2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1. 已知（为虚数单位），则复数=（ ）A. B. C. D.2. 设A,B是两个集合，则”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的( )A. B. C. D.4. 若变量满足约束条件则的最小值为（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.25. 设函数，则是（ ）A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数6. 已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）A B. C.6 D.-67. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386 B.2718 C.3413 D.47728. 已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.99. 将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）A. B. C. D.10. 某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. .12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是 .13. 设F是双曲线的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_。14设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .15已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围 是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）本小题设有，三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。如果全做，则按所做的前两题计分。（）（本题满分6分）选修4-1：几何证明选讲如图5，在中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（）；（）（）（本题满分6分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设点M的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值。（）（本题满分6分）选修4-5：不等式选讲设，且，证明：（）；（）与不可能同时成立。17.（本小题满分12分）设的内角的对边分别为，且为钝角。（）证明：;（）求的取值范围。18.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球。在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。（）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望。19.（本小题满分13分）如图6，已知四棱台的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，且底面，点分别在棱上。（）若是的中点，证明：；（）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积。20.（本小题满分13分）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为。（）求的方程；（）过点的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向。（）若，求直线的斜率；（）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形。21.（本小题满分13分）已知，函数。记为的从小到大的第个极值点。证明：（）数列是等比数列；（）若，则对一切恒成立。2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学参考答案一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.D2.C3.B4.A5. A6.D7.C8.B9.D10.A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 012.413.14.15. 三、解答题：16.（）证明：（）如图所示，因为分别是弦的中点，所以，即，因此，又四边形的内角和等于，故。（）由（）知，四点共圆，故由割线定理即得（）解：（）等价于将代入即得曲线的直角坐标方程为（）将代入，得。设这个方程的两个实根分别为，则由参数的几何意义即知，（）证明：由，得（）由基本不等式及，有，即（）假设与同时成立，则由及得；同理，从而，这与矛盾。故与不可能同时成立。17.解：（）由及正弦定理，得，所以，即又为钝角，因此，故，即（）由（）知，所以于是因为，所以，因此由此可知的取值范围是解：（）记事件从甲箱中摸出的1个球是红球，从乙甲箱中摸出的1个球是红球，顾客抽奖1次获一等奖，顾客抽奖1次获二等奖，顾客抽奖1次能获奖由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且因为，所以故所求概率为（）顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由（）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以于是，故的分布列为0123的数学期望为19.解法一：由题设知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为，其中。（）若是的中点，则，又，于是，所以，即（）由题设知，是平面内的两个不共线向量。设是平面的一个法向量，则即取，得。又平面的一个法向量是，所以而二面角的余弦值为，因此，解得，或（舍去），此时设，而，由此得点，所以因为平面，且平面的一个法向量是，所以，即，亦即，从而于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高故四面体的体积解法二：（）如图C，取的中点，连结。因为是梯形的两腰，是的中点，所以，于是由知，所以四点共面由题设知，所以平面，因此因为，所以，因此于是再由即知平面又平面，故（）如图，过点作交于点，则平面因为平面，所以平面过点作于点，连结，则，为二面角的平面角，所以，即，从而连结，由平面及知，平面平面，所以又是正方形，所以为矩形，故设，则过点作交于点，则为矩形，所以，因此，于是，所以再由，得，解得，因此故四面体的体积20.解：（）由知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，所以联立得，故的方程为（）如图，设（）因与同向，且，所以，从而，即，于是设直线的斜率为，则的方程为由得，而是这个方程的两根，所以由得，而是这个方程的两根，所以将代入，得，即，所以，解得，即直线的斜率为（）由得，所以在点处的切线方程为，即令得，即，所以，而，于是，因此是锐角，从而是钝角。故直线绕点旋转时，总是钝角三角形21.证明：（）其中令，由得，即对，若，即，则；若，即，则因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极值，所以此时，易知，而是常数，故数列是首项为