大工11秋《工程力学》(二)辅导资料六.doc

大连理工大学网络教育学院工程力学（二）辅导资料六主 题：第二章 第五、六节 弯曲时的应力、变形计算及强度、刚度条件，压杆稳定问题。学习时间：2011年11月7日11月13日内 容：本周我们学习课程的第二章，弯曲时的应力、变形计算及强度、刚度条件，压杆稳定问题，具体内容如下：一、学习要求1、掌握梁的内力图-剪力图与弯矩图2、掌握剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系式3、掌握叠加法作剪力图和弯矩图4、掌握静矩和形心的计算方法5、掌握惯性矩和惯性积的计算方法6、掌握惯性矩和惯性积的平移轴公式和转轴公式7、掌握主惯性轴和主惯性矩8、了解梁纯弯曲时横截面上的正应力9、了解纯弯曲理论在横力弯曲中的推广10、了解梁的合理截面形状11、了解矩形截面梁的切应力12、了解工字形梁及其他形状梁的切应力13、了解切应力强度条件二、主要内容（一）梁的内力图-剪力图与弯矩图1、剪力与弯矩方程式：剪力和弯矩沿梁轴线方向的变化用方程表示，。2、剪力图与弯矩图：剪力和弯矩沿梁轴线方向的变化用图形表示。（二）剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系式图1；2.1几何意义1、剪力图上某点处的斜率数值上等于荷载图上该点的分布荷载值。2、弯矩图上某点处的斜率数值上等于剪力图上该点的剪力值。2.2线型判断图22.3剪力、弯矩与载荷集度间的积分关系式1、2、（三）静矩和形心3.1基本概念1、静矩：面积对轴的一次矩。2、形心：面积的几何中心。3.2公式1、静矩：，符号：正、负。图32、形心：由重心的公式得均质物体形心的公式，注意：截面对形心轴的静矩为零。（四）惯性矩和惯性积4.1 基本概念惯性矩：面积对轴的二次矩。4.2 公式1、惯性矩：，2、极惯性矩：3、惯性积：4、惯性半径：，图44.3 性质1、截面对互相垂直的两轴的惯性矩之和等于截面对该两轴交点的极惯性矩。2、对通过O点的任意两个互相垂直轴的惯性矩之和相等。即：3、惯性矩永远大于零，惯性积可正、负、零。4、当截面有一个对称轴时，截面对包含该轴的一对轴的惯性积为零。图55、圆截面的惯性矩和惯性积：，图6（五）惯性矩和惯性积的平移轴公式和转轴公式5.1 平移轴公式，注意的符号。图75.2 组合截面的惯性矩和惯性积，5.3 惯性矩和惯性积的转轴公式，图8（六）主惯性轴和主惯性矩1、主惯性轴：惯性积为零的一对轴。 2、主惯性矩：截面对主惯性轴的矩，主惯性矩为极值。3、形心主轴：主惯性轴过形心。 4、形心主矩：截面对形心主轴的矩。（七）梁纯弯曲时横截面上的正应力7.1 基本概念纯弯曲：即梁的横截面上只有弯矩而无剪力，此时横截面上只有正应力而无切应力。图97.2 纯弯下梁的变形特征图107.3 平面假设 在纯弯曲下梁变形后，横截面仍保持平面，并与梁轴正交，相邻横截面只作相对转动。 各纵向纤维之间无挤压或拉伸作用，此假设称为单向受力假设。中性层：下部纵向纤维伸长，上部纵向纤维缩短，且沿梁高度连续变化。所以，从伸长区到缩短区，其间必有一层纵向纤维，它既不伸长，也不缩短，这一层称为中性层。 中性轴：中性层和横截面的交线。 图111、几何方面图12距中性层为处的任一纵向“纤维”正应变与成正比。2、物理方面各纵向“纤维”均处于单向受力状态，在线弹性材料范围内，由单向拉压虎克定律，得出横截面上距中性轴为的各点处正应力。图13横截面上任一点处的正应力与成正比。中性轴上的正应力为零，最大正应力发生在距中性轴最远的上下边缘。3、静力学方面轴力为零，得。表明横截面面积对z轴的静矩为零，证明了均匀材料梁的中性轴z必过横截面的形心C。图14内力对y轴之矩为零，表明截面对y、z轴的惯性积为零，说明y、z轴是一对形心主轴。图15内力对之矩组成弯矩M，令，则。横截面上距中性轴距离为处一点的弯曲正应力公式：。其中，为横截面对轴的惯性矩；称为截面抗弯刚度。弯截面模量： ；最大正应力公式：。表中列出了简单截面的和计算公式。表中，为薄壁圆平均半径。表17.4 公式分析 纯弯曲正应力公式：图16式中是计算之点到中性轴的垂直距离；沿高度线性分布，的方向根据的转向而定（如截面的弯矩为正，则中性轴以上受压，以下受拉。相反，如截面的弯矩为负，则中性轴以上受拉，以下受压）。 纯弯曲最大正应力发生在距中性轴最远处的上下边缘，中性轴上正应力为零。（八）纯弯曲理论在横力弯曲中的推广对于细而长的梁（跨高比 ），计算表明：可以将纯弯曲理论推广到横力弯曲中。此结论将极大地扩展了该公式的使用范围，并确定了它们在工程中的实用价值。横力弯曲中的正应力公式为：，此时弯矩为变量。（九）梁的合理截面形状9.1 材料尽可能远离中性轴图179.2 材料对梁截面形状的影响 1、塑性材料：因为此类材料的梁许用拉应力等于许用压应力，故宜采用中性轴为对称轴的截面，如矩形、圆形、工字形等 。 2、脆性材料：脆性材料的梁许用拉应力和许用压应力不相等，故宜采用对中性轴不对称的截面，如梯形、T字形、槽形等。 9.3 变截面梁 梁的弯矩不是常量，而是沿轴线变化，显然等截面梁并不合理，为了充分发挥材料的潜力，减轻重量，常常根据弯矩的变化采用变截面梁。理想的变截面梁是使所有横截面上的最大弯曲正应力同时达到许用应力，这类梁称为等强度梁。 （十）矩形截面梁的切应力10.1 剪应力分布假设横截面侧边处的剪应力平行于侧边，并考虑到矩形截面窄而高的几何特征，横截面上的剪应力沿宽度均匀分布，其方向均平行于横截面的侧边。图1810.2 矩形梁对称弯曲剪应力公式的建立图19公式分析：代表横截面对中性轴的惯性矩，其值为； 代表横截面上的剪力；代表横截面的宽度；代表对中性轴的静矩，为从欲求的剪应力处（即处）沿宽度截断后的部分横截面面积。切应力的方向和剪力的方向一致的。 10.3 矩形截面梁的切应力沿截面高度的分布图20处的切应力为。10.4 矩形截面梁的剪应力沿截面高度呈抛物线分布 1、在截面的上下边缘（）处，；2、在中性轴（）处，最大，其值为：。3、矩形截面的最大剪应力是平均剪应力的1.5倍。（十一）工字形梁及其他形状梁的切应力工字形梁：宽翼缘梁腹板部分的切应力处理方法和矩形截面梁相同。图21（十二）切应力强度条件对于宽翼缘梁的腹板和其他短梁（弯矩小而剪力大）以及抗剪能力差的梁（例如木质梁），设计时不仅要考虑正应力强度条件，还要考虑剪应力强度条件：三、典型习题（一）绘图题1、图1所示悬臂梁，自由端受集中力P作用，试写出Fs、 M方程式，并画出Fs、 M图。图22解：（1）取坐标原点为A，在距原点为x处用假想截面切开保留左段为研究对象，并设截面上的Fs , M为正。（2）写Fs、 M 方程 ，（3）画出Fs、 M图图232、用叠加法作图示梁剪力图和弯矩图图24图25（二）计算题1、图示结构B点受垂直荷载P=40KN，CD杆横截面面积A=8cm2，许用应力=160MPa试校核CD杆的强度。图26 解