数值计算方法学习报告.doc

河北联合大学2012级研究生学院：研究生学院 专业：建筑与土木工程 学号：2012205103 2012205104 2012205114 姓名：胡晔 李学莲 周向楠 成绩： 数值微分及应用研究第一章 数值微分的描述1、 数值微分描述数值微分(numerical differentiation)是根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值。例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。2、 数值微分的相关概念根据函数在一些离散点上的函数值来估计函数在某点导数或高阶导数的近似值的方法，称为数值微分。多项式插值是最常见的一种函数插值。在一般插值问题中，若选取为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。从几何上看可以理解为：已知平面上n+1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。 三次样条函数定义：函数且在每个小区间上是三次多项式，其中是给定节点，则称是节点上的三次样条函数。若在节点上给定函数值并成立则称为三次样条插值函数。3、 数值微分的相关理论主要有微分中值定理，下面介绍以下几种微分中值定理。3.1罗尔定理我们先讲罗尔定理，然后根据它推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。图3-1先将介绍费马引理 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有那么。罗尔定理 如果函数满足（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导；（3） 在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。3.2拉格朗日中值定理（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导；那么在内至少有一点，使等式。3.3柯西中值定理如果函数及满足（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导；（3） 对任一。那么在内至少有一点，使等式成立。4、 数值微分及应用研究国内外研究进展数值微分问题相对其他问题而言是一个古老的问题，从上个世纪中期至今国内外有众多的学者进行这一课题的研究，得到的科研结果也很丰富。如果理论研究中不考虑数据的误差，用一般的有限差分法就能求得近似的导数，并且已经有很多人对有限差分法的收敛性进行了研究。但如果数据带有误差，用有限差分法就有可能造成数值解的误差很大。通常都用划分的间距不能太小的办法来解决，及测量点不能太多，在此条件下计算结果还可以接受，否则有可能测量点去的越多结果越差。然而这一要求不符合人们的思维习惯，人们习惯性地认为，数据越多越能帮助得到更精确的结果。5、 数值微分及应用研究国内外研究现状针对上面谈到的问题，使许多学者开始从其他角度来考虑数值微分问题，这种方法就是用Tikhonov正则化方法，此法对求解不适定问题以及反问题是理论上最完备而实践上行之有效的。求解数值微分的问题本质上是不适定的，因此必须用正则化法，其中正则化参数的选取是该方法的一个核心问题。严格来讲稳定的近似求导方法都是基于正则化思想，所不同的是正则化解算子的构造和正则化参数的选取。6、 数值微分方法有多少？ 比较常用的数值微分方法有四种：差商型数值微分、插值型数值微分、三样条型数值微分、数值微分的外推算法。第二章 算法的研究一、数值微分方法有多少（方法种类）？1. 数值微分方法有多少？比较常用的数值微分方法有四种：差商型数值微分、插值型数值微分、三样条型数值微分、数值微分的外推算法。下面我们一一介绍各种方法。1.1差商型数值微分公式当函数是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算的导数。在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。（1）向前差商公式（2）向后差商公式（3）中心差商公式1.2插值型数值微分（1）两点数值微分公式（）过节点的插值型数值微分两点公式为 其截断误差为，其中。 （2）三点数值微分公式过节点的插值型计算导数的三点公式为 其截断误差为 二阶数值微分公式 注：此公式是三点公式。（3） 三样条型数值微分 三次样条函数作为的近似，不但函数值很接近，导数值也很接近，并有因此利用三次样条函数直接得到这里为一阶均差，其误差为（4） 数值微分的外推算法利用中点公式计算导数值时对在点做泰勒级数展开其中与无关，利用理查森外推对逐次分半，若记，则有根据理查森外推方法，误差为由此看出当m较大时，计算是很精确的。考虑到舍入误差，一般m不能取太大。2. 经典的数值微分方法中点方法。二、数值微分方法哪个好？（方法比较）？1. 数值微分方法的优缺点分析1）：中点方法的优点是公式的精度较高，而缺点是从舍入误差的角度来看很小时，接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。2）：插值型数值微分法的优点是可以建立高阶的数值微分公式，缺点是即使与的近似度非常好，导数与在某些点上的差别仍旧可能很大，因而，在应用数值微分公式时，要重视对误差的分析。3）：三样条型数值微分法的优点是可以求非节点处的12阶导数，精度高，缺点是要求预知边界条件，要解三对角方程组，比较复杂。4）数值微分的外推算法的优点是加速的效果很明显，缺点是倘若在外推的过程中的某一步出现截断误差的首项系数为零，则继续使用上述办法进行外推会得到出错误的结果，而且由于，故而外推次数不宜过多，否则会引起计算的不稳定性。2. 最好的方法是还是中点方法。第三章 算法的应用一、 数值微分方法怎么用？（程序设计）？1. 一般程序设计mathematic2. 举例验证计算在点的前10阶导数的值，把结果以表格的形式列出。fx_ := Expx3; dtable = Tablen, Dfx, x, n /. x - 0.5, n, 1, 10; TableFormdtable, TableAlignments - Center, TableDirections - Row 运行结果：n123450.84994.036814.925762.8233371.552n6789102116.5613929.51017107661716329570二、数值微分方法用哪好？ 1. 数值微分三点公式方法在给排水专业的应用拉格朗日法研究流体的运动中，通过照相机拍摄同一标记物在不同时刻的位置，由不同时刻的位置研究质点速度的问题。 2. 数值微分方法在你了解的其他领域的应用电路震荡、化学反应及生物群体的变化等。第四章 算法展望数值微分就是用离散的方法近似地求出函数在某点的导数值，关于数值微分已经有许多求解方法，但这些方法都有各自的局限性，并且关于高阶导数的近似逼近的方法的研究相对较少。近几年数学家有提出了两种求解高阶数值微分的新方法，并给出了高阶导数近似逼近的误差估计。方法一是利用Tikhonov正则化方法，通过构造一个五次样条函数研究了不等距分布下的高阶数值微分问题。由于在讨论中的采样取值是随机的，使得该方法具有较大的实用性。方法二是在等距分布的条件下，基于三次样条差值函数的三弯矩算法，通过利用节点处弯矩的加权和近似计算区间中点处的二阶导数。该方法简单易懂，并且具有比用三次样条差值函数求二阶数值微分更高阶的计算精度。基于数值微分计算方法在各个领域的重要作用，在众多学者的努力下，更为完善的方法必将继续出现，更为简单精确的解决数值微分的方法的出现及应用必将指日可待。第五章 学习思考一、数值微分相关的问题（我的思考）通过对本节的学习，可否自己出题，并用多种方法求解？二、 我的课题作业1、地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是这是是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。解：从而有01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646即人造卫星轨道的周长为48708km2、证明等式 试依据的值，用外推算法求的近似值。解： 若又此函数的泰勒展式为当时, 当时, 当时, 由外推法可得n32.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.141580故3、求如下数值微分公式的系数，使其对次数尽可能高度的多项式精确成立。，导出该数值微分公式的余项表达式。解： 令分别代入（1）中，使数值微分公式精确成立，得解上述关于的方程组，得故设余项,代入上式，得从而，导出该数值微分公式的余项表达式为。4、设，计算的误差不超过，试证明：当时，可使计算二阶倒数的中心差商公式的截断误差和舍入误差的总和达到最小。证明：因二阶导数的中心差商公式的截断误差估计为又设的舍入误差分别为，令，则二阶导数的中心差商公式 的舍入误差可估计为 故截断误差和舍入误差界的总和为 使达到最小的步长应满足 从而得最佳步长为 5、用变步长的中点方法求在处的导数值,设取起算。解： 这里采用的计算公式是，计算结果见表： k0123910G(h)3.017652.79132.736442.722812.718282.71828表中代表二分的次数，步长。二分9次得结果，它的每一数字都是有效数字(所求导数的准确值为)。6、 已知函数的下列数值:x2.52.62.72.82.9y12.182513.463714.879716.444618.1741本题没有明确指出用哪些点处的函数值来求。因此，随着步长h不同,导数值有可能不同。另外, 用两点函数值时，只能求一阶导数值.解取时，两点公式有两种取法当时，当时， 三点公式取得 7 用外推算法计算在的导数。解：令，当h=0.1，0.05,0.025时，由外推算法表可算得， 的精确值为0.454897994，可见当h=0.025时用中点微分公式只有3位有效数字，外推一次可以达到5位有效数字，外推两次可以达到9位有效数字。 学习报告必须完成的作业组号习题所在章习题所在页习题号备注1第1章P19-21No.1No.62第1章P19-21No.7No.123第1章P19-21No.13No.174第2章P48-49No.1No.65第2章P48-49No.7No.126第2章P48-49No.13No.187第2章P50No.1No.38第3章P94No.1No.69第3章P94P95-96No.7No.10No.1No.210第4章P135-136No.1No.7选做6个11第4章P135-137No.8No.18选做6个12第4章P137No.1No.2计算实习题13第5章P175-178No.1No.614第5章P175-178No.7No.1215第5章P175-178No.13No.21选做7个16第5章P178-179No.1No.4选做4个17第6章P209-210No.1No.618第7章P238-240No.1No.619第7章P238-240No.7No.1220第7章P238-240No.13No.1821第7章P239-240No.1No.322第8章P275-278No.1No.623第8章P275-278No.7No.1124第8章P277-278No.1No.225第9章P316-317No.1No.626第9章P316-318No.7No.15选做6个27第9章P318-319No.1No.3 各组同学研究的题目请见下表组号课程