电磁场与电磁波第四版课后答案.pdf

电磁理论电磁理论 习题答案（部分） 第 1 章 矢量分析 1-1 已知， zyx Aa3a2a ? ? += zy Baa4 ? ? +=， zx Ca2a5 ? ? =， 求： ； A a ? BA ? ； BA ? ； ； AB CA ? ； ）（CBA ? 和A BC ? （）； CBA ? ）（ 和）（CBA ? 。 答案： 1 (23 14 Axy aaa=+ ? ) z a ? ； 53AB= ? ； 11A B= ? ； ； 135.48 AB = ? (41310) xy A Caaa= + z ? ? ； ； 42AB CA BC= ? （）=（）2405 xy A BCaaa=+ z ? ? （）和 554411 xyz AB Caaa ? ? （）= ? 。 1-2 已知2 xyz Aaaa=+ ? ? ， xy Baaba=+ ? ? ，若BA ? ，且B ? 的模为 1，求。 ,a b 答案： 2 5 5 5 5 a b = = 或 2 5 5 5 5 a b = = 1-3 若矢量A ? 和矢量B ? 是任意常矢量，证明：() 2 22 2 BABABA ? =。 1-4 求圆柱坐标系中从轴上的z 0 zz=指向点处0p r（ ， ，）的单位矢量。 答案： 0 22 0 rz R raz a a rz = + ? ? 。 1-5 标量函数在点 222 3zyxu =) 1, 1 , 1 (p处沿哪个方向的方向导数最大？并求出该方向 上的方向导数的值。 答案： 3 () 3 mxyz aa；aa=+ ? 6 3 p u=。 1-6 已知空间中有一与时间无关的电位场， 求： 点处 垂直于等位面的单位矢量； 点处电位变化的最大速率。 123 2 +=zxyzxV），（210p ），（210p 1 答案： max 1 (74);65 65 mxz V aaau l = = ? 。 1-7 求标量函数 22 23 2 x yy zxz=+在点(1,1,1)处沿矢量 xyz lyzaxzaxya=+ ? ? 方 向的方向导数。 答案： p 2 3 l = 。 1-8 参照例图 1.1，设有标量，求证：以)(Rf),(zyxp为动点时的梯度间与 以为 动 点 的 梯 度 )(Rf ),(zyxp)(Rf间 满 足 关 系 ：)()(RfRf= 。 其 中 rrR= ? 。 1-9 已知一标量函数 z yx =e3sin2sin）（）（，求： 点处），（321p增加速率最 快的方向及大小； 点处向坐标原点方向），（321p增加速率 （方向导数） 的大小。 答案： 3 2 y 2 -1e (3 3),2 6 27 mz aaau =+= + ? 7+； 33 (1,2,3) 143 14 ee 4228 V l =+ 。 1-10 根据散度定义式（1.31） ，证明直角坐标系下矢量A ? 的散度表达式（1.32） 。 1-11 已知zyxR zyx aaa ? ? +=，A为一常量，RR ? =， 求：R ? ；R ? ()RR ? ； 。 ）（RA ? 答案：?;0;()0;?)3RRR RAR= ? A。 1-12 证明：)()()(BAABBA ? =。 1-13 证明旋度定理（1.47） 。 1-14 在圆球坐标系中， 已知() +=aRaRaRA R ? ? cossinsinsin 22 ， 求 。 A ? 答案： 2 sin A2RcosRs R in =+ ? 。 1-15 已知矢量）（）（ 22222 24aaazyxxyxA zyx ? ? +=，求： A ? ； 对中心 原点的一个单位立方体的体积分； A ? A ? 对此立方体表面的面积分并验证散度定理。 2 答案： ； 22 2248Axxyx y=+ ? z(?0 V A dV= ? ； 。 S S0A d= ? ? 1-16 已知圆柱坐标系中坐标原点至空间某一点的位置矢量为R ? ，求R ? 的微分表达式。 答案： 。 rz dRa dra rda dz =+ ? ? 1-17 已知矢量）（ 22 aaxyxA yx ? ? +=，求A ? 沿圆周的线积分； 应用斯 托克斯定理求解此线积分。 222 ayx=+ 答案： 4 4 l A dla = ? ? ； 4 ()? 4 l A dSa = ? ? 。 1-18 试在直角坐标系下证明： 2 1 (1) 4 Rrr ? ? ? = ()。 1-19 若矢量）（ 32 cosRaA R = ? ? ，21R，求d v A V ? ? 。 答案： (? V A dV= ? 。 1-20 试证 2j2j e(e kRkR )Rk = （）R，式中为常数。 k 1-21 已知圆柱坐标系中矢量为()()raraA r 21 += ? ? ，求该矢量在直角坐标系中的表达 式。 答案： 2222 22 ax y xyy Aa x xyx =+ + ? y ? 。 1-22 已知 zyx cbaAaaa ? ? +=，写出圆柱坐标系和圆球坐标系下A ? 的表达式。 答案：( cossin )( cossin ) rz Aababaaca =+ ? ? ； ( sincossinsincos ) ( coscoscos sinsin )( cossin ) R Aabca abcabaa =+ + ? ? ? 。 1-23 已知直角坐标系中矢量为）（ 2222 a)(aayxxxyxA zyx += ? ? ，求该矢量在圆 柱坐标系中的表达式。 答案： 22 coscos rz Arara=+ ? ? 。 1-24 已知直角坐标系中矢量为)(aa 2 xyxA yx ? ? +=，求该矢量在圆球坐标系中的表达式。 答案： 2322 (R sincos )(R sincoscos ) R Aaa=+ ? ? 。 1-25 已知圆球坐标系中矢量为()+= sin cos2 3 aRaA R ? ? ，求该矢量在直角坐标系中 的表达式。 3 答案： xxyyz Aa Aa Aa A=+ ? z ? 其中， 2 323222 22 2 ()( x x Ax zxy zxzxy xy =+ + 2 )z； 233222 22 2 ()( y xy Ax yzy zyzxy xy =+ + 2 )z； 42222224222 22 2 (2)( z xz Axx yx zy zyxy xy =+ + 2 )z。 1-26 球坐标系中的两个矢径 1 r ? 和 2 r ? 的终点和的坐标分别为 1 p 2 p),( 111 R和 ),( 222 R。 根据和的终端坐标， 确定 1 r ? 2 r ? 1 r ? 和 2 r ? 之间的夹角的余弦； 求矢径和的球坐标分量。 ),cos( 21 rr ? 1 r ? 2 r ? 答案： 12 12121212 12 cos( ,)sinsincos()coscos rr r r r r =+ ? ? ? ? ? ； 设 iRiRii ra Aa Aa A =+ ? ，i 1, 2=， 其中 sincossinsincos coscoscos sinsin sincos0 iRix ii ii AA AA AA = y z ， 而sincos,sinsin,cos ixiiiiyiiiizii ARARAR=。 1-27 已 知 椭 圆 柱 坐 标），（z与 直 角 坐 标间 的 关 系 为），（zyx zzpypx=，sinsinhcoscosh，其中p为常数，为.cost=的椭圆 柱面和.cost=的双曲柱面的半焦距。 求这两种坐标系单位矢量间的变换矩阵。 M 答案： 2sinhcos2coshsin 0 cosh2cos2cosh2cos2 2coshsin2sinhcos 0 cosh2cos2cosh2cos2 00 M = 1 。 4 习题习题 21 已知某瞬间媒质中的体电流密度 zyx x zyJaa6sin3ae2 25 ? ? += ）（ 2 A m，求体 电荷密 度随时间的变化速率 t 。 答案： 5 10e18cos62 x yz t = 。 22 圆 柱 坐 标 系 中 ， 一 半 径 为的 圆 形 导 线 中 的 体 电 流 密 度mm3 z r Jae15 500 ? ? ）（ = 2 A/m，求导线中的总电流。 答案： 1.5 (5 100e)AI =+。 23 圆球坐标系中，体电流密度 R Jasin10 ? ? = 2 A/m，求穿过半径处的球 m2 . 0=R 表面上的总电流。 答案： 2 0.4 R Ia= ? 。 24 面电荷密度1=s 的电荷均匀分布于平面 2 nC/m663=+zyxm上。求包含 坐标原点一侧空间中的电场强度。 答案：E8.34(36)V m xyz aaa=+ ? ? 。 25 一点电荷nC50=Q，位于直角坐标系的原点，求点2 45（ ， ）处的电通量密度。 答案： 5 (245) 54 xyz Daa =+ ? ? a。 26 两种理想电介质的相对介电常数分别为 12 2.55 rr =和，其分界面为的平 0z = 面。若已知介质 1 中的电场强度3a4a6a xy E =+ z ? ? ，求： 介质 2 一侧的电场强 度和电位移矢量； 2 E ? 2 D ? 2 E ? 和 2 D ? 是介质 2 中任意点处的场量表达式吗？为什 么？ 答案： 220 343;(152015) xyzxy EaaaDaaa=+=+ ? ? z 。 27 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流之和等于零。 28 一长度，内外导体半径分别为m1=lmm1=a，mm5 . 3=b的同轴电容器中填 充相对介电常数的介质，内外导体间的外加电压7=r）（tu377sin200=V。求位 5 移电流，并同传导电流比较。 d i c i 答案：。 5 2.34 10cos(377 ) A d it = 29 一平板电容器的极板面积， 间距 2 cm15=s0.2cmd =电容器内填充媒质的电参数 为S/m，两极板间施加直流电压。求 此电容器内的电场强度、体电流密度、电流、功率流密度以及损耗功率。 5 00 105 . 3,56. 2 = 0 50VU = 答案： 2 25kV m;0.88A m ;19.8 mA; 99 W;252.5 k zz EaJaI PR = = = = ? ? 。 210 证明：时变场中，当两种媒质分界面上无初始自由面电荷和面电流密度存在时，分 界面上只有两个切向场分量的边界条件是独立的（即两个法向场分量的边界条件包 含在切向分量的边界条件之中） 。 211 试由微分形式的麦克斯韦方程组，导出电荷守恒定律：0J t += ? 。 212 试根据平板电容器充放电时电容器中坡印亭矢量的方向，判断电磁场能量的方向， 并解释其物理意义。 213 已知一区域中某瞬间的体电流密度)aaa( 3 1 333 zyx zyxJ ? ? += 。 求某点 (1,1,1)p处体电荷密度的时间变化率 t ； 求此时以原点为球心，以为半径的 球内总电荷的时间变化率 a t Q ； 在的球面上验证电流连续性方程。 答案： 2 R t = ； 5 0.8 Q a t = 。 214 根据对偶性原理，写出空气和理想磁介质间分界面上的边界条件。 215 若复矢量 00 ee n jkarjk r AAA = ? ? ，证明：,AjkAAjkA= = ? 。 216 自由空间中，一正弦电磁波的电场强度的复矢量为 0.05 ( 3) (a2a3a )e jx xyz Ejj + = + ? ? z 。 求： 电场强度的瞬时矢量E ? ；磁场强度的瞬时矢量H ? ； 平均能流密度矢量 ； 平均电磁场能量密度矢量。 av S ? av w 答案： 6 77 7 ( )sin3 100.05 ( 3)cos3 10 0.05 ( 3)3sin3 100.05 ( 3) xy z E tatxzat xzatxz =+ + ? ? ? ； 77 7 11 ( )cos3 100.05 ( 3)sin3 10 12060 3 0.05 ( 3)cos3 100.05 ( 3) 120 xy z H tatxzat xzatxz =+ + ? ? ? ； 1 ( 3) 60 avxz Sa =+ ? ? a； 113 3.54 10J m av w =。 217 位于处的两导体平行板之间填充空气，其间存在一时谐电磁场，电场 0zz=和b 强度的瞬时矢量 0 asin()cos() V y EEz btkx= ? ? m。 求： 磁场强度的瞬时矢 量； 平均能流密度； 两导体表面上的面电流密度的瞬时矢量。 H ? av S ? S J ? 答案： 00 00 ( )cossin()sincos() xz EkEzz H tatkxatkx bbb =+ ? ? ； 2 2 0 0 sin 2 avx Ez Sa b = ? ? ； 0 0 0 ( )( )sin() ssy zz b E J tJ tatkx b = = ? ? 。 218 在库仑规范下，导出矢量磁位( )A t ? 和标量电位( ) t所满足的波动方程。 219 分别从微分、复数形式限定性的麦克斯韦方程组出发，导出电场强度、磁场强度的 复矢量所满足的亥姆霍兹方程。 ,E H ? 220 已知一电磁波的电场强度瞬时表达式为 88 0.01cos(10)a0.03cos(10)a 3 xy Etkztkz =+ ? ? ? ? ? m V 求： 电场强度的复数表达式； 磁场强度的复数及瞬时表达式。 答案： (3 0.010.03 jkzj kz xy Eaeae = ? ? ) ； (3) 00 88 00 0.010.03 ; 0.010.03 (t)cos(10t)cos(10t) 3 jkzj kz yx yx kk Haeae kk Hakzakz = = ? ? ? ? + 。 221 设理想导体构成的空心矩形波导(0,0,)xaybz c 答案： 对区域（0Ra） ： 3 0 4 2 0 2 ( ) 15 R a ERa R = ? ? ， 3 0 4 0 2 V ( ) 15 a R R =。 3-2 已知一静止点电荷Q位于圆柱坐标系中的点），（aap 3 0 处，求： 此点电荷在直 角坐标系中点处产生的电场强度； 点），a（aapp处的电场强度在球坐标系中 的表达式。 答案： 2 0 (0.05670.01520.2268) 4 xyz q Eaa a = + ? a ? ； R 22 00 0.1725,0.1558,0.1203 44 qq EEE aa = = ? 2 0 4 q a 。 3-3 一介电常数为的无限大介质外加均匀电场 0 azE = 0 E ? ? ，介质中有一半径为的球形 空腔。求空腔内外的电场强度和空腔表面的束缚面电荷密度。 a 答案： 对区域（0Ra) 答案： 00 0 1 () 4 ii RRQ V rdrdr =+ 其中， 42 222222 i0 ,Rd2Rdcos ,RRd2RcosRd i rR rr = =+=+ 0 。 42 3 423 223 223 00 2 0 223 2 000 22 0 23 2 000 22 (2cos )( cos)(2 cos) 4 (cos)(2cos )(sin ) 4 (2 cos)sin R RRQ EaRdRddRRR dd RRRRQ aRdRdd ddR d RRR RR ddd = + + + ? ? ? 2 0 4 Q V d =； 2 2 23 2 000 00 1 (2cos )() 4 R Qd EaRdR dR 0 RR d = + ? ? 。 3-15 真空中，一半径为a的不接地导体球壳内距球心为）（abb 0y HJ aa= ? ? 。 3-28 自由空间中，若两根间距为(2)cb+的半无限长的载直流导在近处弯折成如图 3.35 所 示的形状，则p点处的感应强度B ? 的表达式。 答案： 22 00 22 (4) (2) 4(2) zy IabI Baa cb abba + = + + + ? ? 。 3-29 真空中，载直流为I的两根半无限长直导线（垂直于 xoy 平面）和一半径为的有缺口 圆环形导线（处于 xoy 平面内）构成回路，若缺口的张角为，求环心处的磁感应强 度。 （注：电流方向任取） a ? 60 答案： 00 5 41 yz 2 II Baa aa = ? ? 或 00 5 41 yz 2 II Baa aa =+ ? ? 。 3-30 真空中，间隔为为，载直流为b2I的两根半无限长弯折成直角的直导线和一半径为 ()，圆心角为a2b=2()的圆弧形导线构成回路，如图 3.36 所示。求圆弧中心240= ? p点的磁感应强度B ? 。 答案： 7 6.0 10 z I Ba a = ? ? 。 3-31 在一半径为b，电流密度均匀分布的无限长导体圆柱内部有一半径为a且轴线与圆柱 导体轴线平行的无限长空心圆柱，两者轴线相距为d，如图 3.37 所示。设导体圆柱中 的电流为I，且横截面上电流密度均匀分布，求其各部分区域中的磁感应强度。 答案： 空心圆柱内部： 0 1 2 zz BJ ad= ? ? ； 18 载流导体内空心圆柱外部： 2 0 2 1 () 2 zz a BJ arr r = ? ? ，其中 22 ()rxdy 2 =+； 22 0 22 1 () 2 zz ba BJ arr rr = ? ? 2 ，其中 22 rxy=+。 3-32 两种磁介质的交界面位于m1=+zy，已知包含坐标原点的区域 1 中填充的 磁介质， 该区域中磁通量密度 2 1 =r yx Ba3a5 1 ? ? += T， 又知区域 2 中填充4 2 = r 的磁介质。 求区域 2 中的 2 B ? 和 2 H ? 。 答案：， 2 B4.2435.5718.571T xyz aaa=+ ? ? 6 2 2 0 (0.8441.1091.706) 10A m 4 xyz B Haaa =+ ? ? ? 。 3-33 一对长直导线中间放一矩形线圈，它们处于同一平面内，几何尺寸如图 3.38 所示。 求矩形线圈与长直导线间的互感； 若长直导线和线圈中分别通有如图所示的电流 和，求两载流回路间的相互作用力。 1 I 2 I 答案： 0 ()( ln 2 bac ad M cd ) + =； 0 1 2 1111 () 2 I I b F acdccd =+ + ? 。 3-34 一同轴线的内导体是半径为的圆柱，外导体是内外导体分为和c的圆柱面。内外 导体间填充导磁率分别为 ab 1 和 2 的两种不同的磁介质， 如图 3.39 所示。 设同轴线中通 有电流为I，求： 同轴线中单位长度所储存的磁场能量； 单位长度的电感。 答案： 222 0012 222 12 44 4422 ln( ) 162 ()4 () ln( ) 44 m IIIb W acb ccb bbb c b =+ + + ； 0012 222 12 4 4422 Lln( ) 8()2 ( 3 ln( ) 44 b acb cc bbb c b ) =+ + + 。 3-35 在一细长导线附近放置一矩形线圈，两者不在同一平面，如图 3.40 所示。求它们间互 感的表达式。 答案： 22 0 22 () ln 2 bcda M cd + = + 。 3-36 求如图 3.41 所示的长直导线和圆形导线回路间的互感。 19 答案： 22 0( )Mddb=。 3-37 如图 3.42 所示，导磁率为的矩形磁介质块部分插入磁路中，该磁路由绕有匝线 圈的环形电磁铁构成，其中有一尺寸为 N a b c （为厚度）的空气隙。试求该磁介质 块所受到的磁场力。 c 答案： 2 0 0 () 2 x bcH Fa= ? ? 。 3-38 一内、外半径分别为，b的很长的同轴空气电容器，如图 3.43 所示。内外导体间外 加恒定电流源，电流为 a I。现将此空气电容器垂直地部分浸入导磁率为，比重为 m 的可磁化液体中。求液体在电容器内上升的高度。 （注：电容器外液面高度不随电容 器内液体升高而改变，重力加速度为g） h 答案： 2 0 222 () ln( ) 4() m Ib h g baa = 。 20 习题习题 4-1 设自由空间中有一电场强度复矢量 jkx x eEaE = 0 ? ? ， E ? 是否满足自由空间的齐次矢量 亥姆霍兹方程？ E ? 是否代表自由空间中存在的电磁波？为什么？ 答案： E ? 满足自由空间的齐次矢量亥姆霍兹方程； E ? 不能代表自由空间中存在 的电磁波，因为S。 0= ? 4-2 一均匀平面波在空气中沿向传播，其电场强度的瞬时表达式为 z+ mV 4 102cos105aa 0 74 ）（ += zktEE xxx ? ? 写出磁场强度的瞬时表达式； 求波数的值以及 0 kms3=t时的位置。 0= x E 答案： 67 0 1.33 10cos 2 10A m 4 yyy Ha Hatk z =+ ? ? （）； 5 1515 9 10(21m 42 zn= +）。 4-3 自由空间中，已知一平面波的电磁场强度为mV10cos60a 8 ）（）（kzttE x += ? ? ， mA10cosa 8 0 ）（）（kztHtH y += ? ? 。试确定及。 0 H0k k （） 答案： 0 0.5 A mH=； rad m 3 k =。 4-4 已知自由空间中一平面波的电场强度）（）（kztEtE y =sina 0 ? ? ， 求磁通量密度 和磁场强度的瞬时表达式； 画出0=t时刻）（tE ? 和）（tH ? 随的变化曲线。 z 答案： 000 ( )sin() x B taEtk = ? ? z， 0 0 0 ( )sin() x H taEtkz = ? ? 。 4-5 在填充理想介质（）的空间中，已知一均匀平面波的电磁场强度为1=r mV8 . 0cos60a）（）（yttE z = ? ? ，mA8 . 0cos0 . 2a）（）（yttH x = ? ? 。试确 定和。 r 答案： r 16=，。 0.8k = 4-6 自由空间中同时存在两个时谐电磁场，其电场强度复矢量分别为 12 110220 , jk zjk z xy Ea E eEa E e = ? ? 证明空间中总的平均功率流密度等于两个时谐场的平均功率流密度之和。 4-7 一工作频率MHz300=f的平面波在导电媒质（mmS0 . 3115=， rr ） 21 中沿正方向传播。 已知沿zx方向极化的此平面波在0=z处的幅值为377mV m， 求媒质的本征阻抗、衰减常数、传播常数、趋肤深度、波的波长和相速； 写出媒质 中任一处的电场强度、磁场强度的瞬时表达式以及平均功率密度。 z 答案： -3 j(1.9 10 ) c 8 p 97.34e,0.0377 Np m,6.2833rad m, 1 j0.0377j6.2833,26.52 m,1m, v3.0 10 m s; = =+=+= -0.03779 3-0.037793 4-0.07542 av ( )0.377cos(1.855 106.2833 ) V m ( )3.873 10cos(1.855 106.28331.9 10) A m S7.3 10W m z x z y z x E taetz H taetz ae = = = ? ? ? ? ? ? 。 4-8 假设铜导体与下半空间的平面交界面位于0=z处，在下半空间（）中有一工作 频 率的 平 面 波 存 在 ， 其 交 界 面 处 的 电 磁 场 强 度 为 0m61 . 6 =z m33=z0=z处幅值的百分比。 答案： 15 32 11 EE e36.8% ,e0.674% EE 。 4-9 已知一平面波的工作频率为时，石墨的穿透深度为，求： 石墨 的电导率； 工作频率为的平面波在石墨中传播多少距离其场的振幅衰减了 ？ MHz100mm16 . 0 GHz100 dB20 答案： 4 9.895 10 S m=； 11.6ml= 。 4-10 已知一平面波在电参数为,的导电媒质中传播，此平面波的瞬时电场 ）（）（ += zteEtE z y cosa 0 ? ? ，求： 电磁场强度复矢量以及磁场强度的瞬 时矢量； 瞬时电、磁场能量密度以及总的电磁场能量密度； 平均电、磁场能量密 度以及总的平均电磁场能量密度； 瞬时坡印亭矢量以及平均能流密度矢量。 答案： ()() 0 0 0 , ( )cos() zjzzjz yx c z x c E Ea E eeHaee E H taetz + = = + ? ? ? ? ； 22 2 22222 0 0m 2 c 11 ( )cos (),( )cos (), 22 ( )( )( ) zz e em E w tE etzwtetz w tw twt =+= =+ + ； 2 222 0 02 11 (), (),()() 44 zz eavmavaveavmav c E wE ewewww =+； 2 2 0 z2 2 2 0 z 2 S(t)acos( tz)cos( tz), Sacos 2 z c z av c E e E e =+ = ? ? ? ? + 。 4-11真空中，一均匀平面波的电磁场强度 9 1.2(aa3)cos 1.2 10(332V m xy E ttxyz=+ ? ? ? ? （）， 求此平面波的 波长、相移常数、传播方向上的单位矢量； 求此平面波的平均功率流密度和平均电 磁场能量密度。 答案： 331 0.5 m,4rad m, 442 nxy kaaa=+ z a ? ； 32 S1.91 10 (332)W m avxyz aaa =+ ? ? ， 113 2.546 10J m av w =。 4-12 试根据以下平面波的电场强度的表达式，确定平面波的传播方向及其极化方式： ； 88 a 10cos 10a 5sin 10 xz E ttyty= ? ? （）（）（） ）（）（）（ ? ? ? 60cos4a30cos3a+=xtxttE zy ； j4j100j4j100 a 2eea 3ee zz xy E = ? ? ； )32 0 ea4a152a6 zxjk zyx jjEE += （ ）（ ? ? 。 答案： 正y向，右旋椭圆极化； 正x向，右旋椭圆极化； 正向，左旋椭圆极化；正z 23 ( 1313 nx aa=) z a ? 向，右旋椭圆极化。 4-13 工作频率为10的平行极化波在空气中以入射角斜入射至海面上， 已知海 水的电参数为 KHz88 i = ? 00 81 ,4S m=。 求透射角 t ； 求传输系数； 求 / T (S )(S ) taviav ； 若此平面波的场强衰减了，则此波在海平面下传播了多少30dB 23 距离？ 答案： ； t 0.03= ?4j4 / T7.5 10 e =； 30.795 (S )(S )1.491 10 e z taviav =；8.69 mz=。 4-14 已知一垂直极化波以10的入射角从媒质 1（ ? 0, 1, 6 . 9 111 = rr ）入射到媒质 2 （真空）中，入射波的电场强度的幅值mV5 0 = i E。求反射波、透射波的电场强度 和磁场强度的幅值以及。 000rtr HEE， 0t H 答案： 0 2.84V m r E=； 0 7.84V m t E=； 0 0.023A m r H=； 0 0.021A m t H=。 4-15真空中，一平面波的电磁场强度 mmV102cos50a102sin20a 88 ）（）（）（ztzttE yx += ? ? ，求： 磁场 强度的瞬时及复数表达式； 传播常数。 答案： 1 (52j) 12 jz xy Haa e =+ ? ? ， 88 12 (t)5cos(2 10tz)2sin(2 10tz) 1233 xy Haa 2 =+ ? ? ； 2 jrad m 3 =。 4-16 一沿x方向极化，工作频率MHz300=f的平面波沿z+向传播，且已知此平面波的 电场强度的幅值为mmV10，此平面波从空气垂直入射到空气-理想介质的平面交界 面上，理想介质的电参数为)0( =z 00, 4=。求： 此平面波的反射系数、 透射系数以及驻波比； 空气和理想介质中入射波、反射波和透射波的电场强度和磁 场强度复矢量的表达式； 入射波、反射波和透射波的平均功率流密度。 答案： 12 , T,2 33 = =； 22 22 44 10mV m,0.0265mA m, 10 mV m,0.0084mA m, 3 20 mV m,0.0354mA m; 3 jzjz ixiy jzjz rxry jzjz txty EeaHea EeaHea EeaHea = = = = ? ? ? ? ? ? 24 72 iz 82 rz 72 tz (S )1.326 10 a W m , (S )1.474 10 a W m , (S )1.179 10 a W m av av av = = = ? ? ? ? ? ? 。 4-17 空气中，一沿z+方向传播的均匀平面波正入射到0z=处的理想导电平面上，其入射 波的电场强度瞬时矢量为 00 acosasinV ixxyy EEtzEtz=+ ? ? （）（）m。 写出入射波的电场强度复矢量的表达式； 写出入射波的磁场强度瞬时矢量的表达 式； 入射波、反射波和透射波的平均功率流密度矢量。 导出空间中合成波 的电场强度和磁场强度复矢量及理想导电平面上感应面电流密度的表达式。 0z两种情况下，理想电介质 1 中的反射波和理想电介质 2 中的 透射波的极化方式； 当 12 9=时， 欲使反射波为线极化波， 其入射波角应为多少？ 答案： 当 21 时，理想电介质 1 中的反射波均为右旋椭圆极化波，理 想电介质 2 中的透射波均为左旋椭圆极化波； 。 iB/ 71.57= ? 4-20 一均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面0z=时，在自由空间形成行驻波，已 知其驻波比为 2.7，且介质平面上出现波节点。求介质的介电常数。 25 答案： -11 20 7.3( 6.47 10F m)=。 4-21 一平行极化波以的布儒斯特角由一理想介质入射到空气中， 求此介质的相对介电常 数。 25? 答案： r 4.60=。 4-22 一工作频率为的垂直极化波以的入射角从淡水（MHz100 ? 60080=， r ）中入 射到淡水和空气的平面交界面（0=z）上， 求出淡水和空气交界面处的反射系数； 导出空气中电场强度的复数表达式； 写出空气中复坡印亭矢量的表达式。 答案： 00 () jz ixxyy Ea Eja Ee = ? ? ； 0 0 00 ( )cossin y x iyx E E H tatzatz = ? ? （）（）； 22 izx0y0 0 22 rzx0y0 0 t 1 (S )a(EE ), 2 1 (S )a(EE ), 2 (S )0; av av av =+ = + = ? ? ? ? ? 100 0 0 1 00 2sin2sin, 2cos2cos xxyy y x xy EajEzaEz E E Hajzaz = =+ ? ? ? ? 。 4-23 空气中，有一波长极短的圆极化波斜入射至玻璃制（3 r 0=，）的直角三角形棱 镜的斜面 AC 上，其截面如图 4.16 所示。已知以及入射波的平均功率密度为60 i = ? 2 1 W m，求棱镜直角边上透射的波的平均功率密度为多少？ 答案： 2 3 ()0.47 W m tav S= ? 。 4-24 一工作频率为的平面波从空气垂直入射到两层不同的非磁性媒质构成的介质 板上，如图 4.17 所示。已知两层介质的介电常数分别为 5GHz 102 9,4 0 =，厚度分别 为。 问反射回空气的反射波平均功率密度为入射波平均 功率密度的百分之几？ 若入射波的工作频率变为10，则反射波的平均功率密 度又为入射波平均功率密度的百分之几？ 12 2.5 mm,7.5mmdd= GHz 26 答案： () 26.9% () tav iav S S =； () 64% () tav iav S S =。 4-25 某雷达的工作频率为， 现用相对介电常数为 2.8 的理想电介质平板做一天线罩。 介质平板的厚度为多少时不出现反射？ 若雷达的工作频率变为3.1或 时，反射系数的模变为多少？ 3GHz dGHz 2.9 GHz 答案：； 0.03md= 1( d) 0.062 =， 1( d) 0.05 =。 4-26 在半无限大的玻璃块的平面上涂一层薄膜以消除红外线（0.75m=）的反射，已 知玻璃与薄膜均为理想电介质，且玻璃的相对介电常数为。求： 薄膜的相对 介电常数 6.25 r 和厚度； 薄膜对紫外线（d0.38m=）的反射系数的大小。 答案： r 2.5,0.12md=； 1 0.43 =。 4-27 如图 4.18 所示， 一均匀平面波从介质 1 垂直入射到多层理想电介质的平面交界面 A 上， 各区域中介质的相对介电常数分别为 10203 ,4,16 0 =，介质 2 的厚度 2 3d=。已知此平面波的电场强度瞬时矢量为 8 a 50cos 2 102.094V m x Et= ? ? （）z 求：分界面 A 上的反射系数； 介质 1 中的平均功率流密度矢量。 答案： j234.8 1( d) 0.35e = ? ； 2 1 ()2.91W m avz Sa= ? ? 。 27 习题 习题 5-1 试从不同角度说明，在空心金属波导管中不能传输 TEM 模。 5-2 证明截止波导的波阻抗对 TE 模呈感性，对 TM 模呈容性。 5-3 导行波的相速、群速和电磁场能量的传播速度间的关系是什么？群速存在的条件是什 么？ 5-4 证明：在金属波导内，对传输型模式，其平均电场能量密度等于平均磁场 mnmn TE,TM 能量密度，即；对截止型模式，其平均电场能量密度小于平均 avav )()( me ww= mn TE 磁场能量密度，即；对截止型模式，其平均电场能量密度大于 avav )()( me ww 5-5 证明空心金属波导中。 0=HE ? 5-6 采用多种方法，推导填充有耗介质（电导率为）的金属波导的介质衰减常数 d 的表 达式。 答案： () 2 2 tan tan 2 1 d c k = 。 5-7 设在相距为b的两块无限大金属平行板间传播的电磁波的纵向场分量为 ()0,=zyxEz；() 0 , ,cos jz z Hx y zHye b = 求其余各场分量， 说明这是什么传输模式， 最低次模式是什么？ 导出, cgpg vv 的表达式； 画出金属板上面电流的分布图。 答案： 00 yx 22 cc jj sin(), Esin() kbkb jzjz HHyy Hee bb = 01 ，是TE模； ()() () 2 0 0 22 00 c 2b,c 12b 12b12b cgpg vv = 。 5-8 空气填充的矩形波导的尺寸，当信号源的波长分别为 10cm，8cm 和 3.2cm 时，问：哪些波长的波可以通过此波导，波导内可传输那些模式？ 若信号源的波长仍如上所述，而波导的尺寸为，此时情况 又如何？ 2 (22.86 10.16) mma b= 2 (72.14 30.4) mma b= 答案： 模； 10 TE 。 1020011111212130313140 TE , TE ,TE ,TM ,TE , TM ,TE ,TE , TM ,TE ,TE 5-9 矩 形 波 导 中 填 充9 r =的 理 想 介 质 ， 波 导 尺 寸， 试 求 2 (23 10) mma b= 28 102011 TE , TE , TM和模的截止波长 11 TE c 。 若要求只传输模， 工作波长 10 TE 0 的 范围应为多少？ 答案： ； 1020 011111 TETE TETETM ()46 mm, ()23mm, ()20 mm, ()()18.3mm cc ccc = = 0 69 mm138mm ； 1, 04 ( ) 0,4 F = 。 32 答案： ； 。 10D=6.83D= 6-7 在垂直于半波对称振子轴线方向上远区20 kmR =处测得电场强度值为6 mV m。 求此半波对称振子的辐射功率； 若采用电流元辐射，则需辐射功率为多少？ 答案： r P146.34 W= 半 ； r P160.0 W= 元 。 6-8 一个电流元和一个小电流圆环同时放在坐标原点，如图 6.20 所示。若 1 I和 2 I间满足 2 12 I lkIa=，其中 00 k =。试证在远区任意点处的电磁场是一右旋圆极化波的 场。 6-9 长度为32的对称振子的轴线沿轴，其中心馈电点与坐标原点重合，振子上的电 z 流按 0cos IIk=z分布。 导出此对称振子的远区辐射电场的复数表达式； 求其归 一化方向图函数的表达式，并画出两个主平面上的归一化方向图； 将此对称振子的 归一化方向图同半波对称振子的归一化方向图进行比较， 说明为什么较长的对称振子并 非在2=方向上产生较大的辐射场强。 答案： 3 cos(cos ) 60 2 sin jkR m jI Ee R =； 3 cos(cos ) 2 ( ) sin f =。 6-10 自 由 空 间 中 有 两 个 半 波 对 称 振 子 构 成 的 二 元 阵 如 图 6.21 所 示 ， 其 中 2 21 4, j mm dII e =。求此二元阵的归一化方向图函数，并画出其xoz面及xoy面 的归一化方向图。 答案： cos(sin ) 2 ( )cos(sin1) cos4 f =。 6-11 一均匀直线阵的单元间距2d=， 若要求它的最大辐射方向在偏离天线阵轴线的60 方向。求各单元天