应用统计学与随机过程第1章习题解答.pdf

湖南大学本科课程随机过程第 1 章习题及参考答案 主讲教师：何松华 教授 1. 设一批产品共设一批产品共设一批产品共设一批产品共 50 个个个个，其中其中其中其中 45 个合格个合格个合格个合格，5 个为次品个为次品个为次品个为次品，从这一批产品中任意抽取从这一批产品中任意抽取从这一批产品中任意抽取从这一批产品中任意抽取 3 个个个个， 求其中有次品的概率求其中有次品的概率求其中有次品的概率求其中有次品的概率。 解解解解：记连续三次抽得的产品为记连续三次抽得的产品为记连续三次抽得的产品为记连续三次抽得的产品为 X、Y、Z，Q 表示合格表示合格表示合格表示合格，N 表示次品表示次品表示次品表示次品 解法 1：根据古典概率模型 ()()() ()()()() 545444554445445 504948504948504948 544545545454543 504948504948504948504948 NQQQNQQQN NNQQNNNQNNNN PP X Y ZP X Y ZP X Y Z P X Y ZP X Y ZP X Y ZP X Y Z =+ + =+ + 解法2： 454443 1()1 504948 QQQ PP X Y Z= = 2. 设一批零件共设一批零件共设一批零件共设一批零件共 100 个个个个，次品率为次品率为次品率为次品率为 10%，每次从其中任取一个零件每次从其中任取一个零件每次从其中任取一个零件每次从其中任取一个零件，取出的零件不再取出的零件不再取出的零件不再取出的零件不再 放回放回放回放回，求第求第求第求第 3 次才取得合格品的概率次才取得合格品的概率次才取得合格品的概率次才取得合格品的概率。 解解解解：记记记记连续三次抽得的产品为连续三次抽得的产品为连续三次抽得的产品为连续三次抽得的产品为 X、Y、Z 解法1： 10990 1009998 NNQ PP X Y Z= 解法2： 1 9010901098 1 100100991009998 QNQNNN PP XP X YP X Y Z= = 3. 设设设设一袋中有一袋中有一袋中有一袋中有 N 个球个球个球个球，其中有其中有其中有其中有 M 个红球个红球个红球个红球，A、B 两人先后各从袋中取出一个球两人先后各从袋中取出一个球两人先后各从袋中取出一个球两人先后各从袋中取出一个球，求求求求 B 取得红球的概率取得红球的概率取得红球的概率取得红球的概率(甲取出的球不放回甲取出的球不放回甲取出的球不放回甲取出的球不放回)。 解解解解：根据全概率公式与贝叶斯公式根据全概率公式与贝叶斯公式根据全概率公式与贝叶斯公式根据全概率公式与贝叶斯公式 () 1 | | 11 RRRNRR RRRNRRNR P BP A BP A B MMNMMM P AP BAP AP BA NNNNN =+ =+=+= (结论：先取、后取没区别，取得红球的概率相同) 4. 设一批产品有设一批产品有设一批产品有设一批产品有 N 个个个个，其中有其中有其中有其中有 M 个次品个次品个次品个次品，每次从其中任取一个来检查每次从其中任取一个来检查每次从其中任取一个来检查每次从其中任取一个来检查，取出后再放回取出后再放回取出后再放回取出后再放回， 求求求求连续连续连续连续 n 次取得合格次取得合格次取得合格次取得合格品的概率品的概率品的概率品的概率。 解解解解： 12 (.) n QQnQ NM PP XXX N = 5设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 X 的的的的概率概率概率概率分布函数分布函数分布函数分布函数为连续的为连续的为连续的为连续的，且且且且 0 ( ) 00 x ABex F x x + = 11随机变量随机变量随机变量随机变量 X 服从标准正态分布服从标准正态分布服从标准正态分布服从标准正态分布 2 1 ( )exp 22 X x fx =，求随机变量求随机变量求随机变量求随机变量 n YX=(n 为正整为正整为正整为正整 数数数数)的数学期望及方差的数学期望及方差的数学期望及方差的数学期望及方差。 解解解解：当当当当 n 为正的奇数时为正的奇数时为正的奇数时为正的奇数时， 2 1 ( )exp 22 n X x x fx =为奇函数为奇函数为奇函数为奇函数， ( )0 n X E Yx fx dx = ； 当当当当 n 为正的偶数时为正的偶数时为正的偶数时为正的偶数时 z 1 0 x y 阴影部分为满足 x+y0)，求求求求Y的概率密度分布的概率密度分布的概率密度分布的概率密度分布。 解解解解： 2 2 ()1 ( )exp 22 X X X X xm fx = 存在两个反函数存在两个反函数存在两个反函数存在两个反函数： 1( ) /xh yy c=、 2( ) /xh yy c= 1122 22 22 ( ) |( )| ( ) |( )|( ) (/)(/)1111 exp exp (0) 222222 YXX XX XX XX fyhyfh yhyfhy y cmy cm y cycy =+ + =+ 13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为设二维随机变量的联合概率密度分布函数为设二维随机变量的联合概率密度分布函数为设二维随机变量的联合概率密度分布函数为 ( , )sin() (0,0) 22 XY fx yAxyxy =+ (1) 求系数求系数求系数求系数A，(2)求数学期望求数学期望求数学期望求数学期望EX、EY，方差方差方差方差DX、DY；(3)求求求求X、Y的相关函数的相关函数的相关函数的相关函数 及相关系数及相关系数及相关系数及相关系数。 解解解解：(1) 222 000 sin()cos()cos( ) 2 sin()sin() sin()sin(0)21 2222 Axy dxdyAyy dy AA += + = += 1/ 2A = (2) 22 00 111 ( )( , )sin()cos()cos( )cos( )sin( ) 2222 XXY fxfx y dyxy dyxxxx =+= +=+ 同理可得， 2 0 1 ( )( , )cos( )sin( ) 2 YXY fyfx y dxyy =+ 2 0 2222 0000 /2/2 22 00 00 1 cos( )sin( ) 2 1111 cos( )sin( )sin( )cos( ) 2222 1111 sin( )sin( )cos( )cos( ) 22224 xx E Xxxx dx xx dxxx dxxdxxdx xxx dxxxx dx = =+ =+= =+= 根据概率密度分布函数的对称性得到 / 4E YE X=。 22 2 0 2222 2222 0000 22 2222 0000 2 22 00 1 cos( )sin( ) 2 1111 cos( )sin( )sin( )cos( ) 2222 sin( )cos( )cos( )sin( ) () 88 cos( )sin( ) 82 E Xxxx dx xx dxxx dxx dxx dx xx dxxx dxxdxxdx x dxx d =+ =+= =+=+ =+ 根据分部积分 2 2 82 x =+ 22 222 ( )2()2 824162 D XE XE X =+=+ 根据对称性得到 2 2 162 D YD X =+ (3) 2222 0000 22 00 2 0 22 00 11 sin()cos() 22 1 cos()cos() 222 1 cos()sin()sin( ) 2222 111 (1)sin( )cos( )(1)sin( )cos( ) 222 22 E XYxyxy dxdyyxdxy dy yyxy dx dy yyyy dy yyy dyyy dyyy =+= + = + = + =+=+ 2 0 22 00 11 (1)cos( )sin( ) () 2 242 11 (1)1 2 2422 dy y dyy dy =+ =+= 根据分部积分 2 1 216 XY KE XYE X E Y = 2 2 1 216 2 162 XY XY XY K r = + 14设设设设X为拉谱拉斯随机变量为拉谱拉斯随机变量为拉谱拉斯随机变量为拉谱拉斯随机变量， | | ( ) (-) (0) 2 x X fxex = ；求求求求：(1)X的特征的特征的特征的特征 函数函数函数函数，(2)利用特征函数求利用特征函数求利用特征函数求利用特征函数求X的均值与方差的均值与方差的均值与方差的均值与方差，(3)讨论特征函数实部与虚部的奇偶性讨论特征函数实部与虚部的奇偶性讨论特征函数实部与虚部的奇偶性讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。 解解解解：(1) 根据定义根据定义根据定义根据定义 0 | | 0 0 ()()2 22 0 ( )( ) 222 11 222 j xxj xxj xxj x XX jxjx fx edxeedxeedxe edx ee jjjj + =+ =+= + (2) 根据随机变量的原点矩与特征函数之间的关系 0 ( ) () n nn X n d E Xj d = = 2 222 0 0 ( )2 ()()0 () X d E Xjj d = = = = = + 222222222 222 22242 00 ( )2()8()2 ()() () X d E Xjj d = + = = = + 22 2