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文档简介
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标:1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系,培养学生的观察力和归纳推理能力(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用(重点)自 主 预 习探 新 知1杨辉三角的特点(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即CCC.2二项式系数的性质(1)对称性:在(ab)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即CC,CC,CC.(2)增减性与最大值:当k时,二项式系数是逐渐增大的由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值当n是偶数时,中间一项的二项式系数C取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数C与C相等,且同时取得最大值3各二项式系数的和(1)CCCC2n;(2)CCCCCC2n1.基础自测1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列()(2)二项展开式的二项式系数和为CCC.()(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同()解析(1)由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列,故正确(2)二项展开式的二项式系数的和应为CCCC2n.(3)二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项,只有当二项式系数与各项系数相等时,二者才一致答案(1)(2)(3)2(12x)15的展开式中的各项系数和是() 【导学号:95032084】A1B1C215 D315B令x1即得各项系数和,和为1.3在(ab)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是()A第8项 B第7项C第9项 D第10项C由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等4(1x)4的展开式中各项的二项式系数分别是() 【导学号:95032085】A1,4,6,4,1B1,4,6,4,1C(1)rC(r0,1,2,3)D(1)rC(r0,1,2,3,4)A杨辉三角第4行的数字即为二项式系数合 作 探 究攻 重 难“杨辉三角”的应用如图131,在“杨辉三角”中斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,.记其前n项和为Sn,求S19的值图131思路探究由图知,数列中的首项是C,第2项是C,第3项是C,第4项是C,第17项是C,第18项是C,第19项是C.解S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.规律方法“杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析;试验猜想;结论证明,要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律,取决于我们的观察能力,观察能力有:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察如表所示:跟踪训练1将全体正整数排成一个三角形数阵:123456789101112131415按照以上排列的规律,第n行(n3)从左向右的第3个数为_前n1行共有正整数12(n1)个,即个,因此第n行第3个数是全体正整数中第个,即为.求展开式的系数和设(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018(xR)(1)求a0a1a2a2 018的值;(2)求a1a3a5a2 017的值;(3)求|a0|a1|a2|a2 018|的值. 【导学号:95032086】思路探究先观察所求式子与展开式各项的特点,利用赋值法求解解(1)令x1,得a0a1a2a2 018(1)2 0181.(2)令x1,得a0a1a2a2 017a2 01832 018.得2(a1a3a2 017)132 018,a1a3a5a2 017.(3)Tr1C(2x)r(1)rC (2x)r,a2k10(kN*),a2k0(kN)|a0|a1|a2|a3|a2 017|a0a1a2a3a2 017a201832 018.规律方法1解决二项式系数和问题思维流程2对形如(axb)n,(ax2bxc)m(a,b,cR,m,nN*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x1即可;对(axby)n(a,bR,nN*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令xy1即可3一般地,若f(x)a0a1xa2x2anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0a2a4,偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪训练2已知(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,求:(1)a0a1a2a3a4;(2)(a0a2a4)2(a1a3)2.解(1)由(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,令x1得(23)4a0a1a2a3a4,所以a0a1a2a3a41.(2)在(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4中,令x1得(23)4a0a1a2a3a4,令x1得(23)4a0a1a2a3a4.所以(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(23)4(23)4(23)4(23)4625.二项式系数性质的应用探究问题1根据杨辉三角的特点,在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等,你可以得到二项式系数的什么性质?提示对称性,因为CC,也可以从f(r)C的图象中得到2计算,并说明你得到的结论提示.当k1,说明二项式系数逐渐增大;同理,当k时,二项式系数逐渐减小3二项式系数何时取得最大值?提示当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项C,C相等,且同时取得最大值已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项. 【导学号:95032087】思路探究求二项式系数最大的项,利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项;求展开式中系数最大的项,必须将x,y的系数均考虑进去,包括“”“”号解令x1,则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知,4n2n992.(2n)22n9920,(2n31)(2n32)0,2n31(舍去)或2n32,n5.(1)由于n5为奇数,展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6,T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展开式的通项公式为Tr1C3rx假设Tr1项系数最大,则有r,rN,r4.展开式中系数最大的项为T5Cx(3x2)4405x.规律方法1求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组,解不等式的方法求得跟踪训练3(12x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解T6C(2x)5,T7C(2x)6,依题意有C25C26n8,(12x)8的展开式中,二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第r1项系数最大,则有r0,1,2,8,r5或r6.系数最大的项为T61 792x5,T71 792x6.当 堂 达 标固 双 基1已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于()A11B10C9 D8D第5项的二项式系数最大,故展开式为9项,n8.2在(xy)n展开式中第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是() 【导学号:95032088】A第6项 B第5项C第5、6项 D第6、7项A因为CC,所以n10,系数最大的项即为二项式系数最大的项3若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和,则n的值为_5(7ab)10的展开式中二项式系数的和为CCC210,令(x3y)n中xy1,则由题设知,4n210,即22n210,解得n5.4(2x1)6展开式中各项系数的和为_;各项的二项式系数和为_. 【导学号:9503208
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