江苏省徐州市2019届高三数学上学期期中模拟试题（含解析）.docx

江苏省徐州市2019届高三数学第一学期期中模拟试卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)1.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】由题意化简集合，根据集合交集运算求解即可.【详解】因为，所以，故0,7，故填.【点睛】本题主要考查了集合的描述法，集合的交集运算，属于中档题.2.设复数满足（为虚数单位），则为_【答案】2【解析】由题意可得：，则：.3.一组数据共个，分为组，第组到第组的频数分别为，第组的频率为，则第组的频数为_【答案】8【解析】【分析】根据第5组的频率可求出第5组的频数，根据第1组到第5组的频数，可求出第6组的频数.【详解】因为数据共40个，第组的频率为，所以第5组的频数为，所以第6组的频数为.【点睛】本题主要考查了频率，频数的概念，属于中档题.4.如图所示的流程图，若输入的值为，则输出的结 果_【答案】1【解析】【分析】根据框图可知，当循环三次后时，可跳出循环，输出结果.【详解】第一次，第二次，第三次，跳出循环，输出1.【点睛】本题主要考查了框图，框图的循环结构，属于中档题.5.函数，的值域为_【答案】【解析】【分析】因为函数是增函数，根据函数增减性的性质可求出最大值，从而写出值域.【详解】因为函数在R上是增函数，所以当时，又，所以，故函数的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数求函数的值域，属于中档题.6.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为_【答案】【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为.点睛：此题主要考查有关计数原理、古典概型概率的计算等有关方面的知识和运算技能，属于中低档题型，也是高频考点.在计算古典概型中任意一随机事件发的概率时，关键是要找出该试验的基本事件总数和导致事件发的基本事件数，在不同情况下基本事件数的计算可能涉及排列、组合数的计算和使用分类计数、分步计数原理. 7.已知满足，则的最大值为_【答案】1【解析】【分析】由已知条件作出不等式组对应的平面区域，则k的几何意义为点到定点的斜率，利用数形结合即可得出结论.【详解】画出可行域如图:因为k的几何意义为点到定点的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中，此时，故填1.【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，直线的斜率，数形结合的思想，属于中档题.8.设双曲线 的左、右焦点分别为，为该双曲线上一点，若与轴垂直，,则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】由条件可推导出 ，由此可求出双曲线离心率.【详解】因为,所以， ，即，即,故填【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，双曲线的定义，属于中档题.9.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_.【答案】【解析】试题分析：一个圆锥的母线长为，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为，即圆锥的底面的周长为，设圆锥的底面半径是，则得到，这个圆锥的底面半径为，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为.考点：圆锥的体积及侧面展开图的应用.【方法点晴】本题主要综合考查了有关扇形和圆锥的相关计算，基本的解题思想：解决此类问题时要抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长党羽侧面展开图的扇形弧长，正确的对这两个关系的记忆和灵活应用是解题的关键，同时着重考查了学生的空间想象能力和推理、运算能力，属于中档试题.10.在ABC中，所对边的长分别为a，b，c已知ac2b，sinBsinC，则_【答案】【解析】试题分析：因为sinBsinC，由正弦定理得：，由余弦定理得：考点：正余弦定理11.在平面直角坐标系xOy中，已知直线被圆截得的弦长是定值（与实数m无关），则实数k的值为_【答案】【解析】【分析】根据圆心距，半弦长，半径为直角三角形可知，直线的弦长为定值时，为定值，即可求出k.【详解】由圆的方程可得，所以圆心为，圆心到直线的距离， 由题意，不论m取何值时，此式为定值，所以时，为定值1，即.【点睛】本题主要考查了直线与圆的相交，点到直线的距离，圆的平面几何性质，属于中档题.12.已知，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：设则而，所以最小值为考点：基本不等式13.已知函数函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】分析：函数恰有4个零点，等价于的图象与有四个交点，只需，与，与轴都有两个交点，画出图象，利用数形结合思想求解即可.详解：由题意，当时，即方程有四个解，又由函数与函数大致形状可知，直线与函数的左右两支曲线与都有两个交点，当时，函数的最大值为，则，同时在上的最小值，当时，在上，要使恰有四个零点，则满足，即，解得，故答案为.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质14.对于实数，定义：，已知数列满足，设表示数列的前和，若，则的值为_.【答案】118【解析】【分析】对a分类讨论，利用递推关系可得周期性，进而得出所求结果.【详解】当时，因为，可得： ，同理可得： 故可知，数列是周期为5的周期数列，所以，解得或，不合题意舍去.当时，因为，可得：，同理可得： 故可知，数列是周期为5的周期数列，所以，解得或（舍去）所以，, ,所以，故填118.【点睛】本题主要考查了数列递推关系，数列的周期性，分类讨论方法，属于难题.二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知.（1）若，求角的值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先由向量垂直坐标表示得，即，再根据角范围，确定（2）先根据向量的模的定义得，再根据同角三角函数关系及配角公式得 ，最后根据角的范围，根据余弦函数确定最值试题解析：（1）因为，且所以，即，又，所以，（2）因为，所以因为，所以，故当时，取到最小值.考点：向量垂直及模，三角函数性质16.如图，在直三棱柱中，点为棱的中点求证：(1)平面； (2)平面平面 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）与平面内的平行，所以平面.（2）通过证明 ， 可得平面结合平面， 可得平面平面试题解析：（1）在三棱柱中， 又平面，平面， 所以平面 （2）在直三棱柱中，平面，又平面，所以 因为，所以又因为点为棱的中点，所以 又 ， 平面，所以平面 又平面，所以平面平面点睛：本题第一问考查的是直线与平面平行的判定。通过证明平面外的直线与平面内的直线线平行，从而证明线面平行。寻找线线平行的一般办法有：一、利用三角形中位线定理，二、利用平形四边形的性质;三、利用两直线都垂直于同一平面，两直线平行;四、利用线面平行的性质等。17.如图，是一个半径为2千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图点C是半径上一点，点D是圆弧上一点，且现在线段、线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每千米为元，线段及圆弧处每千米均为元设弧度，广告位出租的总收入为y元（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值【答案】（1），(2)在处取得最大值，即.【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得OC的值，再求弧长DB，求出函数y的解析式，写出x的取值范围（2）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应的x的值.【详解】（1）因为，所以，在中，km，由正弦定理得， 得 km， km 又圆弧长为 km所以，（2）记，.则 ，令得 ，当变化时，的变化如下表： 0 递增极大值递减所以在处取得极大值，此极大值即为最大值，即.故当时，广告位出租的收入最大，最大值为元.【点睛】本题主要考查了三角函数模型的应用题，结合正弦定理求解析式，再利用导数研究单调性求最值，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点当点运动到点处时，点的坐标为（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先求直线的方程，即得B坐标，有；再将N坐标代入椭圆方程解得a（2）设直线的斜率为，解得P点坐标，根据中点坐标公式得Q，利用直线方程与椭圆方程联立方程组解得M,N，根据横坐标之间比例关系求k,即得直线的方程试题解析：解：（1）由，得直线的方程为 令，得点的坐标为所以椭圆的方程为 将点的坐标代入，得，解得所以椭圆的标准方程为 （2）方法一：设直线的斜率为，则直线的方程为在中，令，得，而点是线段的中点，所以所以直线的斜率 联立，消去，得，解得用代，得 又，所以，得 故，又，解得所以直线的方程为 方法二：设点的坐标分别为由，得直线的方程为，令，得同理，得而点是线段的中点，所以，故 又，所以，得，从而，解得 将代入到椭圆C的方程中，得又，所以，即，解得（舍）或又，所以点的坐标为 故直线的方程为19.已知函数， ，（）（1）求函数的极值；（2）已知，函数， ，判断并证明的单调性；（3）设，试比较与，并加以证明【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，从而确定函数的单调性及极值（2）先判断在上是增函数，再求导证明（3）由（2）知，在 上是增函数，从而令令求得.【详解】（1），令，得当时，是减函数；当时，是增函数当时，有极小值，无极大值 （2）=，由（1）知在上是增函数，当时，即，即在上是增函数 （3），由（2）知，在上是增函数，则， 令得，【点睛】本题主要考查了导数在求函数单调性、极值、证明中的应用，属于中档题.20.设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，并给出证明；（2）已知数列为“好”数列 若，求数列的通项公式； 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由，运用等差数列的求和公式，通过检验即可判断（2）对任意的，均有，令，则，即，消去，可得从而证明为等差数列，进而求其通项公式 若，则，由成等比数列，运用等比中项性质，结合等差数列的通项公式，化简整理，求得的表达式，分析整理由不等式性质，即可得证.【详解】（1）若，则，所以，而，所以对任意的均成立，即数列是“好”数列； 若，取，则，此时，即数列不是“好”数列 （2）因为数列为“好”数列，取，则，即恒成立当，有，两式相减，得（），即（），所以（），所以，即，即（），当时，有，即，所以对任意，恒成立，所以数列是等差数列 设数列的公差为， 若，则，即， 因为数列的各项均为不等的正整数，所以，所以，所以 若，则，由成等比数列，得，所以，即化简得，即 因为是任意给定正整数，要使，必须，不妨设，由于是任意给定正整数，所以【点睛】本题主要考查了新定义的理解和运用，等差和等比数列的通项公式和求和公式，以及化简整理的运算能力，属于难题.21.如图，四边形是圆的内接四边形，、的延长线交于点求证：平分 【答案】见解析【解析】【分析】根据圆的内接四边形性质知，又可得，根据传递性知即可得出结论.【详解】因为四边形是圆的内接四边形，所以 因为，所以又， 所以，即平分【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形的性质，等腰三角形底角相等，对顶角相等，属于中档题.22.已知矩阵，向量求向量，使得【答案】【解析】【分析】利用矩阵的运算法则及矩阵相等的定义即可求出.【详解】， 设，由得 ，即， 解得，所以【点睛】本题主要考查了矩阵的运算法则，属于中档题.23.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数）若以O为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为求直线l被曲线截得的线段长【答案】【解析】【分析】消掉参数得出直角坐标方程，利用弦心距，半径，半弦长构成直角三角形求解.【详解】由得 两式平方后相加得 所以曲线是以为圆心，半径等于3的圆直线l的直角坐标方程为， 圆心到l的距离是， 所以直线l被曲线截得的线段长为【点睛】本题主要考查了参数方程，圆的方程，点到直线的距离，属于中档题.24.已知正数满足，求的最小值【答案】27【解析】【分析】由得，待求式可化为，根据柯西不等式即可求解.【详解】由于，所以当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为27.【点睛】本题主要考查了柯西不等式，属于中档题.25.某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座.已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听生活趣味数学，其余4人选听校园舞蹈赏析；B组2人选听生活趣味数学，其余3人选听校园舞蹈赏析.（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率；（2）若从A、B两组中各任选2人，设为选出的4人中选听生活趣味数学的