[工学]自动控制原理第11讲根轨迹.ppt

第四章 根轨迹,本章重点研究问题 根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、非最小相位系统的根轨迹、广义根轨迹、增加开环极零点对根轨迹的影响、用根轨迹分析系统性能。 4.1 引言 控制系统的基本性能（稳定性、动态性能）主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点）。因此，确定闭环极点的位置，对于分析和设计系统具有重要意义。为了避免直接求解高阶系统特征方程根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种图解法根轨迹法。 根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，因此在工程实践中获得广泛应用。,考虑某一参数变化后，闭环极点运动规律（轨迹），了解闭环系统动态性能的变化。,利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点的分布。,闭环传递函数分母为零 称闭环系统特征方程式,4.2 根轨迹法的概念,1 定义：当系统中某一参数(一般以开环增益为变化参数)发生变化时，系统闭环特征根在S平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。,2 绘制根轨迹的条件：,由,得,幅值条件 相角条件,控制系统开环传递函数,系统的开环增益,:,K,时间常数形式,零点极点形式,系统的开环根轨迹增益,:,相角条件,幅值条件,由开环零极点指向轨迹点的向量的方位角。,(1) 当 从 变化时，S平面上系统特征根的变化形成轨迹。每一个 Kr 值，按幅值条件对应于根轨迹上的n个点。,(2) 根轨迹 上的点符合相角条件，且 符合相角条件的点一定在根轨迹上。故 相角条件是根轨迹的充要条件。,例4.1,开环极点：,无开环零点,闭环系统特征方程式:,闭环特征根:,1.,2.,3.,4.,验证：,规则2：根轨迹的分支数等于特征根个数(系统阶数) n,规则1：根轨迹起始于开环极点，终止开环零点：,利用根轨迹的性质（规则），可以绘制根轨迹的大致图形（草图），基本能满足工程需求。,4.3 绘制根轨迹的规则,规则3: 根轨迹的对称性：关于实轴对称。,规则4: 实轴上的根轨迹：凡右边具有奇数个零极点 的线段是根轨迹。,j,规则5：根轨迹的渐近线：共有（nm）条渐近线,与实轴交点 与实轴夹角,规则6：根轨迹的分离点、会合点和分离角：分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。闭环特征方程有重根。,解出 S 值，取 时的重根点。,闭环特征方程式：,分离角：,根轨迹进入并立即分离,规则7: 根轨迹与虚轴的交点：由s = j 代入闭环特征方程可得，f(j ) = 0，由方程可得交点的值。,例4.2,设单位负反馈控制系统开环传递函数：,试绘制控制系统根轨迹图。,解：,规则1：根轨迹起始于开环极点0，2，4， 终止开环零点， ， ,规则2：根轨迹的分支数等于特征根个数 n3,规则3: 根轨迹的对称性：关于实轴对称。,规则4: 实轴上的根轨迹线段是【2，0】，（，4】。,规则6：根轨迹的分离点：,舍去,实轴交点,与实轴夹角,规则5：根轨迹的渐近线：共有303条渐近线,规则7：与虚轴交点：,代入实部，,实部 虚部,劳斯表：,S3 1 8 S2 6 S1 0 S0 0,时，S1行全为0,辅助方程：6S2480,规则8：出射角和入射角：出射角对复极点,入射角对复零点。出射角和入射角都满足相角条件。,出射角(入射角)：根轨迹在出射点(入射点)的切线与实轴正方向的夹角。,设出射角为 ，入射角为,在-p1点上,一般式：,在-z1点上,一般,出射角 入射角,例4.3,取,出射角,（量角或计算）,规则9：特征根的和与积。,设闭环系统开环传递函数,根轨迹趋势,闭环系统特征方程式:,* 4.4 绘制非最小相位系统的根轨迹,最小相位系统：在S右半平面没有开环零点或开环极点的系统。否则为非最小相位系统。,非最小相位系统（下一章频率响应法进一步说明）,1 正反馈系统的根轨迹,G(s),H(s),+,闭环传递函数分母为零 称闭环系统特征方程式,得,幅值条件 相角条件（差别）,与相角条件有关的需要修改规则：,规则4: 实轴上的根轨迹：凡右边具有偶数个零极点 的线段是根轨迹。,j,规则5：根轨迹的渐近线：共有（nm）条渐近线,与实轴夹角,规则8：出射角和入射角,习题 设单位负反馈系统的开还传递函数,试绘制根轨迹图，并计算系统产生重实根和纯虚根的 值。,解：求分离点或会合点,产生重实根,产生纯虚根,特征方程式：,*4.5 广义（参数）根轨迹,前面讨论的都是以系统的开环根轨迹增益 为参数的根轨迹，实际上，也可以绘制除 以外的任何参变量的根轨迹。,在绘制广义根轨迹时可将闭环特征方程式进行等效变换，写成类似标准形式。,将特征方程式变换：,解：系统开环传递函数,例题 已知具有两个负反馈回路系统如图所示，试以反馈系数为参变量 绘制根轨迹。,将特征方程式变换：,求分离点或会合点,可以证明，该系统的根轨迹是一段以原点为圆心，半径为3的圆弧。,1.增加开环极点： 重心向右移，相对稳定性变差。,2.增加开环零点： 重心向左移，相对稳定性变好。,* 4.6 增加开环零极点对根轨迹的影响,3.增加开环偶极子： 在原点附近增加开环偶极子，系统的动态性能变化不大，稳态性能得到提高。,根轨迹局限: (1)无闭环零点信息 (2)表达稳态误差不直观,应用根轨迹法，可以迅速确定出系统在某一可变参数值下的闭环零、极点位置，得到相应的闭环传递函数。根据闭环零极点分布，确定（估计）系统的性能。,1.闭环零极点分布与单位阶跃响应的定性分析,设闭环传递函数：,结论,（1）Sk都具有负实部（在S左半平面），系统稳定。,（2）Sk远离虚轴， 衰减快，上升快，调整短。,（3）Sk共轭极点位于射线 ，超调量小。,（4）Ak小，动态过程短，,2. 闭环主导极点与闭环偶极子,闭环主导极点（一个或一对）：在闭环极点中离虚轴最近，而且附近无零点、极点，对稳定系统动态性能的影响最大，起着主要作用。系统降阶（一、二阶）。,闭环偶极子：闭环极点和零点相距最近。影响小忽略。,3. 用闭环主导极点估算系统