江西省南昌市2018届高三数学第二轮复习测试题（二）理（含解析）.docx

江西省南昌市2018届高三数学第二轮复习测试题（二）理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数其中为虚数单位，则的虚部为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】虚部为-1，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.集合，,若 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意求出，要使 ，则.【详解】根据题意，可得，要使 ，则，故选B.【点睛】本题考查集合的综合运算，属中档题.3.直角的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意求得，三角形的外心O点在BC的中点处，且ABC=，由向量投影的定义，利用已知条件求出即可【详解】直角外接圆圆心O落在BC的中点上，根据题意画出图像，又O为ABC外接圆的圆心，半径为1，BC为直径，且BC=2，OA=AB=1，ABC=；向量在向量方向的投影|cos=故选：A【点睛】此题主要考查了向量投影的概念与直角三角形外接圆的性质应用问题，是基础题解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。4.的展开式中，的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由求展开式中的系数，由通项公式；， 则系数为；考点：二项式定理的运用及整体思想5.在圆内，过点的最短弦的弦长为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将圆的方程化为标准式，找到圆心和半径，过点的最短弦长是过点M和OM垂直的弦,再根据垂径定理得到结果.【详解】圆，化简为：点在圆的内部，记圆心为O点，则最短弦长是过点M和OM垂直的弦，OM=根据垂径定理得到弦长为：=故答案为：D.【点睛】这个题目考查的是圆的性质和应用，一般和圆有关的问题很多情况下可利用数形结合来解决的，很少联立；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.6.为了得到函数的图像，可以将的图像向A. 右平移个单位 B. 左平移个单位C. 右平移个单位 D. 左平移个单位【答案】A【解析】【分析】先根据诱导公式将函数化为同名，再根据函数左加右减的原则进行平移即可.【详解】= 将函数图像向右平移个单位得到，.故答案为：A.【点睛】点睛：本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 (参考数据：，)A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60=，不满足条件S3.10，n=12，S=6sin30=3，不满足条件S3.10，n=24，S=12sin15=120.2588=3.1056，满足条件S3.10，退出循环，输出n的值为24故选：C【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题对于循环结构的框图关键是将每一次循环的结果都按题意写出来，直到满足输出条件为止.8.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，根据勾股定理列出方程即可.【详解】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，由勾股定理得到 故选A.【点睛】这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。9.已知实数满足：.若目标函数（其中为常数）仅在处取得最大值，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用为目标函数取得最大值时的唯一最优解，讨论目标函数的斜率满足的条件，从而求出a的取值范围【详解】构造二次函数单调性可知，得到自变量离轴越远函数值越大，故，且得到可行域为如图所示，直线斜率为-a,由图像可得到满足-1-a1即-1a1.故答案选A.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。10.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选11.已知各项均为正数的递增数列的前项和为满足， ，若成等差数列，则的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题，可求出，由成等差数列可得，由此可得，故，可求的最大值【详解】由题，则，作差得，由成等差数列，可得，分离化简得，故，选D.【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题12.已知函数，若和图象有三条公切线，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设公切线与分别相切于点,对，根据题意可得，即，解得，代入化简得 .【详解】设公切线与分别相切于点,，解得，代入化简得 ，函数在区间递增，在区间递减，在区间递增，且，可知无上界，即时，方程有三解，故选A.【点睛】本题考查利用导数求公切线的斜率，属难题.二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设函数（），若，则_【答案】【解析】,，=9a+3b，则9a+3b=3a+3b，=3,解得：=，故答案为：.14.若满足,，的有两个，则实数的取值范围为_【答案】（3，6）【解析】【分析】利用正弦定理列出关系式，将sinABC，AC，BC代入表示出sinBAC，根据BAC的范围确定出sinBAC的值域，分类讨论得出t的范围即可【详解】ABC=，AC=3，BC=t，由正弦定理得: 0A .若，只有一解；若1，即3m6时，三角形就有两解；综上，m的范围为(3,6).故答案为：3m6【点睛】此题考查了正弦定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握正弦定理是解本题的关键解三角形问题的技巧：作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口15.已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 【答案】.【解析】试题分析：抛物线焦点，由题意，且并被轴平分，所以点在双曲线上，得，即，即，所以，故. 故应填.考点：抛物线；双曲线.16.国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”,为响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所.如图，有一个长方形地块，边为，为地块的一角是草坪（图中阴影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部分现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带，分别在边，上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计），将隔离出的作为健身场所则的面积为的最大值为_（单位：）【答案】 【解析】【分析】根据题意，目的是求三角形BEF的面积的最值，建立坐标系，设出点P的坐标，通过求曲线的切线方程，将点B，E，F的坐标均写出来，再表示出BE，BF的长度，即可得到面积的表达式，在对表达式求导研究单调性，进而得到最值.【详解】如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为(2,4),设边缘线所在抛物线的方程为,把(2,4)代入，得a=1，所以抛物线的方程为过的切线方程为,令，得 令x=2，得,故,所以,定义域为，由得 所以S(t)在上是增函数，由，得在上是减函数，所以S 在上有最大值故答案为：.【点睛】这个题目考查了函数的实际应用，以及导数在函数最值中的应用，一般实际应用题目，先通过读题理解题意，将实际问题转化为数学模型，用数学表达式将要求的表示出来，再借助数学工具解决最值或者其它问题.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.记为各项为正数的等比数列的前项和，已知 .（）求数列的通项公式;（）令，求的前n项和.【答案】（） ;（）。【解析】【分析】(1)由等比数列的通项公式得到=，又因为 ，代入数据可求得通项；（2）将第一问得到的通项代入可得到，裂项求和即可.【详解】（）=，=或-4（舍去）故,， （）， 故.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。18.如图，四边形为等腰梯形沿折起，使得平面平面为的中点，连接（如图2）.图1 图2（）求证： ；（）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（I）证明，结合平面 平面，推出平面，然后证明（II）取AC中点F，连接EF、EC E，设E点到平面BCD的距离为，,利用则求解直线DE与平面BCD所成的角的正弦值即可【详解】（）,则,，又因为平面 平面且平面 平面 ，所以平面，从而（）取AC中点F，连接EF、EC.，设E点到平面BCD的距离为，,DE与平面BCD所成角为，则.【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力19.我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；（）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为和之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设为用水量吨数在中的获奖的家庭数，为用水量吨数在中的获奖家庭数，记随机变量，求的分布列和数学期望【答案】（）30万；（）.【解析】【分析】（1）由图，不低于3吨人数所占百分比为，解出即可得出（2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，频率 ，可得，得a据题意可知随机变量的取值为0，2，4利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出【详解】（）由图，不低于3吨人数所占百分比为所以假设全市的人数为（万人），则有，解得所以估计全市人数为30万.（）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，因为频率 ，所以，得，用水量在之间的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在之间应抽取的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户据题意可知随机变量的取值为0,2,4，其分布列为：024期望为：【点睛】本题考查了相互独立、互斥事件的概率计算公式及其数学期望计算公式、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.已知椭圆的顶点坐标分别为、，且对于椭圆上任意一点（异于、），直线与直线斜率之积为.（I）求椭圆的方程；（II）如图，点是该椭圆内一点，四 边形的对角线与交于点.设直线，记.求的最大值.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（）,，可得椭圆的方程；（）通过直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、三角形面积公式，利用基本不等式计算即得结论【详解】（）,，椭圆方程为：.（）(注：直线斜率为1可确保CD/AB)联立与椭圆方程，整理得：, ，又直线不过点，得，(当且仅当时取等号)，所以.【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及基本不等式、韦达定理、两点间距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题21.已知函数,直线为曲线的切线（为自然对数的底数）.()求实数的值； () 用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围.【答案】()1；() .【解析】【分析】()根据直线为曲线的一条切线，设切点为，求导得到方程组求实数的值；（2）设与相交于点 ，分类讨论，利用导数的正负，即可得出结论【详解】（），设切点为， 解得（），知在区间递减，在区间递增，在区间递减且设与相交于点 ，在区间，在区间，若，与递增不符时，在区间，不符时，在区间，恒成立在区间，所以所以.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题选做部分请考生在第22、23