椭圆的常见题型及解法(一).doc

椭圆的常见题型及其解法(一)椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助.一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。1.公式的推导设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。证法1：。因为，所以又因为，所以，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以，而。，。2.公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，则 .解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、。，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。，即，。例2.是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。解：设，则 在椭圆上，的最大值为4，最小值为1.变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB的长度。解：由已知可得，所以直线AB的方程为，代入椭圆方程得设，则，从而变式练习2. 设Q是椭圆上任意一点，求证：以（或）为直径的圆C与以长轴为直径的圆相内切。证明：设，圆C的半径为r 即也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。故两圆相内切同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。3.椭圆焦半径公式的变式P是椭圆上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（1）；（2）。P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（3）；（4）。证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当不大于90时，在三角形PEQ中，有 由椭圆焦半径公式（1）得 。消去后，化简即得（1）。而当大于90时，在三角形PEQ中，有， 以下与上述相同。（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。4.变式的应用对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。例1. （2005年全国高考题）P是椭圆上一点，E、F是左右焦点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点F，若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：因为PFEF，所以由（2）式得 。再由题意得。注意到。例2. P是椭圆上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为，求三角形PEF的面积。解：设PF的倾斜角为，则：。因为a10，b8，c6，由变式（2）得 所以三角形PEF的面积变式训练1.经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60的直线和椭圆相交于A，B两点，若，求椭圆的离心率。解：由题意及变式（2）得化简得。变式训练2.设F是椭圆的上焦点，共线，共线，且0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。解：设PF倾斜角为，则由题意知PFMF，所以MF倾斜角为90，而，由题意及（3）式得同理得。由题意知四边形PMQN面积当时，；当时，。二 椭圆的焦点弦 设椭圆方程为过椭圆右焦点且倾斜角为的直线方程为，此直线交椭圆于两点，求焦点弦的长.例1、已知椭圆的长轴长，焦距，过椭圆的焦点作一直线交椭圆于、两点，设，当取什么值时，等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知是椭圆的焦点弦，且，从而，故由焦点弦长公式及题设可得：，解得，即或。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，直线通过点F，且倾斜角为，又直线被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的方程。分析：由题意可设椭圆E的方程为，又椭圆E相应于F的准线为Y轴，故有 （1）， 又由焦点弦长公式有 （2）又 （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：，从而所求椭圆E的方程为。变式训练1、已知椭圆C：（），直线：被椭圆C截得的弦长为，过椭圆右焦点且斜率为的直线被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的，求椭圆C的方程。分析：由题意可知直线过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有， （1）又由焦点弦长公式得=， （2） 因=，得，（3）又 （4）。解