[理学]线性代数第一讲.ppt

1,线性代数,2,线性代数,主 讲：,联系方式：,李发来3,第一讲 n 阶行列式的定义,4,第一章 行 列 式,在初等数学中,我们用代入消元法或加减消元,法求解二元和三元线性方程组，可以看出，线性,方程组的解完全由未知量的系数与常数项所确定,为了更清楚地表达线性方程组的解与未知量的系,数和常数项的关系，我们在本章先引入二阶和三,阶行列式的概念，并在二阶和三阶行列式的基础,上，给出 n 阶行列式的定义并讨论其性质，进而,把 n 阶行列式应用于解 n 元线性方程组,5,主要内容 n 阶行列式的定义、性质及其计算. 克拉默法则 重点内容 行列式的计算,行列式是一种常用的数学工具，在数学及其他学科,中都有着广泛的应用,6,第一个单元 二阶与三阶行列式,7,在讨论 n 阶行列式之前，先简单回顾一下,一、二阶行列式,引例1 用消元法解二元线性方程组,（）,二阶和三阶行列式,8,解,用加减消元法，可得,当 a11a22 - a12a21 0 时，求得方程组（）的解为,（）,9,为了记忆该公式，引入记号,并称之为二阶行列式,称 aij 为行列式的(i , j )元素或元,第二个下标称为列标，,表示该元素所在的列，常,置，第一个下标称为行标，,表示该元素所在的行，,素，,aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位,其中 aij 称为行列式的元,10,由二阶行列式的定义，(2),若记,则当 时，方程组(1),注意：称为系数行列式，j是用常数项b1, b2替换中的第 j 列 (j=1,2).,子也可写成二阶行列式，即,有唯一解,式中 x1，x2 的分,11,二、三阶行列式,引例 2 用消元法解三元线性方程组,解,12,为了记忆三元线性方程组的求解公式,可引入,三阶行列式.,三阶行列式的定义如下:,定义,设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表,记,（4）式称为数表（3）所确定的三阶行列式.,13,其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一,条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代,数和就是三阶行列式的展开式.,三阶行列式的展开式也可用对角线法则得到,三阶行列式的对角线法则如下图所示:,14,例 1 计算三阶行列式,三、举例,解,15,例 2 求解方程,解,16,四、思考与推广,可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不,等于零时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方,程组的求解公式,即,xj = Dj /D , （ j = 1, 2, 3 ）.,现在的问题是,对于 n 元线性方程组,是否也,有类似的求解公式.,但要讨论 n 元线性方程组,首,先就要把二阶和三阶行列式加以推广,引入 n 阶行,列式的概念.,17,第二单元 全排列及其逆序数,18,一、引例,引例,用1，2，3三个数字可以组成多少个没,有重复数字的三位数？,在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字,1，2，3叫做元素.,上述问题就是：把三个不同的,元素排成一列，共有几种不同的排法？,解,19,二、全排列,对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问,题：,把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同,的排法？,为此先给出全排列的定义.,定义,把 n 个不同的元素排成一列，叫做这,n 个元素的全排列（也简称排列）.,n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表,示.,由,的结果可知 P3 = 3 2 1 = 6.,引例,20,为了得出计算 Pn 的公式，可以仿照,进行讨论：,从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上，,有 n 种取法；,从剩下的 n 1 个元素中任取一个放在第二,个位置上，有 n 1 种取法；,这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放,在第 n 个位置上，只有 1 种取法.,于是,Pn = n (n 1) 3 2 1 = n! .,引例,21,三、排列的逆序数,定义,对于 n 个不同的元素，先规定各元素,之间有一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可,规定由小到大为标准次序），,于是在这 n 个元素的,任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次,序不同时，就说有 1 个逆序.,一个排列中所有逆,序的总数叫做这个排列的逆序数.,1. 定义,等价定义,22,逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶,在一个 n 阶排列中,任何一个数对不是构成,逆序就是构成顺序.,如果我们把顺序的个数称为顺,序数,则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为,n(n -1)/2.,数的排列叫做偶排列.,23,下面来讨论计算排列的逆序数的方法.,2. 计算方法,不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个,自然数，,并规定由小到大为标准次序.,设,为这 n 个自然数的一个排列，,考虑元素 pi （i = 1,2, , n），,如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有,ti 个，就说 pi 这个元素的逆序数是 ti .,全体元素的,逆序数之和,24,即是这个排列的逆序数.,例 3 求排列,的逆序数.,解,方法1,25,例 4 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的,解,解,解,奇偶性.,26,第三单元 n 阶行列式的定义,27,一、 三阶行列式的定义,为了给出 n 阶行列式的定义,先来研究三阶行,列式的结构.,三阶行列式的定义为:,28,任一项除正负号外可写成,个下标(行标)排成标准排列 123 , 而第二个下标,容易看出:,(1) 上式右边的每一项都恰是三个元素的乘,积,这三个元素位于不同的行、不同的列,因此，,这里第一,29,(列标)排成 p1p2p3 ,它是1，2，3这三个数的某个,有项,(2) 各项的正负号与列标的排列对照,带正号的三项列标排列：123 , 231 , 312 ;,(为偶排列),带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321.,(为奇排列),故三阶行列式可以写成,排列,这样的排列共有 3!=种，故上式右端共,30,其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，,到一般的情形，得到 n 阶行列式的定义,类似地，可以把三阶行列式的这一定义推广,3 三个数的所有排列 p1p2p3 求和,思考：二阶行列式有没有这样的规律？,31,二、 n 阶行列式的定义,定义 设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表,冠以符号(-1)t，得到形如,作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积，并,an1 an2 ann,.,a21 a22 a2n,a11 a12 a1n,32,的项，其中 p1p2 pn 为自然数1，2， ，n 的一,称为 n 阶行列式，记作,数和,共有n! 个，因而共有 n! 项,所有这 n! 项的代,个排列，t 为这个排列的逆序数,由于这样的排列,33,简记作 det(aij)，其中数 aij 为行列式 D 的（i,j）,元.,这样定义的二阶、三阶行列式与用对角线,法则定义的二阶、三阶行列式显然是一致的.,34,三、 举例,例 5 证明 n 阶行列式(其中主、副对角线,上的元素是 i , 未写出的元素都是),证明,35,例 6 证明下三角行列式,的理解,下面再举一个例子,为了使同学们进一步加深对 n 阶行列式定义,证明,注意,36,例 7 设有 阶行列式,问该行列式的展开式是几次多项式，并求最高 幂的系数,解,37,证明,证明,38,第1讲 小结：,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.,39,排列具有奇偶性.,计算排列逆序数常用的方法有2 种.,n 个不同元素的所有排列的种数:,Pn = n (n 1) 3 2 1 = n! .,阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,40,补例 解线性方程组,解,41,课外作业,1、P25 第1题（1），（3）,2、P25 第2题（2），（4），（6）,42,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击结束按钮.,43,（）,（）,44,（）,（）,45,由方程组的九个系数确定.,用消元法可解得：,注意：分母,46,例 1 计算三阶行列式,解 由对角线法则, 得,47,例 2 求解方程,解,方程左端的三阶行列式,由,解得 x = 2 或 x = 3.,48,引例,用1，2，3三个数字可以组成多少个没,有重复数字的三位数？,解,这个问题相当于说，把三个数字分别放在,百位、十位与个数上，有几种不同的放法？,显然，百位上可以从1，2，3三个数字中任选,一个，所以有3种放法；,十位上只能从剩下的两个,数字中选一个，所以有2种放法；,而个位上只能放,最后剩下的一个数字，所以只有1种放法.,因此，,共有 3 2 1 = 6 种放法.,这六个不同的三位数是,123，231，312，132，213，321.,49,等价定义 在一个 n 阶排列 i1 i2 in 中,按照在排列中的顺序任取两个数,记作（ij ,ik）,其,中 j k ,称为排列的一个数对,若 ij ik ,则称,这两个数构成顺序;,若 ij ik ,则称这两个数构成,逆序.,一个 n 阶排列中逆序的个数称为这个排列,的逆序数.,50,例 3 求排列,的逆序数.,解 在排列,中构成逆序的,数对为,所以这个排列的逆序数为,排列的奇偶性:,奇排列,偶排列,51,例4 计算排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,方法1,从右计数也行,52,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,例4 计算排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,方法2,53,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,根据方法1,例4 计算排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,54,第一式是显然的，下面只证第二式., (- 1)t a1na2,n-1 an1 = (- 1)t 1 2 n ,t = 0 + 1 + 2 + + (n - 1) = n (n - 1)/2 .,其中 t 为排列 n(n - 1) 2 1 的逆序数，故,证毕,证明,55,例 6 证明下三角行列式,由于当 j i 时,aij = 0,故D 中可能不为,p1 1,p2 2, ,pn n .,证明,即,56,在所有排列 p1p2 pn 中，能满足上述关系的排列,证毕,D a11a22 ann .,所以,(-1)t =(-1)0 = 1 ，,的项只有一项(-1)t a11a22 ann.,此项的符号,只有一个自然排列 12 n，所以 D 中可能