常微分方程--第三章一阶微分方程的解的存在定理(3.3-3.4).ppt

3.3 解对初值的连续性和可微性定理,解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性,内容:,G,图例分析(见右),解对初值的对称性:,Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？,证明,则由解的唯一性知,即此解也可写成:,且显然有:,按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:,一 解对初值的连续性,定义,设初值问题,1.解对初值的连续依赖性,初值问题,引理 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任 意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不 等式 .其中 为所考虑 区间内的某一值。,证明,则,于是,因此,两边取平方根即得,2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理),条件: I. 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件; II. 是(1)满足 的解,定义 区间为a,b.,结论: 对 , 使得当,时,方程(1)过点 的解 在a,b上也有 定义,且,方程,思路分析：,记积分曲线段S：,显然S是xy平面上的有界闭集.,第一步:找区域D,使 ,且 在D上满足Lips.条件.,G,(见下图),由已知条件,对 ,存在以它为中心的圆 ,使 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 .根据有限 覆盖定理,存在N,当 时,有,对 ,记,则以 为半径的圆,当其圆心从S的 左端点沿S 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D,b,a,第二步:证明 在a,b上有定义.,假定 利用引理2及 的连续性可得:,第三步:证明,根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:,3 定理2 (解对初值的连续性定理),条件: 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件;,方程,证明,令,二 解对初值的可微性,1 解对初值和参数的连续依赖定理,2 解对初值和参数的连续性定理,3 解对初值可微性定理,证明,因此,解对初值的连续性定理成立,即,即,和,于是,设,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性定理,则,的解,不难求得,即,和,于是,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性定理,的解,不难求得,初值问题,例1,解,由公式得,3.4 奇 解,一、包络和奇解,1 包络的定义,定义1：对于给定的一个单参数曲线族：,曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在,曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切.,对于给定的一个单参数曲线族：,其中,为参数.,若存在一条曲线,满足下列条件:,(1),(2) 对任意的,存在唯一的,使得,且,与,在,有相同的切线.,则称,为曲线族,的一条包络线,简称为包络.,或定义：,例如,单参数曲线族：,（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图,R,从图形可见,此曲线族的包络显然为:,注:并不是每个曲线族都有包络.,例如: 单参数曲线族:,(其中c为参数)表示一族同心圆.,如图,从图形可见, 此曲线族没有包络.,问题:对于给定的单参数曲线族:,如何判断它是否有包络?,如果有包络, 如何求?,根据定义, 假设该单参数曲线族有包络,则对任意的,存在唯一的,使得,于是得到对应关系:,从而得到二元函数,使得,若,可用参数形式表示为:,记,则,于是,上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线,上.,由于,与,在M点有相同的切线,而,与,在M点的切线的斜率,分别为,与,所以, 有,从而,由于在,上不同的点也在不同的,上,即,因此,现在,因此, 包络线,任意一点M不仅要满足,而且还要满足,把联立方程组:,中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线,称为曲线族,的c-判别曲线,2 包络的求法,曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程,注:,解:,记,则,即,因此c-判别曲线包括两条曲线(3.32)和(3.33),x,y,O,例2:,求直线族:,的包络.,这里,是参数,是常数.,解:,记,则,消去参数,得,的c-判别曲线:,经验证,是曲线族,的包络.,如图:,O,x,y,3 奇解,定义2:,微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在.,注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包络.,例如:,4 奇解的求法,方程,的奇解包含在由方程组,注:,例3:,求微分方程,的奇解.,解:,从,消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线,即,由于方程的通解为:,三、克莱罗（Clairaut）方程,1 定义3:,形如,的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.,为求它的解,令,得,经化简,得,2 克莱罗(Clairaut)方程的求解,这是y已解出的一阶微分方程.,如果,则得到,于是, Clairaut方程的通解为:,如果,它与等式,联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:,或,其中c为参数.,消去参数p便得方程的一个解.,结果:,Clairaut方程,的通解,是一直线族,此直线族的包络,或,是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.,如果令,则,因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.,易