2018_2019学年高中数学圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学案苏教版.docx

2.3.1双曲线的标准方程学习目标：1.了解双曲线标准方程的推导过程(难点)2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程(重点、难点)3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题(难点)自 主 预 习探 新 知双曲线的标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系b2c2a2基础自测1判断正误：(1)1表示焦点在y轴上的双曲线()(2)在双曲线标准方程1中，a0，b0，且ab.()(3)双曲线的标准方程中，a，b的大小关系是ab.()【解析】(1).方程1表示焦点在x轴上的双曲线(2).当ab时方程也表示双曲线(3).双曲线的标准方程中a，b的大小关系不确定【答案】(1)(2)(3)2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，则C的方程是_. 【导学号：95902104】【解析】右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c3.又离心率为，故a2，b2c2a232225，故C的方程为1.【答案】1合 作 探 究攻 重 难求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)过点P，Q；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上；(3)与双曲线1有相同焦点且过点P(2,1)思路探究解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程，也可以设双曲线方程为mx2ny21(mn0)的形式，将两点代入，简化运算过程，解答(2)可设双曲线的标准方程1(a0，b0)，也可将方程设为1(06)，把点(5,2)的坐标代入求解；(3)根据条件设出双曲线的标准方程解方程组可求【自主解答】 (1)方法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，点P和Q在双曲线上，解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P，Q两点坐标代入可得解得双曲线的标准方程为1.方法二：设双曲线的标准方程为mx2ny21(mn0)，因为双曲线过点P，Q，所以，解得，所以所求双曲线方程为1.(2)方法一：依题意可设双曲线方程为1(a0，b0)依题设有解得所求双曲线的标准方程为y21.方法二：焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06)双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去)所求双曲线的标准方程是y21.(3)由题意，设双曲线方程为1(a0，b0)两双曲线有相同焦点，a2b2c242. 又点P(2,1)在双曲线1上1. 由、联立，得a2b23.故所求双曲线方程为1.规律方法利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论.(2)设方程：根据焦点位置，设方程为1或1(a0，b0)，焦点不定时，亦可设为mx2ny21(mn0，n0)，则，双曲线方程为1.曲线类型的讨论已知方程kx2y24，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型思路探究由方程满足圆、椭圆、双曲线的条件，对k的值分类讨论，确定曲线类型【自主解答】(1)当k0时，y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程为x2y24，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程为1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程为1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k1时，方程为1，表示焦点在y轴上的椭圆规律方法将方程化为标准方程的形式，假如方程为1，(1)当mn0且m0，n0，mn时表示椭圆.(3)当mn0时表示圆.跟踪训练2(1)如果方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是_(2)“ab0”是方程ax2by2c表示双曲线的_条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)【解析】(1)由题意知(m2)(m1)0，解得2m1，故m的取值范围是(2，1)(2)若ax2by2c表示双曲线，即1表示双曲线，则0，这就是说“ab0”是必要条件，然而若ab0，c0时不表示双曲线，即“ab0”不是充分条件【答案】(1)(2，1)(2)必要不充分双曲线的定义及标准方程的应用探究问题1双曲线的定义是什么？如果把双曲线定义中的动点设为P，常数设为2a，你可以用一个数学式来表示双曲线的定义吗？【提示】平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2 的正数)的点的轨迹叫做双曲线用数学式可表示为|PF1PF2|2a(2aF1F2)2设F1PF2，类比上一节对椭圆中焦点三角形的讨论，能否用双曲线方程1(a0，b0)中的参数来表示三角形PF1F2的面积？【提示】在三角形PF1F2中，F1F22c.由余弦定理可得F1FPFPF2PF1PF2cos (PF1PF2)22PF1PF2(1cos )，即4c24a22PF1PF2(1cos )，所以PF1PF2，所以SPF1F2PF1PF2sin .3设点F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则三角形PF1F2叫做该双曲线的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？ 【提示】要注意充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式如图231所示，已知双曲线中c2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，F1PF260；SF1PF212.求双曲线的标准方程. 【导学号：95902106】图231思路探究设出双曲线的标准方程，利用双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式构建方程组，解之可得双曲线的标准方程【自主解答】由题意可知双曲线的标准方程为1.由于|PF1PF2|2a，在F1PF2中，由余弦定理得cos 60所以PF1PF24(c2a2)4b2，所以SF1PF2PF1PF2sin 602b2b2，从而有b212，所以b212，c2a，结合c2a2b2，得a24.所以双曲线的标准方程为1.规律方法1在椭圆或双曲线中，凡涉及以两焦点和椭圆或双曲线上一点为顶点的三角形(称为焦点三角形)的问题，一般都可以从圆锥曲线的定义和勾股定理(或正、余弦定理)等知识入手来解决问题2在解题过程中，应注意到椭圆与双曲线定义的不同，配方时，一个配成(PF1PF2)2，另一个配成(PF1PF2)2.跟踪训练3设P为双曲线x21上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若PF1PF232，则PF1F2的面积为_【解析】由已知得2a2，又由双曲线的定义得，|PF1PF2|2，又PF1PF232，PF16，PF24.又F1F22c2.由余弦定理得cos F1PF20.三角形为直角三角形SPF1F26412.【答案】12构建体系 当 堂 达 标固 双 基1双曲线1的焦距为_. 【导学号：95902107】【解析】c2m2124m216，c4,2c8.【答案】82满足条件a2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为_【解析】由a2，c4，得b2c2a212，又一焦点(4,0)在x轴上，双曲线的标准方程为1.【答案】13双曲线1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为_. 【导学号：95902108】【解析】a225，a5，由双曲线定义可得|PF1PF2|10，由题意知PF112，PF1PF210，PF222或2.【答案】22或24双曲线y21的两焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，且满足F1PF2，则F1PF2的面积等于_【解析】设|PF1|x，|PF2|y，(xy)根据双曲线定义可知xy4，F1PF2，x2y220，2xyx2y2(xy)2，xy2，SPF1F21.【答案】15如图232所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 【导学号：959