指数函数的反函数.ppt

指数函数的反函数是什么?,课前准备,前天,周烨告知同学们,将在多媒体教室上一次分组讨论课,课题是“指数函数的反函数是什么?”同时布置了讨论前的作业.该班是普通班,与特长班相比,学生数学基础普通较差,但不少学生还比较喜欢上周烨老师的数学课.这可能与周烨老师比他们年龄不大了多少有关.第一次听说上数学分组讨论课,学生们非常积极,数学课代表邓晰昨天即将全班同学按四人一小组分好,并且每组的两台电脑已登记编号.一切准备就绪,学生们急切地等待这堂课的到来.,王玮的“发言”,虽说学生们对电脑并不陌生,但数学课上用电脑,却是头一次.上课铃声一响,整个多媒体教室异常安静.学生们打开电脑后,急切新奇地注视着大屏幕前的老师,等待着老师发出操作命令.不一会儿,大屏幕与各组电脑屏幕上同时出现了同一个图形. “来劲!” 一贯上课无精打采的王玮兴奋地叫了起来. 周烨乘机问:“王炜,你知道屏幕上是什么函数图象吗?”“嗯眼熟.”王玮支支吾吾答不出来. “笨蛋,这不是指数函数图象吗!”同组的张杰急不可待地骂了一句. 周烨连忙说:“王玮同学今天上课能发言已经有了很大进步,相信他会继续努力的,张杰你信吗?” 张杰自知说话过重,歉意地望了一眼王玮,王玮只好半怒半羞地低下头.,李奇说错了,平息纠纷后,周烨进入正题:“正如张杰所说,屏幕上是指数函数=2的图象.如果我们将此图象关于第一、三象限角的平分线=对称过去,会得到什么图象呢?该图象对应的函数表达式是什么?下面请同学们随我一起操作.”周烨边说边领着学生们利用取点、描对称点的操作,得到了=2图象关于直线=的对称图象.这次学生们没有再发出新奇的叫声.各小组讨论片刻后,李奇连忙站起来说:“图象是=2的反函数的图象.”刚说完,李奇即得意地坐了下来. “李奇说得很好,但是李奇还没有告诉我,该图象的函数表达式是什么?你们谁能”,没等周烨问完,刚坐下的李奇又站了起来,激动地说:“我知道,表达式是=log2.”另一组的林平立即反驳道:“李奇说错了,=2的反函数表达式是=log2.”说完看了一眼李奇,一贯马虎的李奇觉察到自己的错误,不好意思地摸了摸头. 周烨马上严肃地说:“林平纠正得很好,有关如何求函数的反函数表达式问题,书上第74页说得很清楚,我们的讨论前作业里也有,你们应该有定期复习的习惯,是吗?”,邓晰指明了一条探索路,“下面,我们将继续我们的探索,哪个小组能告诉同学们,函数=log2的定义域是什么?道理何在?”周烨进一步设疑. 张杰这时站起来肯定地说:“我认为=log2的定义域是正实数集,因为=log2的图象在轴右边.” “说得好,那么函数=log2的值域是什么呢?” “值域是.”下面有学生回答. “道理何在?”见学生沉默不语,周烨进一步按自己设想启发学生:“想一想原函数与反函数的关系,好吗?”,不一会儿,邓晰这位一贯做事有条不紊的学生站起来,慢条斯理地说:“因为=log2与=2互为反函数,它们的自变量与因变量互换,定义域与值域也应互换,而=2的定义域为实数集,值域为正实数集,所以=log2的定义域为正实数集,值域为实数集.”邓晰的话无疑给全班同学指明了一条路.各小组开始踊跃发言. 学生1:“因=2的图象过(0,1)点,所以=log2通过(1,0)点.” 学生2:“因=2当0时1,当1时0,当01时,0.”,金小毅说出两种数学思想,“我们今天探索的课题是指数函数的反函数是什么?如果我们称指数函数的反函数为对数函数,那么它的表达式是什么?性质如何?”周烨进一步引导学生探索主题. 学生3:“函数=a的反函数的表达式是=logax,它的定义域是正实数集,值域为实数集.” 学生4:“因指数函数的图象皆过(0,1)点,所以对数函数的图象皆过(1,0)点.” “对数函数还有哪些性质呢?”周烨见课堂有所平静,又一次发问. 过了一会儿,班长金小毅发言:“我们组认为应仿照指数函数的性质讨论,分1与01时与=log2性质一样;00时01,所以对数函数当00,当1时0.”,周烨要求学生勤于思考,“对数函数还有其他性质吗?想想指数函数的性质.”周烨又一次引导学生思索.下面出现了哗哗地翻书声,不一会儿,李奇抢着说:“我知道,当1时,指数函数单调递增,所以对数函数也单调递增;当01时,指数函数单调递减,所以对数函数也单调递减.” “李奇说得很好.但是同学们是否思考过,是不是所有反函数与其原函数的单调性皆一致呢?为什么?”见时间不多了,周烨说道:“这个问题留给同学们思考,但同学们以后遇事应多问几个为什么.现在让我们来类比小结指数函数与对数函数的性质.”周烨在电脑屏幕上演示出指数函数与对数函数性质比较一览表. “叮铃铃”下课铃响了. “同学们,下节课我们将通过具体观察函数图象,验证对数函数的性质.但是你们回去应复习对数函数的运算法则,好吗?” “!”,案例问题,1.这堂课在多媒体教室上有必要吗? 2.这堂讨论课对学生的益处何在? 3.周烨在这堂讨论课上扮演的角色适当吗?有什么不足之处?,案例讨论前的作业单,1.什么叫做一个函数的反函数? 2.反函数与原函数的定义域、值域之间有什么关系? 3.互为反函数的两函数图象有什么位置关系? 4.指数函数有哪些性质?,案例概要,周烨教高一数学.她的学生的数学基础普遍较差.进校时,大多数学生对数学缺乏兴趣,经过一个多月的课堂教学气氛调整,大部分学生已经开始喜欢周烨的数学课.为了继续激发学生的学习兴趣,周烨领着学生在多媒体教室上了一堂题为“指数函数的反函数是什么”的讨论课.这是周烨的一种尝试.虽然教学进度因此而拖延,但是周烨在讨论中,了解了学生的数学思维能力,同时也看到了自己教学的成果及不足,她决定向传统教学模式进一步挑战.,建议讨论的问题 （一）,数学问题 本案例所涉及的数学思想方法有哪些?数学教师该如何教学生发现问题、解决问题? 谈谈你是如何运用函数方程思想、数形结合思想、等价化归思想、分类讨论思想,教学生分析解决问题的? 依据教材,你将教学生哪些数学解题通法? 你认为传统的题海战术,在帮助学生掌握数学基本思想方法上,有多大作用? 数学教师应如何帮助每位学生(包括基础较差的学生)掌握一些基本数学思想方法呢?谈谈你的教学设想.,建议讨论的问题 （二）,评价学生的思维 案例中“王玮的发言”这个小纠纷说明什么? 学生学习的好奇心与学习兴趣之间的关系如何? 在小组合作学习中学生如何交流思想、讨论问题呢?你如何引导? 李奇的第一次发言反映了学生的什么思维特点?教师该如何评价? 你认为周烨的评价恰当吗?你会对李奇说什么? 教师应如何帮助李奇扬长避短,培养更佳的思维品质? 对张杰关于定义域的发言,你认为周烨处理恰当吗?你会如何评价张杰的发言呢? 张杰发言中的闪光点是什么?周烨没有及时给予肯定,你认为这会对张杰产生何种影响? 当学生思维与教师教学设想不一致时,你认为教师应如何处理?,建议讨论的问题 （三）,教学方法问题 你认为小组讨论式教学应如何组织? 小组讨论式教学是否适合任何教学内容? 教师该为小组讨论课做好哪些准备? 教师在小组讨论式教学中,应如何扮演角色?如何设疑引导讨论? 教师应如何组织管理好小组讨论课?研究性学习的组织管理原则、方法是什么?小组讨论式教学是否会影响教学进度,不利于学生完成应试教育?,建议讨论的问题 （四）,你认为教师该如何运用多媒体辅助教学? 多媒体辅助教学的优点是增加学生的形象直观感.有条件的学校,应鼓励学生学会使用电脑软件探究数学问题.然而,如何恰到好处地运用多媒体辅助教学,仍是值得教师思索的问题. 教师不应将多媒体电脑屏幕视为“电子黑板”,也不应将自己当作放映员.那么,在多媒体教学中,教师该如何扮演角色呢? 你是怎样看待“王玮挨骂”这件事的?小组合作学习是否会抑制差生的参与意识,教师在鼓励合作小组竞争的同时该如何调动差生的学习积极性?周烨的处理方法恰当吗?,建议讨论的问题 （五）,改革传统教学模式,教师有什么重要作用? 国家教育部将研究性学习列入全日制普通高级中学课程计划,目的何在? 为实施研究性学习,教师自身急需补充哪些知识? 教师应如何对研究性学习进行教学设计? 研究性学习的教学原则有哪些?教师应怎样贯彻于实际教学中? 数学课上应如何以学生为主体进行教学? 周烨尝试以多媒体激发学生学习兴趣,以小组讨论形式鼓励学生自主探索学习,你认为这堂课以学生为主体展开学习恰当吗?学生为主体的研究性学习是否适合于任何教学