2018_2019学年高中数学课时跟踪检测（十二）抛物线的简单几何性质（含解析）新人教A版.docx

课时跟踪检测（十二） 抛物线的简单几何性质层级一学业水平达标1以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是()Ay28xBy28xCy28x或y28x Dx28y或x28y解析：选C依题意设抛物线方程为y22px(p0)，则2p8，所以抛物线方程为y28x或y28x.2若直线y2x与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A5p B10pC11p D12p解析：选B将直线方程代入抛物线方程，可得x24pxp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24p，y1y29p.直线过抛物线的焦点，|AB|y1y2p10p.3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若 4，则点A的坐标为()A(2，2 ) B(1，2)C(1,2) D(2,2)解析：选B设A(x，y)，则y24x， 又(x，y)，(1x，y)，所以xx2y24. 由可解得x1，y2.4过点(1,0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2 B2C2 D2解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知AB的方程为y2(x1)，即y2x2.由得x24x10，x1x24，x1x21.|AB|2.5设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.解析：选D易知抛物线中p，焦点F，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12，结合图象可得O到直线AB的距离dsin 30，所以OAB的面积S|AB|d.6直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_解析：将yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，2.所求点的坐标为(3,2)答案：(3,2)7已知A(2,0)，B为抛物线y2x上的一点，则|AB|的最小值为_解析：设点B(x，y)，则xy20，所以|AB|.所以当x时，|AB|取得最小值，且|AB|min.答案：8已知AB是抛物线2x2y的焦点弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标为_解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A，Q，B.由题意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2.又|PQ|y0，所以y02，解得y0.答案：9已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解：由题意，可设抛物线方程为y22ax(a0)，则焦点F，直线l：x，A，B两点坐标分别为，|AB|2|a|.OAB的面积为4，|2|a|4，a2.抛物线方程为y24x.10已知抛物线C：y22px(p0)过点A(2，4)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程解：(1)由抛物线C：y22px(p0)过点A(2，4)，可得164p，解得p4.所以抛物线C的方程为y28x，其准线方程为x2.(2)当直线l的斜率不存在时，x0符合题意当直线l的斜率为0时，y2符合题意当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为ykx2.由得ky28y160.由6464k0，得k1，故直线l的方程为yx2，即xy20.综上直线l的方程为x0或y2或xy20.层级二应试能力达标1过点(2,4)作直线l，与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线l有()A1条B2条C3条 D4条解析：选B可知点(2,4)在抛物线y28x上，过点(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行2过抛物线y24x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有两条C有无穷多条 D不存在解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|x1x2p527.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min2p4，所以这样的直线有两条故选B.3已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2解析：选B易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为yx，即xy，代入y22px得y22p2pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1.4已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则k()A. B.C. D2解析：选D由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为yk(x2)，将其代入y28x，得k2x24(k22)x4k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由0，(x12，y12)(x22，y22)0.(x12)(x22)(y12)(y22)0，即x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40.由解得k2.故选D项5已知抛物线y2x，则弦长为定值1的焦点弦有_条解析：因为通径的长2p为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a，若a2p，则焦点弦存在两条；若a2p，则焦点弦存在一条；若a，所以弦长为定值1的焦点弦有2条答案：26直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_解析：由消去y得x210x90，得x1或9，即或所以|AP|10，|BQ|2或|BQ|10，|AP|2，所以|PQ|8，所以梯形APQB的面积S848.答案：487设点P(x，y)(y0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：ykx1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|2，求实数k的值解：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|y，由题意知|PM|PN|， y，化简得x22y.故点P的轨迹方程为x22y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x22kx20，x1x22k，x1x22.|AB|2，k43k240，又k20，k21，k1.8已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程解：(1)设Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得 ，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21,2m)，|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0