概率论与数理统计习题三课后答案.pdf

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K KN e k 查泊松分布表知115N ，故月初要库存 14 件以上，才能保证当月不脱销的 概率在 0.99977 以上。 8已知离散型随机变量X的分布列为：， ，试写出 (1)0.2,(2)0.3P XP X (3)0.P X 5X的分布函数。 解 X的分布列为 123 X P 所以X的分布函数为 0 ,1, 0.2,12, ( ) 0.5,23, 1 ,3. x x F x x x 9设随机变量X的概率密度为 sin ,0, ( ) 0, cxx f x 其他. 求： （1）常数C； （2）使成立的. ()(P XaP Xa)a 解 （1） 0 0 1( )sincos2f x dxcxdxcxc ， 1 2 c； （2） 1111 ()sincoscos 2222 a a P Xaxdxxa ， 0 0 1111 ()sincoscos 2222 a a P Xaxdxxa , 可见 cos0a ， 2 a 。 10设随机变量X的分布函数为 ，( )arctanF xABxx ， 求： （1）系数A与B； （2）； （3）( 11)PX X的概率密度。 解 （1）由分布函数的性质 21 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 0() 2 1() 2 FAB FAB 于是 1 2 A， 1 B ，所以X的分布函数为 11 ( )arctan 2 F xx x ， （2） 11111 ( 11)(1)( 1)() 2424 PXFF 2 ； （3）X的概率密度为 2 1 ( )( ) (1) f xF x x ， x . 11已知随机变量X的概率密度为 | | 1 ( ) 2 x f xe，x . 求X的分布函数. 解 0 0 1 ,0 2 ( )( ) 11 ,0 22 x u x x xu e dux F xf u du e dxe dux , , 1 ,0 2 1 1, 2 x x ex ex , 0. 12设随机变量X的概率密度为 ,01, ( )2,12, 0, xx f xxx 其他. 求X的分布函数. 解 ( )f x的图形为 X的分布函数为 ( )( ) x F xf u du 22 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 0 1 01 0,0, ,01, (2),12, 1,2. x x x udux xdxu dux x 2 2 0,0, ,0 2 21,12, 2 1,2. x x x x xx x 0 12 x (1，1) f(x) 1, 13设电子管寿命X的概率密度为 2 100 ,100, ( ) 0,100. x xf x x 若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初 150 小时内，至少有两 个电了管被烧坏的概率； （2） 在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数Y的分布 列； （3）Y的分布函数。 解 Y为在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数，YB，其中 (3,)p 150 2 100 1001 (150) 3 pP Xdx x ， （1）所求概率为 23 2 3 121 (2)(2)(3) 333 P YP YP YC 7 27 ； （2）Y的分布列为 3 3 12 () 33 kk k P YkC ，0,1,2,3,k 即 0123 81261 27272727 Y P . （3）Y的分布函数为 23 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 0 ,0, 8 ,01 27 20 ( ),12, 27 26 ,23, 27 1 ,3. x x F xx x x 14设随机变量X的概率密度为 2 ,01, ( ) 0 ,. xx f x 其他 现对X进行次独立重复观测，以表示观测值不大于 0.1 的观测次数，试求 随机变量的概率分布。 n n V n V 解 ，其中 ( , ) n VB n p ， 0.1 0 (0.1)20.01pP Xxdx 所以的概率分布列为 n V . ()(0.01) (0.99),0,1, kkn k nn P VkCkn 15设随机变量，求方程1, 6XU 2 10xXx 有实根的概率. 解 设A方程有实根 ，则 发生A 2 40X 即 |，因，所以 2X 1,6XU 发生A2,X 所以 624 ( )(2)0.8 6 15 P AP X . 16设随机变量，现对2,5XUX进行 3 次独立观测，试求至少有两次 观测值大于 3 的概率. 解 设为三次观测中，观测值大于 3 的观测次数，则，其中 Y(3, )YBp 532 (3) 523 pP X ， 所求概率为 23 2 3 2122 (2)(2)(3) 3332 P YP YP YC 0 7 . 24 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 17设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：分） ，服从参数为 1 5 的 指数分布。若等待时间超过 10 分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行 5 次， 以表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列及 。 Y (P Y1) 解 由题意，其中 (5, )YBp 2 55 10 10 1 (10) 5 xx pP Xedxee ， 于是Y的分布为 22 5 5 ()() (1)0,1,2,3,4,5, kkk P YkCeek . 2 5 (1)1(0)1 (1)0.5167P YP Ye 18一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数服从参数为( )N tt 的泊松分布。 （1）求相继两次故障之间时间间隔T概率分布； （2）求在设备已 经无故障工作了 8 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率。 的 解 （1）设T的分布函数为，则 ( ) T Ft ( )()1() T FtP TtP Tt 事件表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间 内没有发生 故障，故 (Tt ( )N t )t 0，于是 0 () ( )1()1( )0)11,0 0! tt T t FtP TtP N teet ， 可见，的分布函数为 T 1, ( ) 0,0 t T et Ft t 0, . 即服从参数为T的指数分布。 （2）所求概率为 16 8 8 16,8(16) (16|8) (8)( 8) P TTP Te P TTe P TPe . 19设随机变量。求 2 (108, 3 )XN （1）(101.1117.6)PX； （2）常数，使a()0.90P Xa； （3）常数，使a(|)0.01PXaa。 解 （1） 117.6 108101.1 108 (101.1117.6)()() 33 PX (3 2)( 2 3)(3 2)(2 3) 1 25 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 ； 0.99930.9893 10.9886 （2） 108 0.90()() 3 a P Xa ，查表知 108 1.28 3 a ，所以； 111.84a （3）0.01(|)1(|)1(02 )PXaaPXaaPXa 2108 1() 3 a , 所以 2108 ()0.99 3 a ， 查正态分布表知 2108 2.33 3 a ， 故 。 57.495a 20设随机变量 2 (2,)XN，且(24)0.3PX，求。 (0P X ) 解 42 0.3(24)()(0)PX ， 所以 2 ()0.8 ， 0222 (0)()()1()0.P X 2。 21某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布， 平均成绩（即参数之值）为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考 生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率。 解 967224 0.023(96)1()1()P X 242412 ()0.977,2,1. 所求概率为 847260721212 (6084)()()()()PX 12 2 () 12 0.8413 10.6826. 22假设测量的随机误差，试求在 100 次重复测量中，至少 有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 2 (0,10 )XN ， 并利用泊松分布求出的近似值。 26 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 解 设为误差的绝对值大于 19.6 的测量次数，则，其中 Y(100,)YBp (| 19.6)1( 19.619.6)1(1.96)( 1.96)pPXPX ， 22 (1.96)22 0.9750.05 所求概率为 100 100 100 3 (3)(0.05) (0.95), kk k P YC k 利用泊松定理 100 5 3 5 0.875 ! k k e k . 23在电源电压不超过，在200V200240V和超过三种情况下， 某种电子元件，损坏的概率分别为 0.1，0.001 和 0.2，假设电源电压 240V X服从正态 分布，试求： （1）该电子元件损坏的概率 2 (220, 25 )N； （2）该电子元件损 坏时，电源电压在 200240的概率V。 解 设A电子元件损坏 ， i B电源电压在第 档 ，i1,2,3i，则 （1） 112233 ( )() (|)() (|)() (|)P AP BP A BP BP A BP BP A B (200) 0.1(200240) 0.001(240) 0.2P XPXP X 200220240220200220 () 0.1 ()() 0 252525 .001 240220 1() 0.2 25 20202020 () 0.1 ()() 0.001 (1() 0.2 25252525 (1 0.7881) 0.1 (2 0.7881 1) 0.001 (1 0.7881) 0.2 0.0641 （2） 22 2 () (|)0.005756 (|)0.0898 0.06410.0641 P BP A B P BA. 24假设随机变量X的绝对值不大于 1； 11 (1),(1) 84 P XP X ， 在事件 1出现的条件下，1X X在内任意子区间上取值的概率与 该子区间的长度成正比。试求： （1） ( 1, 1) X的分布函数； （2）X取负值的概率. P 解1 设X的分布函数为，则 ( )F x 当 时，且1x ( )0F x 1 ( 1) 8 F， 当 1x 时， ( )1F x 27 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 115 ( 11)1 848 PX ， 当 11x 时，由题意 ， 1| 11(1)PXxXk x 而 1， 11| 112PXX k 所以 1 2 k。于是 1 1| 11, 2 x PXxX 此时 ( ) 1( 1)F xPXxF 1 1,11 8 PXxX 1 11( 1| 11 8 PXPXxX 5115 82816 xx7 ， 故X的分布函数为 0,1, 57 ( ),11, 16 1,1. x x F xx x （2） 7 (0)(0)(0) 16 P XFP X. 解2 设X的分布函数为，则 ( )F x 当 时， 且 1x ( )0F x 1 ( 1) 8 F 当 1x 时， ( )1F x 当11x 时，设，且,( 1xxx , 1)0x ，由题意 (| 11)P xXxxXk x ， 即 (,11) , ( 11) P xXxxX k x PX 由此得 28 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 5 () 8 P xXxxk x， 两边同除以x得 ()( )5 , 8 F xxF x k x 令取极限得 0x 5 ( ), 8 F xk 两边积分得 5 ( ) 8 F xkxC， 由 1 ( 1) 8 F 及 1 0 3 lim( ) 4 x F x 得 15 88 35 48 kC kC 解之得 71 , 162 C 故 k 575 ( ) 161616 xx F x 7 ，11x 综上所述，X的分布函数为 0,1, 57 ( ),11, 16 1,1. x x F xx x （2） 7 (0)(0)(0) 16 P XFP X. 25已知离散型随机变量X的分布列为 21013 111111 5651530 X P 求的分布列. 2 YX 29 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 解 Y的分布列为 0149 17111 530530 Y P . 26设随机变量X的概率密度为 ,0 ( ) 0 ,0. x X ex fx x , 求的概率密度 X Ye( ) Y fy 解1 当x时函数0 x ye单调增， 反函数为( )lnxh yy， 于是Ye 的概率密度为 X ln 2 11 ,1,1, ( )( ( )|( )| 0,1.0 ,1. y YX yey yyfyfh yh y yy , 1, 1 解2 设Y的分布函数为F，则 ( ) Y y 0, ( )()() (ln ), X Y y FyP YyP ey P Xyy ln 0 0, ,1 y x y e dxy 1, , ln 0 0,1 ,1 y x y ey , . ln 0,1, 0,1, 1 1,1 1,1. y y y y ey y . 2 1 ,1 ( )( ) 0 ,1. YY y yfyFy y , 27设随机变量X的概率密度为 2 1 ( ), (1) X fxx x 求随机变量 3 1Y的概率密度X ( ) Y fy 解1 函数 3 1yx 严格单调，反函数为 3 ( )(1)xh yy，则 2 6 3(1) ( )( ( )|( )|,. (1 (1) ) YX y fyfh yh yy y 30 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 解2 设Y的分布函数为，则 ( ) Y Fy 333 ( )()(1)(1) 1(1) ) Y F yP YyPXyPXyP Xy ， 3 1(1) X Fy 所以 2 32 6 3(1) ( )(1) ) 3(1), (1 (1) ) YX y fyfyyy y 。 28设，求（1）(0,1)XU X Ye的概率密度； （2）2lnYX 的概率 密度。 解 X的密度为 1,01, ( ) 0, X x fx 其它. （1） x ye在(0上单调增，反函数为,1)( )lnh yy，所以Y的密度为 1 ,1, ( ) 0,. Y ye yfy 其他 （2）2lnyx 在上单调减，反函数为(0,1) 2 ( ) y h ye ，所以的密度为 Y 2 1 ,0 ( ) 2 0,0. y Y ey fy y , )| | 29设，求的概率密度。 (0,1XN|YX 解1 函数|yx在(上单调减，反函数为,0) 1( ) hyy ， 在0,)上单调增，反函数为 2( ) hyy， 所以Y的密度为 1122 ( )|( )|( )|( )|,0, ( ) 0,0. XX Y fhyh yfhyhyy fy y 即 2 2 2 ,0 ( ) 0,0 y Y ey fy y , . 30 设随机变量X服从参数为 2 的指数分布， 试证在区间 上服从均匀分布。 2 1 X Ye (0,1) 证 只须证明Y的分布函数为 31 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 0,0 ( ),01, 1,1. Y y Fyyy y 22 0