微积分答案详解.doc

一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知,且,则.答案：王丽君解：,.2、已知为常数,则.答案：孙仁斌解：.3、已知,则.答案：俞诗秋解：4、函数的拐点数为.答案：俞诗秋解：有3个零点:,有2个零点:,显然符号是：,故有2个拐点.5、 .答案：张军好解：.二、选择题(每小题3分,共15分)答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。1、设为偶函数,为奇函数,且有意义,则是(A) 偶函数；(B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数；(D) 可能奇函数也可能偶函数.答案：A王丽君2、是函数的(A) 跳跃间断点；(B) 连续点；(C) 振荡间断点；(D) 可去间断点.答案：D俞诗秋3、若函数在处不可导，则下列说法正确的是(A) 在处一定不连续；(B) 在处一定不可微；(C) 在处的左极限与右极限必有一个不存在；(D) 在处的左导数与右导数必有一个不存在.答案：B江美英4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是： (A) ； (B) (C) ； (D) 答案：D俞诗秋5、若函数存在原函数,下列错误的等式是： (A) ； (B) ；(C) ； (D) .答案：B秋俞诗三、计算题(每小题6分,共60分)1、设,求.答案： 王丽君,俞诗秋解：令,则, (3分)于是. (6分) 2、计算.答案： 俞诗秋解： (3分). (6分)3、求极限.答案： 俞诗秋解：由于， (3分)而, ,所以. (6分)4、求极限.答案： 俞诗秋解： (4分). (6分)5、求函数的导数.答案： 俞诗秋解：(2分). (6分)6、求曲线在点处的法线方程.答案： 江美英,俞诗秋解： 方程两边对求导得：,将代入得法线斜率, (3分)从而法线方程为：, 即： . (6分)7、求曲线的凹凸区间和拐点. 答案：曲线在区间和是凹的,在区间是凸的拐点为, 俞诗秋解：(1), (2), ,(3),得,. , (3分)(4) 列表如下：+0-0+凹拐点凸拐点凹(5) 曲线的拐点为、(6) 曲线在区间和是凹的,在区间是凸的 (6分)8、计算答案： 俞诗秋解： (3分) (6分)9、计算答案： 俞诗秋解： (3分), (6分)10、设某商品的需求函数为,其中分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.答案：,当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少.俞诗秋解：总收益函数为,令,得,而,可见, 当时, 总收益达到最大. (3分) 此时需求弹性, (5分)说明,当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少. (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)1、证明方程在区间内有且只有一个实根. 孙仁斌,俞诗秋证明：显然,由于,由零点定理知,即；(3分)又因,知,所以方程在区间内有且只有一个实根.(5分)2、设在闭区间连续,在开区间可导,且,证明在内必存在一点,使得.俞诗秋证明: 令,显然,且,由罗尔定理知：,所以.一、填空题(每小题3分,共15分)1、设，且当时，则 。（）2、计算广义积分= 。（）3、设，则 。（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、设，则_。（1）二、选择题(每小题3分,共15分)1、的值为 （ A ）A.3 B.0 C.2 D.不存在2、和存在是函数在点可微的 （ A ）。 A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是 （D）。A. ； B. ；C、； D. 4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，则其通解为 （C ）。 A.； B.； C.； D.5、无穷级数(为任意实数) （D）A、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断 三、计算题(每小题6分,共60分)1、求下列极限：。解： （3分） （6分）2、求由与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解： （4分） （6分）3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：方程两边对求导得:,有 （3分）方程两边对求导得:,有 （6分）4、求函数的极值。解：，则， 求驻点，解方程组得和. （2分）对有，于是，所以是函数的极大值点，且 （4分）对有，于是， 不是函数的极值点。 （6分）5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式: .若提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.解：显然本题要求:在条件下,求的最大值.令, （3分）解方程组 （5分）得:, 所以,若提供的广告费用为万元,应将万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略. （6分）6、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域；解：. （4分） （6分）7、已知连续函数满足，且，求。解：关系式两端关于求导得：即 （2分）这是关于的一阶线性微分方程，其通解为： = （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求解微分方程=0 。解：令，则，于是原方程可化为： （3分） 即，其通解为 （5分） 即故原方程通解为： （6分）9、求级数的收敛区间。解：令,幂级数变形为,. （3分）当时,级数为收敛；当时,级数为发散. 故的收敛区间是, （5分）那么的收敛区间为. （6分）10、 判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为 （2分）由比值判别法知收敛()， （4分）从而由比较判别法知收敛，所以级