采样定理,图7-12 时的频谱图,香农定理的物理意义是：采样角频率 若满足 ，则 就含有连续信号f(t)的全部信息，通过图7-11所示的理想滤波器，则可把原信号f(t)不失真的复现。,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,15,如用理想脉冲序列采样的离散化信号，其傅氏变换表达式,二、零阶保持器,把采样值按常数、线形函数和抛物线函数外推的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。,图7-13 零阶保持器的输出特性,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,16,零阶保持器( )是把kT时刻的采样值恒值地保持到下一采样时刻（K+1）T。,由图7-13(b)得,脉冲响应,传递函数,频率特性,把 代入上式，得,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,17,图7-15 由ZOH恢复的fh(t)信号,图7-14 ZOH的幅频和相频特性,是一种近似的带通滤波器,由 恢复的函数 比原函数 在相位上要平均滞后,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,18,第三节 变换与反变换,一、变换,设离散化信号,令 ，则,定义：,变换的三种求法：,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,19,解：,例7-1 求：,、级数求和法,当 时， ，则有,如果 ,则上式可写为：,例7-2 求：,，,解：,如果 ,则：,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,20,2、部分分式法,例7-3 求 的Z变换,解：,例7-4 求,解：,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,21,3、留数计算法,设 的拉氏变换为 ，且其为真有理式，令 为 的极点，则Z变换用下式求得,为 在 上的留数。,若 含有 的一阶极点时，对应的留数为：,若 含有 的q阶重极点时，对应的留数为：,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,22,例7-5 已知,求,解,例7-6 试求 的Z变换,解,二、变换的基本性质,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,23,、线性定理,证：,2、滞后定理,设t0 时, ； 则：,式中k、T均为常量。,证：,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,24,考虑到nk， 则有 ：,延迟环节,图7-17 的滞后特性,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,25,3、超前定理,证：,如果,，则,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,26,4、终值定理,设f(t)的Z变换为F(z)，且F(z) 不含有z的二重及以上的极点和单位圆外的极点，则F(t)的终值为,证：,、复数移位定理,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,27,证：,令,，则：,6、卷积定理,设 , , 的Z变换分别为 , , 且当t0时,已知,则,证：,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,28,考虑到：,时,则：,令：,当k=0时,三、反变换,把 反变换为 的过程叫Z的反变换，记为,1、长除法,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,29,例7-8,求 的反变换,解,2、部分分式法,步骤:,将分母 的多项式分解为因式,把 展开为部分分式,求各部分分式项的Z变换之和,例7-9,已知 求,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,30,或,k=0，1，2,3、反演公式,例7-10,求 的Z反变换,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,31,解,或,第四节 脉冲传递函数,脉冲传递函数定义：在零初始条件下，输出离散化信号的Z变换 与输入离散化信号的Z变换 之比，即,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,32,图7-18 脉冲传递函数,令,则,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,33,当 t=kT 时，,考虑到 t0 时，,则,由卷积定理得,离散化系统的脉冲传递函数就是该系统单位脉冲响应函数采样值的Z变换,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,34,图7-19 脉冲响应,为使 能真实地反映C（t）,若在采样开关后没有设置ZOH ,则要求G（S）分母多项式S的阶次至少高于其分子二阶。,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,35,一. 串联环节的脉冲传递函数,图7-20 串联环节的两种连接形式,所以,图(a),自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,36,图(b),例7-11,令图7-20中的,试求(a)、(b)两种连接形式下的脉冲传递函数,解：,图(a),图(b),例7-12, 求图7-21a所示系统的脉冲传递函数。,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,37,自动控制理论,图7-21 具有ZOH的脉冲传递函数,解：,令,则,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,38,二. 闭环脉冲传递函数,图7-22 离散控制系统,自动控制理论,所以,由于,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,39,对于单位反馈系统,图7-23 具有数字控制器的离散系统,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,40,图7-24 离散控制系统,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,41,例7-13, 求图7-25所示系统的闭环脉冲传递函数,自动控制理论,或,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,42,例7-14,求图7-25所示系统的单位阶跃响应,图7-25 具有ZOH的离散控制系统,图中a=1,k=1,T=1s.,解,把 代入,得,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,43,图7-26 图7-25所示系统的单位阶跃响应曲线,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,44,第五节 差分方程,一、差分定义,一阶前向差分,二阶前向差分,一阶后向差分,二阶后向差分,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,45,二、差分方程,图7-28 离散控制系统,当t=kT时,由于,所以,三、用Z变换求解差分方程,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,46,例7-15 求解下列差分方程,解：,已知,因为,所以,K=0,1,2,例7-16 求解下列差分方程,已知,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,47,解：,已知 ,将 代入方程得,对方程等号两边取Z变换,得,其中,因为,所以,或,K=0,1,2,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,48,图7-29 例7-16x(k+1)和x(k)的响应曲线,四、用迭代法求解差分方程,例7-17 试用迭代法求解下列差分方程,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,49,解,例7-18 闭环系统的脉冲传递函数为,若,系统稳定,系统不稳定,求解系统的单位阶跃响应。,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,50,解,表7-3 式（7-53）求解的迭代过程,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,51,第六节 离散控制系统的性能分析,一、稳定性分析,令,则,闭环脉冲传递函数的极点,若 ,即 的所有极点均位于Z平面上的单位圆内,则,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,52,1. S平面与Z平面间的对应关系,自动控制理论,离散系统稳定的充要条件:闭环脉冲传递函数的所有极点均位于 Z平面上的单位圆内。,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,53,设,则,平面上的虚轴,即,自动控制理论,图7-31 s平面向z平面的映射,2. 劳斯稳定判据,令,或,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,54,图7-31 z平面向w平面的映射,经变换后,离散化系统特征方程一般形式为,自动控制理论,Z平面上单位圆的内域 对应左半平面；,Z平面上单位圆的外域 对应右半平面。,结论,Z平面上单位圆的圆周对应平面的虚轴的虚轴；,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,55,例7-19 已知 ,试用劳斯稳定判据确定该系统稳定时K值范围。,图7-32 离散控制系统,解,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,56,令,代入上式,劳斯表,0.316K,1.264,2.376-0.316k,0,2.376-0.316k,2.376-0.316k 0, 0 k 0.866,采样具有降低系统稳定性作用。,二、闭环极点与瞬态响应的关系,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,57,设,令,则,假设 无重极点,则,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,58,1、实数极点,位于单位圆内正实轴上极点对应的瞬态分量是一个单调的衰减过程，而位于圆内负实轴上极点对应的瞬态分量是正负交替变化的衰减过程。,2、共轭极点,设一对共额极点为,令,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,59,图7-33 s、z平面上的极点分布及其对应的脉冲响应,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,60,下面分析S平面上不同闭环极点与其脉冲响应间的对应关系。,图7-33a中示出了实部不同，虚部均为 的4对共轭极点和4个实极点。,图7-33a中所示的极点均映射到Z平面的正实轴上，为图7-33b所示。,在一个完整的振荡周期内只采一次，因而采样后的脉冲序列不能反映原有脉冲响应的变化规律。,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,61,图7-34 s、z平面上的极点分布及其对应的脉冲响应,由于,即,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,62,在一个完整的振荡周期内，每隔180采一次，采样后的输出为正负交替的脉冲序列。,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,63,图7-35 s、z平面上的极点分布与其脉冲响应的对应关系,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,64,在一个完整的振荡周期内，采样的次数分别为8次，4次和3次，,闭环极点尽可能配置在Z平面上单位圆内正实轴的附近，且距坐标原点的距离越小越好。,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,65,三、离散系统的稳态误差,图7-36 离散控制系统,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,66,条件：系统稳定，且 不含Z=1的二重及二重以上极点。,1、阶跃输入,静态位置误差系数,0 型系统：,其中 为常数, 型和型系统：,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,67,2、斜坡输入,静态位置误差系数,其中,0 型系统：, 型系统：,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,68, 型系统：,3、抛物线函数输入 ，,静态加速度误差系数,其中,自动控制理论, 型系统：,0 型、 型系统：,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,69,第七节 离散控制系统的数字校正,数字控制器脉冲函数D(z),设一离散控制系统如图7-37所示。图中，D(z)为数字控制器的脉冲传递函数，G(s)为零阶保持器与被控对象的广义传递函数。由图7-37求得该系统的闭环脉冲传递函数。,图7-37 离散控制系统,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,70,根据式（7-68）和式（7-69），求得数字控制器脉冲传递函数D（z）的两种表示形式：,由式（7-68）和式（7-69）可知,由此得出离散系统数字控制器的设计步骤是:,根据对离散系统性能指标的要求,确定闭环脉冲传递函数T（z）和Te（Z） 按式（7-70）或式（7-71）设计数字控制器D（z）,上述仅是从理论上导求数字控制器，要使所求的D（z）能在实际中能付诸实施，还必须满足下列条件：,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,71,D（z）必须是稳定的。 D（z）必须满足物理上可实现的条件。,最少拍系统的基本概念,最少拍系统是指在典型输入信号作用下,能以有限拍的时间结束其响应过程。并在采样点上实现无稳态误差。,图7-38 s平面与z平面的映射关系,由S平面与Z平面间的映射 关系可知：S平面虚轴左方 的等线，映射到Z平面上 是一半径为 ，圆心 在坐标原点的圆，如图7-38 所示。当 时, ， 即闭环极点位于Z平面的坐标原点,处，相当于连续系统的极点位于S平面左半平面的无穷远处，这种系统 能以最短的时间到达稳态值，故称其为最少拍控制系统。,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,72,设离散控制系统的闭环脉冲传递函数为,当T(z)所有的极点均位于z平面的坐标原点处，则系统的闭环特征多 项式为,（7-73）,这样式（7-73）就简化为,（7-74）,对式(7-74)取z的反变换，求得系统脉冲响应的序列。,（7-75）,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,73,这表示其单位脉冲响应的瞬态过程式能以n拍有限时间结束。其中，n为闭环脉冲传递函数的极点数。,最少拍系统的设计,单位阶跃函数，单位斜坡函数和单位加速度函数的z变换表达式分别为,（7-76）,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,74,式中，A（z）为不含有（1-z-1）因子的z-1的多项式，m为正整数。最少拍系统的数字控制器D（z）是在满足下列条件下求得：,1） 系统的广义被控对象G（z）中不含有延迟因子z-1，且在z平面的单位圆上和圆外均无零、极点。 2） 要求所选择的闭环脉冲传递函数T（z）能满足系统在典型输入信号作用下，经过有限个采样周期后，系统的输出就能以无稳态误差跟踪输入信号。,由式（7-69）可知,（7-77）,根据终值定理，得,（7-78）,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,75,下面具体讨论在3种典型输入信号作用下的最少拍系统设计。,（1）单位阶跃函数输入,于是由式（7-70）求得,系统的输出响应为,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,76,图7-39a为最少拍系统的单位阶跃响应曲线。,（2）单位斜坡函数输入,据此，求得系统对应的D（z）为,系统的输出,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,77,自动控制理论,或写作,图3-39b为最少拍系统的单位斜坡响应序列,（3）单位加速度函数输入,据此，求得系统对应的D(z)为,系统的输出,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,78,图7-39c为最少拍系统单位加速度函数的响应序列,图7-39 最少拍系统的响应曲线,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,79,最少拍系统对于不同的典型输入信号，对其闭环脉冲传递函数和相应的数字控制器的要求见表7-5,表7-5 最少拍系统设计的总结,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,80,结论：,最少拍系统不仅动态响应快，而且无稳态误差，其设计方法简单，所求的数字控制器D（z）易于在计算机上实现。 最少拍系统是针对某一典型输入信号而设计，因而所求的数字控制器D（z）只适用于该输入信号，对于其他的输入信号，系统就不再具有最少拍系统的特性，因而这种设计方法对输入信号的适应性较差。,例7-20 现有一按单位斜坡输入设计的最少拍系统，由表7-5可知，其闭环脉冲传递函数为,检验该系统在单位阶跃和单位加速度信号输入时的响应特性。,解 单位阶跃输入为,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,81,即,系统的输出为,单位加速度输入为,即,图7-40和图7-41所示分别为单位阶段跃和单位加速度函数输入时的系统输出响应序列,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,82,图7-41,图7-40,（3）最少拍系统对参数的变化很敏感，另导致系统的闭环极点偏离z平面的 坐标原点，使系统的性能变坏。,（4）最少拍系统的设计只能保证在采样点上的误差为零，但不能使采样点间的误差为零，即系统存在着纹波。图7-42中的虚线为在单位斜坡输入下最少拍系统的实际响应曲线。,图7-42,例7-21,已知一离散控制系统如图7-43所示。其中K=10，Tm=1s,采样周期T=1s。要求该系统在r(t)=t输入时，实现最少拍控制。,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,83,求数字控制器D（z）； 分析该系统输出信号中有纹波的原因。,图7-43 例7-21中的离散控制系统,解,（1）由表7-5可知，系统的闭环脉冲传递函数应为,而,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,84,则由工（7-70）得,（2）因为,所以零阶保持器的输入为,即,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,85,该系统相关点的波形如图7-44图7-46所示。,数字控制器D（z）的实现,最少拍控制系统的设计是与输入信号R(z)的形式、广义对象的脉冲传递函数G(z)以及对输出有无纹波的要求有关。为了能设计出稳定的物理上可实现的最少拍控制系统的数字控制器D(z)必须按如下提出的要求去选择T(z)和Te(z)由式（7-70）得,（7-79）,根据式（7-79），提出下列要求：,1）为了保证系统稳定，T(z)和Te(z)不能含有z平面上单位圆上和单位圆外的极点。,2）若G(z)中含有延迟因子z-r，则需选择T(z)的分子部分要含有与G(z)完全相同的延迟因子z-r。,3） T(z)需把G(z)在单位圆上和单位圆外的零点作为自己的零点。,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,86,4） D(z)的极点数必须大于或等于其零点数。,图7-45,图7-46,自动控制理论,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,87,第八节 MATLAB在离散控制系统中的应用,自动控制理论,用MATLAB对离散系统进行分析与设计，有如下的优点：,1）离散系统稳定性的判别可由MATLAB直接求出闭环系统特征方程式的根， 或在z平面上直接画出闭环极点来回答。,2）应用Simulink直接对离散系统进行参数的调整与仿真，通过输出响应曲线 可直观地看到系统校正前后性能的变化。显然，用这种方法有利于设计出性能 优良的离散系统。,一、数学模型的处理,1. 求z变换和z反变换,MATLAB Toolbox工具箱中的指令ztrans和iztrans分别用于求取时间函数的z 变换和z反变换。求取时间函数f(t)的z变换可用指令,F=ztrans(f),2019/4/19,第七章 离散化控制系统,88,自动控制理论,求取F(z)的z反变换的指令为,F=iztrans(F),例7-22 （1）求单位斜坡函数f(t)=t的z变换,（2）求F(z)=z/3z2-4z+1的z反变换,解 1）在MATLAB命令窗口中键入指令：,Syms t T; Ztrans(t*T);,运行结果为,Ans= T*z/(z-1)2,2）在MATLAB命令窗口中键入指令：,Syms z; F=z/(3*z2-4*z+1); f=iztrans(F);,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,89,自动控制理论,运行结果为,Ans= 1/2-1/2*（1/3）n,2. 模型转换,将连续系统模型G(s)转换为离散系统的模型G(z)，可用指令c2d来实现，其 格式为 sysd=c2d(sys,T) 或 sysd=c2d(sys,T,method),前一种格式表示对连续对象sys离散化，且有零阶保持器，采样周期为T。后 一种格式比前一种格式多了用“method”定义离散化的方法。“method”可为以下字 符串之一：,zoh零阶保持器; “foh”一阶保持器; tustin双线性逼近（tusin）方法; prewarp采用改进fusin方法;,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,90,自动控制理论,反之，要实现由离散系统模型转换为连续系统的模型，可以使用指令d2c，其 格式为 sys=d2c(sysd,T,method),例7-23 已知G(s)=1/s(s+1)，T=1s，求G（z）。,Sys=tf(1,1 1 0); C2d(sys,1),运行结果略。,二、离散系统的输出响应,1. 输入函数的MATLAB表示,1）单位阶跃输入,若令k=100，T=1s，则在MATLAB中表示为,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,91,自动控制理论,2）单位斜坡输入,若取k=50，则在MATLAB中表示为,3）单位加速度函数输入,若取k=10，T=0.2s，则在MATLAB中表示为,2. 求离散系统的输出响应,设离散系统的闭环脉冲传递函数为,令输入信号为r，则可用指令,Y=filter(num,den,r),求取系统的输出响应。,2019/4/19,第七章 离散化控制系统,92,自动控制理论,例7-24 已知一离散控制系统如图7-47所示。若令K=1，T=1s，r(t)=1(t)，求系统 的输出响应。,图7-47 例7-24中的离散控制系统,解 由传递函数G(s)的z变换G(z)，求得该系统的闭环脉冲传递函数,%MATLAB程序如下 Num=0.632 0; Dem=1,-0.732,0.368; U=ones(1,51); K=0:50; Y=filter(num,den,u); Plot(k,y),grid; Xlabel(k);ylabel(y(k);,运行结果如图7-48所示。,图7-48 图7-4